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1、20202020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数数学学一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。分。1 1设集合设集合A A=x x|1|1x x33，B B=x x|2|2x x44，则，则A AB B=A A x x|2|2x x33B B x x|2|2x x3 C3 C x x|1|1x x44D D x x|1|1x x4 n n00，则，则C C是椭圆，其焦点在是椭圆，其焦点在y y轴上轴上B B若若m m=n n00，则，则C C是圆，其半径为是圆，其半径为nC C若若mnmn000
2、，则，则C C是两条直线是两条直线122rtmxn1010下图是函数下图是函数y y=sin(=sin(x x+)的部分图像，则的部分图像，则 sin(sin(x x+)=)=A Asin(x）B Bsin(2x)335C Ccos(2x）D Dcos(2x)661111已知已知a a00，b b00，且，且a a+b b=1=1，则，则11A Aa2b2B B2ab22C Clog2a log2b 2D Da b 21212 信信 息息 熵熵 是是 信信 息息 论论 中中 的的 一一 个个 重重 要要 概概 念念.设设 随随 机机 变变 量量X X所所 有有 可可 能能 的的 取取 值值 为
3、为1,2,P(X i)pi 0(i 1,2,n),pi1，定义，定义X X的信息熵的信息熵H(X)pilog2pi.i1i1nn,n，且且A A若若n n=1=1，则，则H H(X X)=0)=0B B若若n n=2=2，则，则H H(X X)随着随着pi的增大而增大的增大而增大1C C若若pi(i 1,2,n)，则，则H H(X X)随着随着n n的增大而增大的增大而增大nD D若若n n=2=2m m，随机变量，随机变量Y Y所有可能的取值为所有可能的取值为1,2,m，且，且P(Y j)pj p2m1 j(j 1,2,m)，则，则H H(X X)H H(Y Y)三、填空题：本题共三、填空题
4、：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。2 21313斜率为斜率为3的直线过抛物线的直线过抛物线C C：y y=4=4x x的焦点，且与的焦点，且与C C交于交于A A，B B两点，则两点，则AB=_=_1414将数列将数列22n n11与与33n n22的公共项从小到大排列得到数列的公共项从小到大排列得到数列 a an n，则，则 a an n 的前的前n n项和为项和为_1515某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O O为圆孔及轮廓圆弧为圆孔及轮廓圆弧ABAB所在圆的圆所
5、在圆的圆心，心，A A是圆弧是圆弧ABAB与直线与直线AGAG的切点，的切点，B B是圆弧是圆弧ABAB与直线与直线BCBC的切点，四边形的切点，四边形DEFGDEFG为矩形，为矩形，BCBCDGDG，垂，垂3足为足为C C，tantanODCODC=，BHDG，EFEF=12 cm=12 cm，DE=DE=2 cm2 cm，A A到直线到直线DEDE和和EFEF的距离均为的距离均为 7 cm7 cm，圆孔半，圆孔半52 2径为径为 1 cm1 cm，则图中阴影部分的面积为，则图中阴影部分的面积为_cm_cm 1616已知直四棱柱已知直四棱柱ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1
6、D D1 1的棱长均为的棱长均为 2 2，BADBAD=60=60以以D1为球心，为球心，5为半径的球面与侧面为半径的球面与侧面BCCBCC1 1B B1 1的交线长为的交线长为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1717在在ac 3，csin A 3，c 3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题
7、：是否存在问题：是否存在ABC，它的内角，它的内角A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c，且，且sin A 3sin B，C，_?_?6注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分21818已知公比大于已知公比大于1的等比数列的等比数列an满足满足a2 a4 20,a3 8（1 1）求）求an的通项公式；的通项公式；（2 2）记）记bm为为an在区间在区间(0,m(mN N*)中的项的个数，求数列中的项的个数，求数列bm的前的前100项和项和S1001919为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了为加强环
8、境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的天空气中的PM2.5和和SO2浓度（单位：浓度（单位：g/m3），得下表：，得下表：0,50(150,475(50,150SO2PM2.50,35(35,75(75,11532326 63 318188 87 74 412121010（1 1）估计事件“该市一天空气中）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过浓度不超过75，且，且SO2浓度不超过浓度不超过150”的概率；”的概率；（2 2）根据所给数据，完成下面的）根据所给数据，完成下面的22列联表：列联表：0,150(150,475SO2PM2.50,7
9、5(75,115（3 3）根据根据（2 2）中的列联表，中的列联表，判断是否有判断是否有99%的把握认为该市一天空气中的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度与SO2浓度有关？浓度有关？n(ad bc)2附：附：K，(ab)(cd)(ac)(bd)P(K2 k)0.050 0.010 0.0010.050 0.010 0.0012k3.841 6.635 10.8283.841 6.635 10.828320.20.如图，四棱锥如图，四棱锥P P-ABCDABCD的底面为正方形，的底面为正方形，PDPD底面底面ABCDABCD设平面设平面PADPAD与平面与平面PBCPBC的交线为的交线为
10、l l（1 1）证明：）证明：l l平面平面PDCPDC；（2 2）已知）已知PDPD=ADAD=1=1，Q Q为为l l上的点，求上的点，求PBPB与平面与平面QCDQCD所成角的正弦值的最大值所成角的正弦值的最大值2121已知函数已知函数f(x)aex1ln xlna（1 1）当）当a e时，求曲线时，求曲线y y=f f（x x）在点（）在点（1 1，f f（1 1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2 2）若）若f f（x x）1 1，求，求a a的取值范围的取值范围2222已知椭圆已知椭圆C C：x2y22a2b21(a b 0)的离心率
11、为的离心率为2，且过点，且过点A A（2 2，1 1）（1 1）求）求C C的方程：的方程：（2 2）点）点M M，N N在在C C上，且上，且AMAMANAN，ADADMNMN，D D为垂足证明：存在定点为垂足证明：存在定点Q Q，使得，使得|DQDQ|为定值为定值4参考答案参考答案一、选择题一、选择题1 1C C2 2D D3 3C C4 4B B5 5C C6 6B B7 7A A8 8D D二、选择题二、选择题9 9ACDACD1010BCBC1111ABDABD1212ACAC三、填空题三、填空题131316314143n22n151552 4161622四、解答题四、解答题1717
12、解：解：方案一：选条件方案一：选条件2由由C a2b2c6和余弦定理得和余弦定理得32ab2由由sin A 3sin B及正弦定理得及正弦定理得a 3b3b2b2c2于是于是32 3b22，由此可得，由此可得b c由由ac 3，解得，解得a 3,b c 1因此，选条件时问题中的三角形存在，此时因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c 1方案二：选条件方案二：选条件a2b2c2由由C 6和余弦定理得和余弦定理得32ab2由由sin A 3sin B及正弦定理得及正弦定理得a 3b3b2b2于是于是c232 3b2，由此可得，由此可得b c，B C 226，A35由由csin A 3，所以，所以c
13、 b 2 3,a 6因此，选条件时问题中的三角形存在，此时因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c 2 3方案三：选条件方案三：选条件a2b2c23由由C 和余弦定理得和余弦定理得62ab2由由sin A 3sin B及正弦定理得及正弦定理得a 3b于是于是3b2b2c22 3b23，由此可得，由此可得b c2由由c 3b，与，与b c矛盾矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在因此，选条件时问题中的三角形不存在1818解：解：（1 1）设）设an的公比为的公比为q由题设得由题设得a1q a1q3 20，a1q281解得解得q （舍去）（舍去），q 2由题设得由题设得a1 22所以所以an的通项
14、公式为的通项公式为an 2n（2 2）由题设及（）由题设及（1 1）知）知b1 0，且当，且当2n m 2n1时，时，bm n所以所以S100 b1(b2 b3)(b4 b5 b6 b7)(b32 b33 b63)(b64 b65 b100)012 222323 4245256(10063)4801919解：解：（1 1）根据抽查数据，该市）根据抽查数据，该市 100100 天的空气中天的空气中 PM2.5PM2.5 浓度不超过浓度不超过 7575，且，且SO2浓度不超过浓度不超过 150150 的天数为的天数为321868 64,因此因此,该市一天空气中该市一天空气中 PM2.5PM2.5
15、浓度不超过浓度不超过 7575，且，且SO2浓度不超过浓度不超过 150150 的概率的估计的概率的估计值为值为64 0.64100（2 2）根据抽查数据，可得）根据抽查数据，可得22列联表：列联表：SO2PM2.50,150(150,47560,75(75,11526464101016161010100(64101610)2 7.484（3 3）根据（）根据（2 2）的列联表得）的列联表得K 80207426由于由于7.484 6.635，故有，故有99%的把握认为该市一天空气中的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度与SO2浓度有关浓度有关2020解：解：（1 1）因为）因为PD底面底
16、面ABCD，所以，所以PD AD又底面又底面ABCD为正方形，所以为正方形，所以AD DC，因此，因此AD底面底面PDCBC，AD 平面平面PBC，所以，所以AD平面平面PBC因为因为ADAD因此因此l 平面平面PDC由已知得由已知得l（2 2）以）以D为坐标原点，为坐标原点，DA的方向为的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz则则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1)，DC (0,1,0)，PB (1,1,1)由（由（1 1）可设）可设Q(a,0,1)，则，则DQ (a,0,1)n nDQ 0,ax z
17、0,n n (x,y,z)QCD设设是平面是平面的法向量，则的法向量，则即即y 0.n nDC 0,可取可取n n (1,0,a)所以所以cosn n,PB n nPB1 a|n n|PB|3 1 a23|a 1|32a1233a 11 a2设设PB与平面与平面QCD所成角为所成角为，则，则sin因为因为为为32a612，当且仅当，当且仅当a 1时等号成立，所以时等号成立，所以PB与平面与平面QCD所成角的正弦值的最大值所成角的正弦值的最大值3a 13632121解：解：7f(x)的定义域为的定义域为(0,)，f(x)aex11x（1 1）当）当a e时，时，f(x)exlnx 1，f(1)e
18、1，曲线曲线y f(x)在点在点(1,f(1)处的切线方程为处的切线方程为y(e1)(e1)(x 1)，即，即y (e1)x 2直线直线y (e1)x 2在在x轴，轴，y轴上的截距分别为轴上的截距分别为2e 1，2因此所求三角形的面积为因此所求三角形的面积为2e 1（2 2）当）当0 a 1时，时，f(1)a lna 1当当a 1时，时，f(x)ex1lnx，f(x)ex11x当当x(0,1)时，时，f(x)0；当；当x(1,)时，时，f(x)0所以当所以当x 1时，时，f(x)取得最小值，最小值为取得最小值，最小值为f(1)1，从而，从而f(x)1当当a 1时，时，f(x)aex1lnx l
19、na ex1lnx 1综上，综上，a的取值范围是的取值范围是1,)2222解：解：（1 1）由题设得）由题设得41a2b2aba212，解得，解得a2221，6，b2 3所以所以C的方程为的方程为x2y2631（2 2）设）设M(x1,y1)，N(x2,y2)若直线若直线MN与与x轴不垂直，设直线轴不垂直，设直线MN的方程为的方程为y kx m，代入代入x2y2631得得(1 2k2)x2 4kmx 2m26 0于是于是x4km2m21 x2 1 2k2,x61x21 2k2由由AM AN知知AM AN 0，故，故(x1 2)(x2 2)(y11)(y21)0，可得可得(k21)x1x2(km
20、k 2)(x1 x2)(m1)2 4 0将代入上式可得将代入上式可得(k21)2m261 2k2(kmk 2)4km1 2k2(m1)2 4 0整理得整理得(2k 3m 1)(2k m 1)0因为因为A(2,1)不在直线不在直线MN上，所以上，所以2k m1 0，故，故2k 3m1 0，k 1于是于是MN的方程为的方程为y k(x 213)3(k 1).8所以直线所以直线MN过点过点 P(23,13).若直线若直线MN与与x轴垂直，可得轴垂直，可得N(x1,y1).由由AM AN 0得得(x1 2)(x1 2)(y11)(y11)0.又又x216y2131，可得，可得3x2218x1 4 0.解得解得x1 2（舍去）（舍去），x13.此时直线此时直线MN过点过点 P(213,3).令令Q为为AP的中点，即的中点，即Q(4 13,3).若若D与与P不重合，则由题设知不重合，则由题设知AP是是RtADP的斜边，故的斜边，故|DQ|12 22|AP|3.若若D与与P重合，则重合，则|DQ|12|AP|.综上，存在点综上，存在点Q(4 13,3)，使得，使得|DQ|为定值为定值.9