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1、精品文档20142014 年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标 1 1理科数学理科数学第卷第卷一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.0，B x|2 x 2，则AB（）.1.已知集合A x|x 2x32A.2,1B.1,2C.1,1D.1,2(1i)3（）.2.(1i)2A.1iB.1iC.1iD.1i3.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是（）.A.f(x)g(x)是偶函数B.f(x)g(x)是奇函数C.g(x
2、)f(x)是奇函数D.f(x)g(x)是奇函数224.已知F是双曲线C：x my 3m(m 0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）.A.3B.3C.3mD.3m5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（）.1357A.B.C.D.88886.如图，圆O的半径为 1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y f(x)在0,上的图像大致为（）.精品文档精品文档7.执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为 1,2,3
3、，则输出的M（）.A.2071615B.C.D.32588.设(0,1sin，则（）.)，(0,)，且tancos22A.39.不等式组2B.32C.22D.22x y 1的解集记为D.有下面四个命题：x2y 4p1：(x,y)D,x2y 2，p2：(x,y)D,x2y 2,P3：(x,y)D,x 2y 3，p4：(x,y)D,x 2y 1.其中真命题是（）.A.p2，P3B.p1，p2C.p1，p4D.p1，P3210.已知抛物线C：y 8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若uuu ruuu rFP 4FQ，则|QF|（）.75A.B.3C.D.2223211
4、.已知函数f(x)ax 3x 1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0 0，则a的取值范围为（）.A.2,B.1,C.,2D.,112.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）.A.6 2B.6C.4 2D.4第卷第卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.(x y)(x y)的展开式中x y的系数为.（用数字填写答案）14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，精
5、品文档827精品文档甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.ruuu r1uuu ruuu ruuu ruuu15.已知A，B，C是圆O上的三点，若AO(AB AC)，则AB与AC的夹角为.216.已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a 2，且(2 b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，an 0，anan1Sn1，其中为常数.（）证明：an2an
6、；（）是否存在，使得an为等差数列？并说明理由.精品文档精品文档18.（本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；2（）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,)，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2.（i）利用该正态分布，求P(187.8 Z 212.2)；（ii）某用户从该企业购买了100 件这种产品，记X表示这 100 件产品中质量指标值为于区间2187.8,212.2的产品件数，
7、利用（i）的结果，求EX.2附：150 12.2，若ZN(,)，则P(Z)0.6826，P(2 Z 2)0.9544.19.（本小题满分 12 分）如图三棱锥ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB B1C.（）证明：AC AB1；o（）若AC AB1，CBB1 60，AB BC，求二面角A A1B1C1的余弦值.精品文档精品文档20.（本小题满分 12 分）x2y23已知点A0,2，椭圆E：221(a b 0)的离心率为，F是椭圆的右焦2ab2 3点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.3（）求E的方程；（）设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.2
8、1.（本小题满分 12 分）bex1设函数f(x)ae ln x，曲线y f(x)在点1,f(1)处的切线方程为y e(x1)2.x（）求a,b；（）证明：f(x)1.x请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，四边形ABCD是e O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB CE（）证明：D E；（）设AD不是e O的直径，AD的中点为M，且MB MC，证明：ADE为等边三角形.精品文档精
9、品文档23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程x 2tx2y21，直线l：已知曲线C：（t为参数）.49y 22t（）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（）过曲线C上任一点P作与l夹角为30o的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.24.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲若a 0,b 0，且11ab.ab（）求a3b3的最小值；（）是否存在a,b，使得2a3b 6？并说明理由.精品文档精品文档参考答案参考答案一、选择题ADCADCDCBBCB二、填空题13.2014.A15.三、解答题17.（1）证明：由题意得16.23anan1Sn1an1an2S
10、n11所以an1an2anan1an1又因为an 0所以an1 0所以an2an（2）解：假设存在，使得an为等差数列.由（1）知因为a11所以a1a2a11a a 31a21a31因为a1a3 2a2所以2 21所以 4故an2an 4,所以a2n1是首项为 1，公差为 4 的等差数列，a2n1 4n3;a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n 4n1.所以an 2n1,an1an 2.因此存在 4，使得an为等差数列.18.解：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数x 1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02 200222
11、s2300.02200.09100.2200.331020.24 2020.083020.02150（2）（1）由（1）知，Z 200,150，从而P187.8 Z 212.2 P20012.2 Z 20012.20.6826（2）由（1）知，一件产品的质量指标值位于区间187.8,212.2的概率为0.6826精品文档精品文档依题意知X B100,0.6826，所以EX 1000.682668.2619.解：（1）连结BC1，交B1C于O，连结AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C BC1，且O为B1C与BC1的中点.又B1O CO，故AC AB1（2）因为AC AB1且O为B1C的中
12、点，所以AOCO又因为AB BC，所以VBOAVBOC故OAOB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直.uuu vuuu v以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz.oCBB1为等边三角形.又AB BC，则因为CBB1 60，所以V333，B0,0C 0,0A0,0,B 1,0,01333uuuvvuuu v33uuuu3，AB10,AB AB 1,0,11333uuuu vuuu v3B1C1 BC 1,03v设n x,y,z是平面AA1B1的法向量，3v uuuvn AB1 0 3即vv uuuun A1B1 0 xv所以可取n 1,3,y
13、3z 033z 033u v uuuu vmB1C1 0v uuuu vum A1B1 0u vm设是 平 面A1B1C1的 法 向 量，则u v同理可取m 1,3,3r u rr u rnm1则cos n,m r u v n m7所以二面角A A1B1C1的余弦值为20.解：（1）设Fc,0，由条件知，又1.722 3，得c 3c3c3222，所以a 2，b a c1a2x2 y21.故E的方程为4精品文档精品文档（2）依题意设直线l：y kx2x2 y21得将y kx2代入414k2x216kx12 08k 2 4k233当 164k 3 0，即k 时，x1,24k214224 k21 4
14、k23从而PQ k 1 x1 x24k212又点O到直线PQ的距离d，所以VOPQ的面积2k 12SVOPQ14 4k23d PQ 24k2124t424t 4t t74因为t 4，当且仅当t 2，即k 时等号成立，且满足 02t所以当VOPQ的面积最大时，l的方程为设4k 3 t，则t 0，SVOPQy 7x2.221.解：（1）函数fx的定义域为0,，f x aexln x由题意可得f1 2,f 1e故a 1,b 2.axbx1bx1e 2ee,xxx2x12e从而fx1等价于xln x xex.xe设函数gx xlnx，则gx1lnx.（2）由（1）知，fx exln x11ee11故g
15、x在0,单调递减，在,单调递增，从而gx在0,的最小值为ee11g.ee2x设函数hx xex，则hxe1x.e所以当x0,时，gx0;当x,时,gx0.所以当x0,1时，hx0;当x1,时，hx0.故hx在0,1单调递增，在1,单调递减，从而hx在0,的最大值为h1 1.e综上，当x 0时，gx hx,即fx1.精品文档精品文档22.（1）由题设得，A,B,C,D四点共面，所以D CBE由已知得，CBE E,所以D E（2）设BC中点为N，连接MN,则由MB MC,知MN BC所以O在MN上，又AD不是e O的直径，M为AD中点，故OM AD即MN AD所以AD/BC,故ACBE.又CBE E，故A E由（1）知D E所以ADE为等边三角形。23.（1）曲线 C 的参数方程为x 2cos(为参数)y 3sin直线l的普通方程为2x y 6 0（2）在曲线 C 上任意取一点P(2cos,3sin)到l的距离为d 54cos3sin654d2 5为锐角。且tan其中5sin()63sin300522 5当sin()1时，PA 取得最大值5则PA 当sin()1PA 取得最小值24.（1）由ab 故a3b3 2 a3b3 4 3且当且仅当a b 2时等号成立。由于4 3 6，从而不存在a,b使得2a3b 6。2 55112得ab2，当且仅当a b 2时等号成立。abab精品文档