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1、1第第 3 3 讲讲导数与函数的单调性、极值、最值问题导数与函数的单调性、极值、最值问题一、填空题1函数f(x)12x2lnx的单调递减区间为_解析由题意知，函数的定义域为(0，)，又由f(x)x1x0，解得 0 x1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1答案(0，12(2015南师附中模拟)已知函数f(x)12mx2lnx2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是_解析f(x)mx1x20 对一切x0 恒成立，m1x22x.令g(x)1x22x，则当1x1，即x1 时，函数g(x)取最大值 1.故m1.答案1，)3已知函数f(x)x3ax2x2(a0)的极大值点和极小值点都在区间(1，
2、1)内，则实数a的取值范围是_解析由题意可知f(x)0 的两个不同解都在区间(1，1)内因为f(x)3x22ax1，所以根据导函数图象可得（2a）24310，12a60，f（1）32a10，又a0，解得 3a2.答案(3，2)4(2015镇江调研)函数f(x)x33axa在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是_解析f(x)3x23a3(x2a)当a0 时，f(x)0，f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值当a0 时，f(x)3(xa)(xa)当x(，a)和(a，)时，f(x)单调递增；当x(a，a)时，f(x)单调递减，所以当a1，即 0a1 时，f(x)在(0，1)内有最小值答案(0，1
3、)25(2015苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy中，直线yxb是曲线yalnx的切线，则当a0 时，实数b的最小值是_解析设切点坐标(x0，alnx0)，则alnx0 x0b，ax01，所以balnaa，x0a，所以blna，令导数等于 0，得a1，且 0a1 时，导数小于 0，函数单调递减；a1 时，导数大于 0，函数单调递增，所以a1 时，b取得极小值，也是最小值，即bmin1.答案16若f(x)x33ax23(a2)x1 在 R R 上单调递增，则a的取值范围是_解析f(x)3x26ax3(a2)由题意知f(x)0 在 R R 上恒成立，所以36a2433(a2)0，解得1a2.答案
4、1，27函数f(x)的定义域是 R R，f(0)2，对任意xR R，f(x)f(x)1，则不等式 exf(x)ex1 的解集为_解析构造函数g(x)exf(x)ex，因为g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)exexex0，所以g(x)exf(x)ex为 R R 上的增函数又因为g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为g(x)g(0)，解得x0.答案(0，)8(2015衡水中学期末)若函数f(x)12x24x3lnx在t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析对f(x)求导，得f(x)x43xx24x3x（x1）（x3）x.由f(x)0 得函数f(x)的两个极值点为 1，
5、3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，所以t1t1 或t3t1，解得 0t1 或 2t3.答案(0，1)(2，3)二、解答题9已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.3(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知，得f(0)4，f(0)4，故b4，ab8.从而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2)ex12.令f(x)0 得，xln 2 或x2.从而当x(，2)
6、(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2，ln 2，)上单调递增，在2，ln 2上单调递减当x2 时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)10(2015长沙模拟)已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)ln(1x)xk2x2(k0)，讨论函数g(x)的单调性解(1)对f(x)求导，得f(x)3x22ax3.由f(x)0 在1，)上恒成立，得a32x1x.记t(x)32x1x，当x1 时，t(x)是增函数，所以t(x)min32(11)0.所以a0.(2)g(x)x（
7、kxk1）1x，x(1，)当k0 时，g(x)x1x，所以在区间(1，0)上，g(x)0；在区间(0，)上，g(x)0.故g(x)的单调递增区间是(1，0，单调递减区间是0，)当 0k1 时，由g(x)x（kxk1）1x0，4得x10，x21kk0，所以在区间(1，0)和1kk，上，g(x)0；在区间0，1kk上，g(x)0.故g(x)的单调递增区间是(1，0和1kk，单调递减区间是0，1kk.当k1 时，g(x)x21x0，故g(x)的单调递增区间是(1，)当k1 时，g(x)x（kxk1）1x0，得x11kk(1，0)，x20，所以在区间1，1kk和(0，)上，g(x)0，在区间1kk，0
8、上，g(x)0.故g(x)的单调递增区间是1，1kk和0，)，单调递减区间是1kk，0.11(2014山东卷)设函数f(x)exx2k2xlnx(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)(1)当k0 时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围解(1)函数yf(x)的定义域为(0，)f(x)x2ex2xexx4k2x21xxex2exx3k（x2）x2（x2）（exkx）x3.由k0 可得 exkx0，所以当x(0，2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递减，x(2，)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增所以f(x)的单调递减区间为(0
9、，2，单调递增区间为2，)(2)由(1)知，k0 时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，故f(x)在(0，2)内不存在极值点；当k0 时，设函数g(x)exkx，x0，)5因为g(x)exkexelnk，当 0k1 时，当x(0，2)时，g(x)exk0，yg(x)单调递增故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点；当k1 时，得x(0，lnk)时，g(x)0，函数yg(x)单调递减x(lnk，)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增所以函数yg(x)的最小值为g(lnk)k(1lnk)函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点当且仅当g（0）0，g（lnk）0，g（2）0，0lnk2，解得 eke22，综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，k的取值范围为e，e22.