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1、二次函数 动点相似【教学目标】本节内容目标星级是否掌握直角相似钝角相似对应关系确定一、 直角相似本节内容目标星级是否掌握直角相似【知识点】【类型综述】函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。【方法揭秘】相似三角形的判定定理有3
2、个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验如果已知AD，探求ABC与DEF相似，只要把夹A和D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题求线段的长，
3、要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错理解记忆比较好如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减图1【例题讲解】例题1如图，已知二次函数yx2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作ABx轴，交y轴与点D，交该二次函数图象于点B，连结BC（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向
4、上平移m（m0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的内部（不包含ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P时直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）练习1抛物线yax2+bx5过A（2，3）、B（4，3）、C（6，5）三点（1）求抛物线的表达式；（2）如图，抛物线上一点D在线段AC的上方，DEAB，交AC于点E，若满足DEAE=52，求点D的坐标；（3）如图，F为抛物线顶点，过A作直线lAB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上动，是否存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与ABF相似？若
5、存在，求P、Q的坐标；若不存在，请说明理由练习2如图，抛物线y=12x2+32x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（1）试求A，B，C的坐标；（2）将ABC绕AB中点M旋转180，得到BAD求点D的坐标；判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使BMP与BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由【题型知识点总结】 二、 钝角相似本节内容目标星级是否掌握钝角相似【例题讲解】例题2已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1=ax2+bx过点A（6，0）和点B（3，3）（1）求抛物线y1的解析式；（2）将抛物线y1沿x轴
6、翻折得抛物线y2，求抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线y2上是否存在点M，使OAM与AOB相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由练习1我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物面，经过锅心和盖心的纵断面是由两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图1所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2（1）求C1和C2的解析式；（2）如图2，过点B作直线BE：y=13x1交C1于点E（2，53），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的PBC与BO
7、E相似，求出P点的坐标；（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由 练习2如图，二次函数yax2+2x+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）（1）求该二次函数的表达式；（2）过点A的直线ADBC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【题型知识点总结】 三、 对应关系确定本节内容目标星级是否掌握对应关系确定【例题讲
8、解】例题3如图1，经过原点O的抛物线yax2+bx（a0）与x轴交于另一点A（32，0），在第一象限内与直线yx交于点B（2，t）（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且MBOABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得POCMOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由练习1如图1，已知抛物线yax2+bx（a0）经过A（6，0）、B（8，8）两点（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
9、（3）如图2，若点N在抛物线上，且NBOABO，则在（2）的条件下，在坐标平面内有点P，求出所有满足PODNOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）练习2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，过A、B、C 作P（1）求b、c的值；（2）求证：线段AB是P的直径；直线CD是P的切线；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【题型知识点总结】 【巩固练习】练习1如图所示，抛物线yx2+bx+c经过A、B两点，A
10、、B两点的坐标分别为（1，0）、（0，3）（1）求抛物线的函数解析式；（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DCDE，求出点D的坐标；（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标练习2如图，已知直线yx+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线yx2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式；（2）当t为何值
11、时，APQ为直角三角形；（3）过点P作PEy轴，交AB于点E，过点Q作QFy轴，交抛物线于点F，连接EF，当EFPQ时，求点F的坐标练习3如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，2）三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标练习4如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，2）三点（1）求出抛物线的解析式；（2）点D是在直线AC上方的抛物线上的一
12、点，求DCA面积的最大值；（3）P是抛物线上的一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由练习5如图，已知抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标（3）联接BC交x轴于点Fy轴上是否存在点P，使得POC与BOF相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由练习6如图，二次函数yx2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为点P，经过B、C两点的直
13、线为yx+3（1）求该二次函数的关系式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以点C、P、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以点P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由练习7如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），ACx轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四
14、边形AECP的最大面积；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由练习8如图，已知顶点为C的抛物线yax24ax+c与y轴交于点A（0，3），与x轴两个交点之间的距离为8，点B是抛物线上的点，且满足ABx轴，BDx轴于D（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在抛物线上确定一点F，使直线EF将四边形ABDO的面积两等分，求出点F的坐标；（3）在线段AB上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与AOC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由练习9如图1，已知抛物线yax22ax+3（a0），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若OB3OA（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，点P、点Q是第一象限的抛物线上不同的两点，是否存在这样的P点，使得SBCPSBCQ恒成立？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，D为抛物线的顶点在x轴上的正投影，M为线段OC上一点，过点M作直线l交抛物线于E、F两点，连接AE、OE、BF、DF，若AEODFB，求M点的坐标 14 / 14