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1、20132013 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（全国（全国 I I 卷）卷）文科数学文科数学一、选择题，本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 A=1,2,3,4，B=x|x=n2,nA，则 AB=A1,4B2,3C9,16D1,212i2=1i21111A-1-iB-1+iC1+iD1-i22223从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是1111ABCD2346x2y254已知双曲线 C：22=1(a0,b0)的离心率为，则 C 的渐近线方
2、程为2ab111Ay=xBy=xCy=xDy=x3425已知命题 p：xR,R,2x3x；命题 q：xR R，x3=1-x2，则下列命题中为真命题的是ApqBpqCpqD pq26设首项为 1，公比为的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则3ASn=2an-1BSn=3an-2CSn=4-3anDSn=3-2an7执行下面的程序框图，如果输入的 t-1,3，则输出的 S 属于A-3,4B-5,2C-4,3D-2,58O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2=4 2x的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=4 2，则POF 的面积为A2B2 2C2 3D49函数 f(x)=(1-cos x)sin
3、x 在-,的图像大致为10已知锐角 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则 b=A10B9C8D5111某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A168B88C1616D816x22x,x 0,12已知函数 f(x)=若|f(x)|ax，ln(x1),x 0.则 a 的取值范围是A(-,0B(-,1C-2,1D-2,0二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在横线上13已知两个单位向量 a a，b b 的夹角为 60，c c=ta a+(1-t)b b.若 b bc c=0，则 t=_.1 x 3
4、,14设 x，y 满足约束条件则 z=2x-y 的最大值为_.1 x y 0,15已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH:HB=1:2，AB平面，H 为垂足，截球 O 所得截面的面积为，则球 O 的表面积为_.16设当 x=时，函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值，则 cos=_.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做 6 题，共 70 分.17(本小题满分 12 分)已知等差数列an的前 n 项和 Sn满足 S3=0，S5=5.1的前 n 项和(1)求an的通项公式；(2)求数列a2n1a2n118(本小题满分 12 分)为了比较两种治疗失眠症的药(
5、分别称为 A 药,B 药)的疗效，随机地选取 20位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)试验的观测结果如下：服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根
6、据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？B 药A 药0.1.2.3.219(本小题满分 12 分)如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60.(1)证明：ABA1C；(2)若 AB=CB=2，A1C=6，求三棱柱 ABC-A1B1C1的体积20(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x，曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y=4x+4.(1)求 a，b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值21(本小题满分 12 分)已知圆 M：(x+1)2+y2=1，圆 N：(x-1)2+y
7、2=9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于A,B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.3请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答 注意：只能做所选定的题目 如果多做，则按所做的第一个题目计分22(本小题满分 10 分)选修 4-1：几何证明选讲如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于点 D.(1)证明：DB=DC；(2)设圆的半径为 1，BC=3，延长 CE 交 AB 于点
8、F，求 BCF 外接圆的半径.23(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程x 45cost,已知曲线 C1的参数方程为(t 为参数)，以坐标原点为极点，xy 55sin t轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为=2sin.(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1与 C2交点的极坐标(0,02)24(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|，g(x)=x+3.(1)当 a=-2 时，求不等式 f(x)-1，且当 x,)时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围2 2420132013 年高考全国年高考全国
9、 1 1 卷文科数学参考答案卷文科数学参考答案一、选择题题号答案123456789101112ABBCBDACCDAD1解：B=x|x=n2，nA=1,4,9,16，AB=1,412i12i12ii2i12解：=1+i1i22i2223解：依题所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共 6 种，满足1条件的事件数是 2 种，所以所求的概率为.32c25b11b14 解：依题2.c2=a2b2，2，.渐近线方程为y xa4a42a25解：由 20=30知，p 为假命题令 h(x)=x3-1+x2，h(0)=-10，h(x)=0 在(0,1)内有解 xR
10、 R，x3=1-x2，即命题 q 为真命题由此可知只有pq 为真命题a a q216解：Sn1n(1an)/=3-2an1q337解：当1t0，2排除 A.当 x(0,)时，f(x)=sin2x+cos x(1-cos x)=-2cos2x+cos x+1.22令 f(x)=0，可得x.故极值点为x，可排除 D，故选 C.331110解：由 23cos2A+cos 2A=0，得 cos2A=.A(0,)，cos A=.252536b249113，解得 b=5 或b (舍)故选 D.cos A=26b5511解：该几何体为一个半圆柱的上面后方放一个长方体组成的一个组合体 V半1=224=8，V长
11、方体=422=16.所以体积为 168.故选 A圆柱212解：可画出|f(x)|的图象如图所示当 a0 时，y=ax 与 y=|f(x)|恒有公共点，所以排除 B,C;当 a0 时，若 x0，则|f(x)|ax 恒成立；5若 x0，则以 y=ax 与 y=x2-2x 相切为界限，联立 y=ax 与 y=x2-2 消去 y得 x2-(a+2)x=0.=(a+2)2=0，a=-2.a-2,0故选 D.2 59二、填空题：1321 4315165211113解：依题 a ab b=11，b bc c=ta ab b+(1-t)b b2=0，t+1-t=0.t=2.22214解：作出可行域如图所示画出
12、初始直线 l0:2x-y=0，l0平移到 l，当直线 l 经过点 A(3,3)时z 取最大值，z=23-3=3.15解：如图，EH2=，EH=1，2R设球 O 的半径为 R，则 AH=，3RROH=.在 RtOEH 中，R2=()2+12，3399R2=.S球=4R2=.8216 解：f(x)=sin x-2cos x=5sin(x+)，其中 tan=-2，是第四象限角.当 x+=2k+(kZ Z)时，f(x)取最大值即=2k+-(kZ Z)，222 5cos=cos()=sin=.52三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做 6 题，共 70 分.3a 3d 0,n(n1)1
13、7解：(1)设an的公差为 d，则 Sn=na12 分d.则125a110d 5,解得 a1=1，d=-1.4 分故an的通项公式为 an=2-n.6 分11111()，8 分(2)由(1)知=a2n1a2n132n12n2 2n32n1从而新数列的前 n 项和为111111n12 分Tn(11)(1)()1232n32n122n112n18解：(1)设 A 药数据的平均数为x x，A 药B 药B 药观测数据的平均数为y y.药60.8 9 5 6 5x x=(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.35 2 8 5 21.7 9 2 3 4 6 8 1 2+2.3+2.4
14、+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.94 3 9 7 6 5 3 2 8 72.4 6 1 5 7+3.0+3.1+3.2+3.5)/20=2.3，3 分1 0 5 23.2y y(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)/20=1.6.6 分由以上计算结果可得x xy y，因此可看出 A 药的疗效更好6(2)绘制茎叶图如图：9 分从茎叶图可以看出，A 药疗效数据有叶集中在茎“2.”，“3.”上，而 B 药疗效数据有7的107的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此1
15、0可看出 A 药的疗效更好 12 分19(1)证：取 AB 的中点 O，连结 OC，OA1，A1B.由于 AB=AA1，BAA1=60，故 AA1B 为等边三角形，所以 OA1AB.又 CA=CB，所以 OCAB.3 分因为 OCOA1=O，所以 AB平面 OA1C.又 A1C 平面 OA1C，所以 ABA1C.6 分(2)解：依题 ABC 与 AA1B 都是边长为 2 的等边三角形，所以 OC=OA1=3.又 A1C=6，则 A1C2=OC2+OA12，故 OA1OC，又 OA1AB，OCAB=O，所以 OA1平面 ABC，9 分OA1为三棱柱 ABC-A1B1C1的高 又 ABC 的面积
16、SABC=3，故三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 V=SABCOA1=3.12 分20解：(1)f(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.依题 f(0)=4，f(0)=4.3 分故 b=4，a+b=8.从而 a=4，b=4.6 分(2)由(1)知，f(x)=4ex(x+1)-x2-4x，f(x)=4ex(x+2)-2x-4=2(x+2)(2ex-1).令 f(x)=0 得，x=-ln 2 或 x=-2.8 分所以在(-，-2)与(-ln2，+)上，f(x)0；f(x)单调递增在(-2，-ln 2)上，f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30.综上，|AB|=2 3或|AB|=15x,x,21设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，则 y=x2,x 1,23x6,x 1.其图像如图所示从图像可知，当且仅当 x(0,2)时，y0.所以原不等式的解集是x|0 x-1，且 xa,1)时，f(x)=1+a.不等式 f(x)g(x)化为 1+ax+3.2 2所以 xa-2 对 xa,1)都成立故aa-2，即 a4.232 2从而 a 的取值范围是(1,4.10 分38