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1、1第第 1 1 讲讲等差数列、等比数列的基本问题等差数列、等比数列的基本问题一、填空题1(2015南通模拟)在等差数列an中，a13a3a1510，则a5的值为_解析设数列an的公差为d，a1a152a8，2a83a310，2(a53d)3(a52d)10，5a510，a52.答案22(2015广州模拟)等比数列an的前n项和为Sn，若 2S4S5S6，则数列an的公比q的值为_解析经检验q1 不适合，则由 2S4S5S6，得 2(1q4)1q51q6，化简得q2q20，解得q1(舍去)，q2.答案23(2015南师附中调研)设Sn是等差数列an的前n项和，若S3S613，则S6S7_解析设等
2、差数列an的公差为d，则S3S63a13d6a115d13a12d，所以S6S76a115d7a121d2735.答案27354(2015南通检测)已知等比数列an为递增数列，且a3a73，a2a82，则a13a11_解析根据等比数列的性质建立方程组求解因为数列an是递增等比数列，所以a2a8a3a72，又a3a73，且a3a7，解得a31，a72，所以q42，故a13a11q2 2.答案25在等比数列an中，已知a1a38，a5a74，则a9a11a13a15_解析设等比数列an的公比为q，由已知，得a1a1q28，a1q4a1q64，解得q412.又a9a11a1q8a3q8(a1a3)q
3、881222，2a13a15a1q12a3q12(a1a3)q1281231，所以a9a11a13a15213.答案36(2015阳泉模拟)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大解析根据题意知a7a8a93a80，即a80.又a8a9a7a100，a90，当n8 时，an的前n项和最大答案87(2015安徽卷)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_解析由等比数列性质知a2a3a1a4，又a2a38，a1a49，所以联立方程a1a48，a1a49，解得a11，a48或a18，a41，又数列an为递增数列，a11，a
4、48，从而a1q38，q2.数列an的前n项和为Sn12n122n1.答案2n18(2015福建卷改编)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于_解析由题意知：abp，abq，p0，q0，a0，b0.在a，b，2 这三个数的 6 种排序中，成等差数列的情况有a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比数列的情况有：a，2，b；b，2，a.ab4，2ba2或ab4，2ab2解之得：a4，b1或a1，b4.p5，q4，pq9.答案9二、解答题9已知an是等差数列，满足a13，a4
5、12，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，由题意得3da4a1312333，所以ana1(n1)d3n(n1，2，)设等比数列bnan的公比为q，由题意得q3b4a4b1a12012438，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bn3n2n1(n1，2，)(2)由(1)知bn3n2n1(n1，2，)数列3n的前n项和为32n(n1)，数列2n1的前n项和为12n122n1.所以数列bn的前n项和为32n(n1)2n1.10(2015洛阳模拟)成等差数列的三个正数的和等于 1
6、5，并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前n项和为Sn，求证：数列Sn54 是等比数列(1)解设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得adaad15.解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次为 7d，10，18d.依题意，有(7d)(18d)100，解得d2 或d13(舍去)故bn的第 3 项为 5，公比为 2.由b3b122，即 5b122，解得b154.所以bnb1qn1542n152n3，即数列bn的通项公式bn52n3.(2)证明由(1)得数列bn的前n项和4Sn54（12n）1252n
7、254，即Sn5452n2.所以S15452，Sn154Sn5452n152n22.因此Sn54 是以52为首项，2 为公比的等比数列11(2015苏、锡、常、镇调研)已知数列an是首项为133，公比为133的等比数列，设bn15log3ant，常数tN N*.(1)求证：bn为等差数列；(2)设数列cn满足cnanbn，是否存在正整数k，使ck，ck1，ck2按某种次序排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，请说明理由(1)证明an3n3，bn1bn15log3an1an5，bn是首项为b1t5，公差为 5 的等差数列(2)解cn(5nt)3n3，则ck(5kt)3k3，令 5ktx(x0)，则ckx3k3，ck1(x5)3k13，ck2(x10)3k23.若c2kck1ck2，则x3k32(x5)3k13(x10)3k23.化简得 2x215x500，解得x10；进而求得k1，t5；若c2k1ckck2，同理可得(x5)2x(x10)，显然无解；若c2k2ckck1，同理可得13(x10)2x(x5)，5方程无整数根综上所述，存在k1，t5 适合题意