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1、第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题一、选择题1.函数f(x)x2ln x的单调递减区间为()A.(1，1 B.(0，1C.1，) D.(0，)解析由题意知，函数的定义域为(0，)，又由f (x)x0，解得0x1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1.答案B2.(2015武汉模拟)已知函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是()A.1，1 B.1，)C.1，) D.(，1解析f(x)mx20对一切x0恒成立，m.令g(x)，则当1，即x1时，函数g(x)取最大值1.故m1.答案C3.(2015临沂模拟)函数f(x)x33axa在(0，1)内有最小值，则a的
2、取值范围是()A.0，1) B.(1，1)C. D.(0，1)解析f(x)3x23a3(x2a).当a0时，f(x)0，f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值.当a0时，f(x)3(x)(x).当x(，)和(，)时，f(x)单调递增；当x(，)时，f(x)单调递减，所以当1，即0a1时，f(x)在(0，1)内有最小值.答案D4.(2015陕西卷)对二次函数f(x)ax2bxc(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是()A.1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值 D.点(2，8)在曲线yf(x)上解析A正确等价于abc
3、0，B正确等价于b2a，C正确等价于3，D正确等价于4a2bc8.下面分情况验证：若A错，由、组成的方程组的解为符合题意；若B错，由、组成的方程组消元转化为关于a的方程后无实数解；若C错，由、组成方程组，经验证a无整数解；若D错，由、组成的方程组a的解为也不是整数.综上，故选A.答案A5.(2015潍坊模拟)函数f(x)的定义域是R，f(0)2，对任意xR，f(x)f(x)1，则不等式exf(x)ex1的解集为()A.x|x0B.x|x0C.x|x1，或x1D.x|x1，或0x1解析构造函数g(x)exf(x)ex，因为g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)exexex0，所
4、以g(x)exf(x)ex为R上的增函数.又因为g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为g(x)g(0)，解得x0.答案A二、填空题6.(2015陕西卷)设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.解析(ex)e01，设P(x0，y0)，有|1，又x00，x01，故P的坐标为(1，1).答案(1，1)7.若f(x)x33ax23(a2)x1在R上单调递增，则a的取值范围是_.解析f(x)3x26ax3(a2).由题意知f(x)0在R上恒成立，所以36a2433(a2)0，解得1a2.答案1，28.(2015衡水中学期末)若函数f(x)x24x3l
5、n x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_.解析对f(x)求导，得f(x)x4.由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，所以t1t1或t3t1，解得0t1或2t3.答案(0，1)(2，3)三、解答题9.已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.解(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知，得f(0)4，f(0)4，故b4，ab8.从而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex
6、(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2).令f(x)0得，xln 2或x2.从而当x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2，ln 2，)上单调递增，在2，ln 2上单调递减.当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2).10.(2015长沙模拟)已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)ln(1x)xx2(k0)，讨论函数g(x)的单调性.解(1)对f(x)求导，得f(x)3x22ax3.由f(x)0在1，)上恒成立，得a.记t(x)，当x
7、1时，t(x)是增函数，所以t(x)min(11)0.所以a0.(2)g(x)，x(1，).当k0时，g(x)，所以在区间(1，0)上，g(x)0；在区间(0，)上，g(x)0.故g(x)的单调递增区间是(1，0，单调递减区间是0，).当0k1时，由g(x)0，得x10，x20，所以在区间(1，0)和上，g(x)0；在区间上，g(x)0.故g(x)的单调递增区间是(1，0和，单调递减区间是.当k1时，g(x)0，故g(x)的单调递增区间是(1，).当k1时，g(x)0，得x1(1，0)，x20，所以在区间和(0，)上，g(x)0，在区间上，g(x)0.故g(x)的单调递增区间是和0，)，单调递
8、减区间是.11.(2014山东卷)设函数f(x)k(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数).(1)当k0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围.解(1)函数yf(x)的定义域为(0，).f(x)k.由k0可得exkx0，所以当x(0，2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递减，x(2，)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增.所以f(x)的单调递减区间为(0，2，单调递增区间为2，).(2)由(1)知，k0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，故f(x)在(0，2)内不存在极值点；当k0时，设函数g(x)exkx，x0，).因为g(x)exkexeln k，当0k1时，当x(0，2)时，g(x)exk0，yg(x)单调递增.故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点；当k1时，得x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递减.x(ln k，)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增.所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k).函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点当且仅当解得ek，综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，k的取值范围为.5