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1、高等数学基础形考作业高等数学基础形考作业第第 1 1 章章函数函数第第 2 2 章章极限与连续极限与连续（一）单项选择题下列各函数对中，（C C）中的两个函数相等A.f (x) ( x)2，g(x) xB.f (x) x2f (x) ln x3，g(x) xC.，g(x) 3ln xD.x21f (x) x 1，g(x) x 1设函数f (x)的定义域为(,)，则函数f (x) f (x)的图形关于（C C）对称A. 坐标原点B.下列函数中为奇函数是（B B）A.x轴y xC.y 轴D.y ln(1 x2)B.y xcos xax axy 2D.C.y ln(1 x)下列函数中为基本初等函数是
2、（C C）A.y x 1B.y xC.y x2D.1,x 0y x 01,下列极限存计算不正确的是（D D）A.x2lim21B.limln(1 x) 0 x0 xx 2limsin x1 0D.lim xsin 0 xxxx当x 0时，变量（C C）是无穷小量sin x1A.B.xx1C.xsinD.ln(x 2)xC.若函数A.C.f (x)在点x0满足（A A），则f (x)在点x0连续。xx0lim f (x) f (x0)B.f (x)在点x0的某个邻域内有定义xx0 xx0 xx0lim f (x) f (x0)D.lim f (x) lim f (x)（二）填空题1函数f (x)
3、 x29ln(1 x)的定义域是3,x 3已知函数f (x 1) x2 x，则f (x) x2-x11x) e2lim(1x2x1xf (x) (1 x),x 0，在x 0处连续，则k x 0 x k ,若函数ex 1,x 0函数y 的间断点是x 0sin x ,x 0若xx0lim f (x) A，则当x x0时，f (x) A称为x x0时的无穷小量。（三）计算题设函数ex,x 0f (x) x ,x 0求：解：f (2), f (0), f (1)f2 2，f0 0，f1e1ey lg2x1的定义域x求函数2x1x 02x11解：y lg有意义，要求解得x 或x 0 x2x 0 x 0则
4、定义域为x|1x 0或x 2在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数解：DAROhEBC设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为 h，即 OE=h，下底 CD2R2直角三角形 AOE 中，利用勾股定理得AE OA2OE2R2h2则上底2AE故S 2 R2h2h 2R2 R2h2 h RR2h22sin3x求limx0sin2xsin3xsin3x3xsin3x3133解：lim lim3x lim3xx0sin2xx0sin2xx0sin2x21222x2x2x x21求limx1sin(x 1)x21(x1)
5、(x1)x111 lim lim 2解：limx1sin(x1)x1sin(x1)x1sin(x1)1x1tan3xx0 xtan3xsin3x1sin3x11 lim lim31 3 3解：limx0 x0 xxcos3xx03xcos3x1求lim1 x21求limx0sin x1 x21( 1 x21)( 1 x21)x2 lim lim解：lim2x0 x0 x0sin x( 1 x 1)sin x( 1 x21)sin x limx0 x( 1 x21)sinxx0 0111求lim(xx 1x)x 3111(1)x(1)x1x1xe1xxxx解：lim() lim() lim li
6、m3 e4xxx3xxx33e11(1)x(1)33xxx31x26x 8求lim2x4x 5x 4x26x8x4x2 limx2422解：lim2 limx4x 5x4x4x4x1x4x1413设函数3(x 2)2,x 1f (x) x ,1 x 1x 1,x 1讨论f (x)的连续性。 1,x 1处讨论连续性解：分别对分段点x（1）x1x1lim fx lim x 1x1lim fx limx1 11 0 x1x1x1所以（2）x1x1lim fx lim fx，即fx在x 1处不连续lim fx limx2121x1x122lim fx lim x 1f11所以limx1fx lim f
7、x f1即fx在x 1处连续x1由（1）（2）得fx在除点x 1外均连续高等数学基础作业高等数学基础作业 2 2 答案：答案：第第 3 3 章章导数与微分导数与微分（一）单项选择题设A.C.f (0) 0且极限limx0f (x)f (x)（C C）存在，则limx0 xxf (0)B.f (0)f (x)D.0cvxf (x)在x0可导，则limh0设f (x0 2h) f (x0)（D）2hA.C.2f (x0)B.f (x0)2f (x0)D. f (x0)设A.f (x) ex，则limx0eB.2eC.f (1 x) f (1)（A）x11eD.e24设f (x) x(x 1)(x
8、2)(x 99)，则f (0) （D）4A.99B.99C.99!D.99!下列结论中正确的是（C）A. 若C. 若f (x)在点x0有极限，则在点x0可导 B. 若f (x)在点x0连续，则在点x0可导f (x)在点x0可导，则在点x0有极限 D. 若f (x)在点x0有极限，则在点x0连续（二）填空题设函数12x sin,x 0，则f (0) f (x) xx 00 ,0设f (ex) e2x5ex，则d f (lnx)2 ln x5xxdx1。2。曲线f (x) x 1在(1, 2)处的切线斜率是k 曲线f (x) sin x在(,1)处的切线方程是y 1。2设y x2x，则y 2x2x
9、(1lnx)y xln x，则y 设1。x（三）计算题求下列函数的导数y：y (x x 3)ex31x解:y x x3 e x x3e (x 3)e x2e2xx32xy cotx x2lnx222解：y cot x xlnx xlnx csc x x2xlnxx2y ln xxlnx xlnx解：y 22ln2x2xlnx xln2x5cosx2xy x3x(sinx2cosx2x cosx2x解：y xx3x332xln2)3(cosx2x)4xln x x2y sin xlnx x解：y 21sin x(2x)(lnx x2)cosx2sin xlnx xsin xx22sin xsin
10、 xy x4sin xln xsin x43 y x sin x lnxsin x lnx 4x cosxlnx解：xsin x x2y 3xsinx x3 sinx x3解：y 32x2xx23x(cosx2x)(sinx x2)3xln32x3y extan x ln x解：y exex1tan xetan xlnx e tanx2cos xxxx求下列函数的导数y：y ex解：y e exx111x2e22 xxy lncosxy 解：1sin x sin x tanxcosxcosy x x x78781解：y x 8x6y sin2xy 2sin xsin x 2sin xcosx
11、2sin2x解：y sin x2解：y cosx22x 2xcosxx2y cose解：y sineex2 2xex2x2sinex2y sinnxcosnx解：y sinnxcosnx sinnxcosnx nsinn1xcosxcosnxnsinnxsin(nx)sinxy 5解：y 5sin xln5cosx ln5cosx5sin xy ecosxy y(x)是由方程确定的函数，求y：cosxcosxy esin x sin xe解：在下列方程中，ycosx e2yycosx ysin x 2e2yyy ysinxcosx 2e2y解：y cos yln xy sin y.yln x
12、cos y.1c o s yy xx(1sinylnx)解：x22xsin y y2xy 2ysiny2yx x2yx22yx解：2xcos y.y 2sin y y y (2xcos y ) 2sin y2xy2c o s y x2y2y2y2y x ln y7解：y yy1y yy 1ylnx e y2解：11 eyy 2yyy yxx(2y e )y21 exsin yx解：2yy e cos y.ysin y.exexsinyy x2y e c o s yey ex y3y解：e y e 3y yx2exy y3y2ey 5x 2yy 5 ln5 y2 ln2xy解：5xln5y y1
13、 2 ln2求下列函数的微分dy：（注：dy ydx）1cos x)dxcos2xsin2xy cot x csc x解：y csc2xcscxcotxdy (ln xsin xy 11sin xlnxcosxsin x ln xcosxxxdx解：y dy 22sin xsin xy sin2xy 2sin xcosxdy 2sin xcosxdx解：y tanexy sec2exexdy sec2exexdx exsec2exdx33解：求下列函数的二阶导数：8y x3311111解：y x2y x2 x22224y 3xy 3xln3y ln33xln3 ln233x解：y lnx11解
14、：y y 2xxy xsinx解：y sin x xcosxy cosxcosx xsin x 2cosx xsin x（四）证明题设f (x)是可导的奇函数，试证f (x)是偶函数f (x) f (x)证：因为 f(x)是奇函数 所以两边导数得：所以f (x)(1) f (x) f (x) f (x)f (x)是偶函数。高等数学基础形考作业高等数学基础形考作业 3 3 答案：答案：第 4 章导数的应用（一）单项选择题若函数f (x)满足条件（D），则存在(a, b)，使得f () f (b) f (a)b aA. 在(a, b)内连续B. 在(a, b)内可导C. 在(a, b)内连续且可导
15、D. 在a, b内连续，在(a, b)内可导函数A.C.f (x) x2 4x 1的单调增加区间是（D）(, 2)B.(1,1)(2, )D.(2, )函数y x2 4x 5在区间(6, 6)内满足（A）A. 先单调下降再单调上升B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降D. 单调上升函数f (x)满足f (x) 0的点，一定是f (x)的（C）A. 间断点B. 极值点9C. 驻点D. 拐点设A.C.f (x)在(a, b)内有连续的二阶导数，x0(a, b)，若f (x)满足（ C ），则f (x)在x0取到极小值f (x0) 0, f (x0) 0B.f (x0) 0, f (x0) 0f
16、(x0) 0, f (x0) 0D.f (x0) 0, f (x0) 0f (x)在(a, b)内有连续的二阶导数，且f (x) 0, f (x) 0，则f (x)在此区间内是（ A ）设A. 单调减少且是凸的B. 单调减少且是凹的C. 单调增加且是凸的D. 单调增加且是凹的（二）填空题设f (x)在(a, b)内可导，x0(a, b)，且当x x0时f (x) 0，当x x0时f (x) 0，则x0是f (x)的极小值点若函数函数函数f (x)在点x0可导，且x0是f (x)的极值点，则f (x0) 0y ln(1x2)的单调减少区间是(,0)f (x) ex2的单调增加区间是(0,)若函数
17、f (x)在a, b内恒有f (x) 0，则f (x)在a, b上的最大值是f (a)函数f (x) 25x 3x3的拐点是0,2（三）计算题求函数y (x1) (x5)2的单调区间和极值2解：令y x5(x1)2(x5) 3(x5)(x1)驻点x 1,x 5列表：极大值：极小值：求函数解：令：X(,1)+上升10极大值32(1,5)下降50极小值 0(5,)+上升yf (1) 32yf (5) 0y x22x3在区间0, 3内的极值点，并求最大值和最小值y 2x 2 0 x 1(驻点），列表：10极大值 2（1,3）下降10+上升xyy（0,1）y x22x3x122f (0) 3f (3)
18、 6f (1) 2极值点：f1 2 最大值f (3) 6 最小值f (1) 23.求曲线y2 2x上的点，使其到点A(2, 0)的距离最短解：设p(x, y)是y2 2x上的点，d 为 p 到 A 点的距离，则：d (x 2)2 y2(x 2)2 2x令d 2(x 2) 2x 12 (x 2)2 2x(x 2)2 2x 0 x 1 y 2y2 2x上点(1, 2)或1， -2到点A(2,0)的距离最短。4.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：设园柱体半径为 R，高为 h，则体积V R2h (L2h2)h令：V h(2h) L2h2L23h2
19、 0 L 3hR 2L当h 33,R 233L时其体积最大。5.一体积为 V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解：设园柱体半径为 R，高为 h，则体积V R2hS表面积 2Rh 2R2 2VR2R2令：S 2VR2 4R 0V R3V4V2 R 32h 3答：当R 3Vh 34V2时表面积最大。6.欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底长为 x，高为 h。则：62.5 x2h h 62.5x211h 33L侧面积为：S令S x2 4xh x2250 02x250 x 2x x3125 x 5答：当底连长为 5 米，高为 2.5 米时
20、用料最省。（四）证明题当x 0时，证明不等式x ln(1 x)1,1 x上对函数fx lnx应用拉格朗日定理，有证：在区间ln1 xln1其中11x1 x,故1，于是由上式可得x ln(1 x)1当x 0时，证明不等式ex x 1证：设f (x) ex(x 1)f (x) ex1 0(当x 0时）当x 0时, f (x)单调上升且f (0) 0 f (x) 0,即ex (x1)高等数学基础形考作业高等数学基础形考作业 4 4 答案：答案：第 5 章不定积分第 6 章定积分及其应用（一）单项选择题1，则f (x) （D）x1A.ln xB.2x12C.D.3xx若f (x)的一个原函数是下列等式
21、成立的是（D）Af (x)dx f (x)B.df (x) f (x)C.df (x)dx f (x)D.若A.C.df (x)dx f (x)dxf (x) cos x，则f (x)dx （B）sin x cB.cosxcsin x cD.cosxc12dx2f (x3)dx （B）dxA.C.f (x3)B.x2f (x3)11f (x)D.f (x3)33若f (x)dx F(x) c，则1xf ( x)dx （B）A.F( x)cB.2F( x)cF(2 x)cD.1xF( x) cC.下列无穷限积分收敛的是（D）A.11dxB.x0exdx1dxx2C.11dxD.x1（二）填空题函
22、数f (x)的不定积分是f (x)dx。若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式F(x)G(x)dxxe dx e2 c(常数）。2。(tan x)dx tan x c。若f (x)dx cos3x c，则f (x) 9cos(3x)。15(sin x )dx 3321dx收敛，则p 0。若无穷积分p1x3（三）计算题cose1xdx cos1d(1) sin1cxxxx2xxdx 2exdx 2exc11dx xln xln xd(ln x) ln(ln x) c13xsin2xdx e111111xd cos2x xcos2xcos2xdx xcos2x
23、sin2xc22224e1e3lnx1dx 1(3lnx)d(3lnx) (3lnx)x27210 xe2x12x1112x11321dx ex 0edx e2e2x 1 e00222444ee22e121e1ex1e1 122xlnxdx lnxdx lnx xdx ee 121212122214eelnxx2dx 1ee11xlnx 111x2dx ex2e111（四）证明题证明：若f (x)在a,aa上可积并为奇函数，则af (x)dx 0证:令x taaaaf (x)dx aaf (t)dt af (t)dt af (t)dtaaf (x)dx aaf (x)dxaaf (x)dx 0证毕证明：若f (x)在a,a上可积并为偶函数，则af (x)dx 2aa0f (x)dx(x)dx 0f (x)dx a证：aafa0f (x)dx令x t,则0f (x)dx 0f (t)dt aaa0f (t)dtf (x)是偶函数a(x)dx 0f (x)dx af (x)dx aaaafa00f (x)dx 0f (x)dx 20f (x)dx144证毕