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1、1 / 17 高等数学基础作业1 第 1 章函数第 2 章 极限与连续（一）单项选择题下列各函数对中，（C）中的两个函数相等 A. 2)()(xxf，xxg)( B. 2)(xxf，xxg)( C. 3ln)(xxf，xxgln3)( D. 1)(xxf，11)(2xxxg分析 ：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同A、2( )()f xxx，定义域|0 x x；xxg)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等；B、2( )f xxx，xxg)(对应法则不同，所以函数不相等；C、3( )ln3lnf xxx，定义域为|0 x x，xxgln3)(，定义域为|0 x x所以
2、两个函数相等D、1)(xxf，定义域为R；21( )11xg xxx，定义域为|,1x xR x定义域不同，所以两函数不等。故选 C 设函数)(xf的定义域为),(，则函数)()(xfxf的图形关于（ C）对称 A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. xy分析 ：奇函数，()( )fxf x，关于原点对称偶函数，()( )fxf x，关于 y 轴对称yfx与它的反函数1yfx关于yx对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设g xfxfx，则gxfxfxg x所以g xfxfx为偶函数，即图形关于y 轴对称故选 C 下列函数中为奇函数是（B） A. )1ln(2xy B. xxyc
3、os C. 2xxaay D. )1ln(xy分析： A、22ln(1)ln 1yxxxy x，为偶函数B、coscosyxxxxxy x，为奇函数或者 x 为奇函数， cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数C、2xxaayxy x，所以为偶函数D、ln(1)yxx，非奇非偶函数故选 B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页2 / 17 下列函数中为基本初等函数是（C） A. 1xy B. xy C. 2xy D. 0,10,1xxy分析：六种基本初等函数（1）yc（常值）常值函数（2）,yx为常数幂函数（3）0
4、,1xyaaa指数函数（4）log0,1ayx aa对数函数（5）sin ,cos ,tan ,cotyx yx yx yx三角函数（6）sin ,1,1 ,cos ,1,1 ,tan ,cotyarcxyarcxyarcx yarcx反三角函数分段函数不是基本初等函数，故D 选项不对对照比较选C 下列极限存计算不正确的是（D） A. 12lim22xxx B. 0)1ln(lim0 xx C. 0sinlimxxx D. 01sinlimxxx分析： A、已知1lim00nxnx2222222211limlimlim1222101xxxxxxxxxxxB、0limln(1)ln(10)0 x
5、x初等函数在期定义域内是连续的C、sin1limlimsin0 xxxxxxx时，1x是无穷小量，sin x是有界函数，无穷小量有界函数仍是无穷小量D、1sin1limsinlim1xxxxxx，令10,txx，则原式0sinlim1ttt故选 D 当0 x时，变量（ C）是无穷小量 A. xxsin B. x1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页3 / 17 C. xx1sin D. 2)ln(x分析；lim0 xafx，则称fx为xa时的无穷小量A、0sinlim1xxx，重要极限B、01limxx，无穷大量C、
6、01limsin0 xxx，无穷小量x有界函数1sinx仍为无穷小量D、0limln(2)=ln0+2ln 2xx故选 C 若函数)(xf在点0 x满足（ A），则)(xf在点0 x连续。 A. )()(lim00 xfxfxx B. )(xf在点0 x的某个邻域内有定义 C. )()(lim00 xfxfxx D. )(lim)(lim00 xfxfxxxx分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即00limxxfxfx连续的充分必要条件00000limlimlimxxxxxxfxfxfxfxfx故选 A （二）填空题函数)1ln(39)(2xxxxf的定义域是|3x x分
7、析：求定义域一般遵循的原则（1）偶次根号下的量0（2）分母的值不等于0 （3）对数符号下量（真值）为正（4）反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于1 （5）正切符号内的量不能取0,1,22kk然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域)1ln(39)(2xxxxf要求2903010 xxx得3331xxxx或求交集31 3定义域为|3x x已知函数xxxf2) 1(，则)(xfx2-x分析：法一，令1tx得1xt则22( )11f ttttt则2fxxx法二，(1)(1)1 11f xx xxx所以( )1f ttt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
8、- - - - - -第 3 页，共 17 页4 / 17 xxx)211(lim分析：重要极限1lim 1xxex，等价式10lim 1xxxe推广limxafx则1lim(1)fxxaefxlim0 xafx则1lim(1)f xxafxe1122211lim(1)lim(1)22xxxxexx若函数0,0,)1 ()(1xkxxxxfx，在0 x处连续，则ke 分析：分段函数在分段点0 x处连续000limlimxxxxfxfxfx00100limlim0limlim 1xxxxxfxxkkkfxxe所以ke函数0,sin0,1xxxxy的间断点是0 x分析：间断点即定义域不存在的点或不
9、连续的点初等函数在其定义域范围内都是连续的分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）0000limlim1011limlim sin0 xxxxfxxfxx不等，所以0 x为其间断点若Axfxx)(lim0，则当0 xx时，Axf)(称为0 xx时的无穷小量分析：000lim( )lim( )lim0 xxxxxxf xAf xAAA所以Axf)(为0 xx时的无穷小量（二）计算题设函数0,0,e)(xxxxfx求：)1(,)0(,)2(fff解：22f，00f，11fee求函数21lgxyx的定义域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
10、- - -第 4 页，共 17 页5 / 17 解：21lgxyx有意义，要求2100 xxx解得1020 xxx或则定义域为1|02x xx或在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数解：D A R O h E B C 设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h，即 OE=h，下底 CD 2R 直角三角形AOE 中，利用勾股定理得2222AEOAOERh则上底2222AERh故2222222hSRRhh RRh求xxx2sin3sinlim0解：000sin3sin33sin3333limlimlimsin2s
11、in2sin22222xxxxxxxxxxxxxxx133122求)1sin(1lim21xxx解：21111(1)(1)11 1limlimlim2sin(1)sin(1)sin(1)11xxxxxxxxxxx求xxx3tanlim0解：000tan3sin31sin311limlimlim3133cos33cos31xxxxxxxxxxx求xxxsin11lim20解：22222200011( 11)( 11)limlimlimsin( 11)sin( 11)sinxxxxxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，
12、共 17 页6 / 17 020lim0sin1 11( 11)xxxxx求xxxx)31(lim解：1143331111(1)(1)1lim()lim()limlim33311(1)(1) 3xxxxxxxxxxxexxxexexxx求4586lim224xxxxx解：2244442682422limlimlim544114 13xxxxxxxxxxxxx设函数1,111,1,)2()(2xxxxxxxf讨论)(xf的连续性，并写出其连续区间解：分别对分段点1,1xx处讨论连续性（1）1111limlim1limlim11 10 xxxxfxxfxx所以11limlimxxfxfx，即fx在
13、1x处不连续（2）221111limlim2121limlim111xxxxfxxfxxf所以11limlim1xxfxfxf即fx在1x处连续由（ 1）（ 2）得fx在除点1x外均连续故fx的连续区间为, 11,高等数学基础第二次作业第 3 章导数与微分（一）单项选择题设0)0(f且极限xxfx)(lim0存在，则xxfx)(lim0（C） A. )0(f B. )0(f C. )(xf D. 0cvx 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页7 / 17 设)(xf在0 x可导，则hxfhxfh2)()2(lim00
14、0（D） A. )(20 xf B. )(0 xf C. )(20 xf D. )(0 xf设xxfe)(，则xfxfx)1 ()1(lim0（ A） A. e B. e2 C. e21 D. e41设)99()2)(1()(xxxxxf，则)0(f（D） A. 99 B. 99 C. !99 D. !99下列结论中正确的是（ C ） A. 若)(xf在点0 x有极限，则在点0 x可导B. 若)(xf在点0 x连续，则在点0 x可导 C. 若)(xf在点0 x可导，则在点0 x有极限 D. 若)(xf在点0 x有极限，则在点0 x连续（二）填空题设函数0,00,1sin)(2xxxxxf，则)
15、0(f0设xxxfe5e)e(2，则xxfd)(lndxxx5ln2曲线1)(xxf在)2,1(处的切线斜率是21k曲线xxfsin)(在)1,4(处的切线方程是)41(2222xy设xxy2，则y)ln1(22xxx设xxyln，则yx1（三）计算题求下列函数的导数y：xxxye)3(xxexexy212323)3(xxxylncot2xxxxyln2csc2xxyln2xxxxy2lnln232cosxxyx4)2(cos3)2ln2sin(xxxxyxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页8 / 17 xxxy
16、sinln2xxxxxxxy22sincos)(ln)21(sinxxxylnsin4xxxxxylncossin43xxxy3sin2xxxxxxxy2233ln3)(sin)2(cos3xxyxlntanexxexeyxx1costan2求下列函数的导数y：21exy2112xxeyx3coslnxy32233tan33cossinxxxxxyxxxy87xy8187xy3xxy)211 ()(31213221xxxyxyecos2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页9 / 17 )2sin(xxeey2ecos
17、xy22sin2xxexeynxxyncossin)sin(sincoscossin1nxxnnxxxnynn2sin5xy2sin25cos5ln2xxxyxy2sinexxey2sin2sin22exxxy222)ln2(xxxexxxxyxxxyeeexexxeeexexexyxx)ln(在下列方程中，yy x( )是由方程确定的函数，求y：yxy2ecosyexyxyy22sincosyexxyy22cossin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页10 / 17 xyylncosxyxyyy1.cosln.s
18、in)lnsin1 (cosxyxyyyxyx2sin2222sin2.cos2yyxyxyyyxyyyxyxyxysin22)cos2(22222cos2sin22xyxyyyxyyyxyln1yyy1yyy2elnyxyyyyexy21)2(1yeyxyyyxsine12xxeyyyeyy.sin.cos2yeyyeyxxcos2sin3eeyxyyyeyexy2323yeeyyxyxy252ln25ln5yxyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页11 / 17 2ln215ln5yxy求下列函数的微分yd：
19、xxycsccotdxxxxdy)sincoscos1(22xxysinlndxxxxxxdy2sincoslnsin1xxy11arcsindxxxxdxxxxxxdy2222)1(11)1()1()1 ()11(11311xxy两边对数得：)1ln()1ln(31lnxxy)1111(31xxyy)1111(11313xxxxyxyesin2dxeedxeeedyxxxxx)2sin(sin233etanxyxdxexdxxedyxx2222sec33sec33精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页12 / 17
20、 求下列函数的二阶导数：xxylnxyln1xy1xxysinxxxysincosxxxycos2sinxyarctan211xy22)1(2xxy23xy3ln322xxy2233ln23ln3422xxxy（四）证明题设)(xf是可导的奇函数，试证)(xf是偶函数证：因为f(x)是奇函数所以)()(xfxf两边导数得：)()()()1)(xfxfxfxf所以)(xf是偶函数。高等数学基础第三次作业第 4 章导数的应用（一）单项选择题若函数)(xf满足条件（ D），则存在),(ba，使得abafbff)()()( A. 在),(ba内连续 B. 在),(ba内可导 C. 在),(ba内连续且
21、可导 D. 在,ba内连续，在),(ba内可导函数14)(2xxxf的单调增加区间是（D） A. )2,( B. )1,1( C. ),2( D. ),2(函数542xxy在区间)6,6(内满足（ A）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页13 / 17 A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升函数)(xf满足0)(xf的点，一定是)(xf的（ C） A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点设)(xf在),(ba内有连续的二阶导数，),(0bax，若)(xf满足
22、（C ），则)(xf在0 x取到极小值 A. 0)(,0)(00 xfxf B. 0)(,0)(00 xfxf C. 0)(,0)(00 xfxf D. 0)(,0)(00 xfxf设)(xf在),(ba内有连续的二阶导数，且0)(,0)(xfxf，则)(xf在此区间内是（ A ） A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的（二）填空题 设)(xf在),(ba内 可 导 ，),(0bax， 且 当0 xx时0)(xf， 当0 xx时0)(xf，则0 x是)(xf的 极小值点若函数)(xf在点0 x可导，且0 x是)(xf的极值点，则)(0 x
23、f0函数)1ln(2xy的单调减少区间是)0,(函数2e)(xxf的单调增加区间是),0(若函数)(xf在,ba内恒有0)(xf，则)(xf在,ba上的最大值是)(af函数3352)(xxxf的拐点是x=0 （三）计算题求函数2(1) (5)yxx的单调区间和极值令)2)(5(2)5(2)1(2xxxxy5, 2 xx驻点列表：极大值：27)2(f极小值：0)5(f求函数223yxx在区间3,0内的极值点，并求最大值和最小值令：）xxy驻点( 10226)3(f最大值2)1 (f最小值试确定函数dcxbxaxy23中的dcba,，使函数图形过点)44,2(和点X )2 ,(2 (2,5) 5
24、), 5(y+ 极大- 极小+ y 上升27 下降0 上升2) 1(6)3(3)0(fff精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页14 / 17 )10,1(，且2x是驻点，1x是拐点解：bacbadcbadxbb26041201024844241631dcba求曲线xy22上的点，使其到点)0,2(A的距离最短解：上的点是设xyyxp2),(2，d 为 p 到 A 点的距离，则：xxyxd2)2()2(222102)2(12)2(22)2(222xxxxxxxd令。Axy的距离最短到点上点)0, 2()2, 1(22
25、圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？设园柱体半径为R，高为 h，则体积hhLhRV)(222LhhLhLhLhhV：33303)2(2222令。LRhLR时其体积最大当32,3332一体积为V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？设园柱体半径为R，高为 h，则体积2222222RRVRRhShRV表面积33222042VRRVRVRS：令34Vh答：当32VR34Vh时表面积最大。欲做一个底为正方形，容积为62.5 立方 M 的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底连长为x，高为 h。则：225 .625 .62xhhx侧面积为：x
26、xxhxS250422令51250250232xxxxS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页15 / 17 答：当底连长为5M，高为 2.5M 时用料最省。（四）证明题当0 x时，证明不等式)1ln(xx证：由中值定理得：)0(1111)1 (1ln)1ln()1ln(xxxx）xxxxx时当0()1ln(1)1ln(当0 x时，证明不等式1exx)1()(xexfx设0)0()(00(01)(fxfx）xexfx单调上升且时当时当证毕即) 1(, 0)(xexfx高等数学基础第四次作业第 5 章不定积分第 6 章
27、定积分及其应用（一）单项选择题若)(xf的一个原函数是x1，则)(xf（D） A. xlnB. 21xC. x1D. 32x下列等式成立的是（D） A)(d)(xfxxfB. )()(dxfxfC. )(d)(dxfxxfD. )(d)(ddxfxxfx若xxfcos)(，则xxfd)(（B） A. cxsin B. cxcosC. cxsinD. cxcosxxfxxd)(dd32（B） A. )(3xf B. )(32xfx C. )(31xfD. )(313xf若cxFxxf)(d)(，则xxfxd)(1（B） A. cxF)( B. cxF)(2C. cxF)2(D. cxFx)(1由
28、区间,ba上的两条光滑曲线)(xfy和)(xgy以及两条直线ax和bx所围成的平面区域的面积是（C）A. baxxgxfd)()(B.baxxfxgd)()(C.baxxgxfd)()(D. baxxgxfd)()(（二）填空题函数)(xf的不定积分是dxxf)( 若 函 数)(xF与)(xG是 同 一 函 数 的 原 函 数 ， 则)(xF与)(xG之 间 有 关 系 式）cxGxF常数()()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页16 / 17 xxded22xexx d)(tancxtan若cxxxf3cos
29、d)(，则)(xf)3cos(9x335d)21(sinxx3 若无穷积分1d1xxp收敛，则0p（三）计算题cxxdxxxx1sin)1(1cosd1cos2cexdexxxxx22decxxdxxxx)ln(ln)(lnln1dln1cxxxxdxxxxxx2sin412cos212cos212cos21d2sine11e121)ln3(21)ln3d()ln3(dln3exxxxxx414141212121de21022102102102eeedxexexxxxxx41221ln2dln2112e1exdxxxxxxeeeeeexedxxxxxxx1121e1212111ln1dln（四
30、）证明题证明：若)(xf在,aa上可积并为奇函数，则0d)(aaxxf证 :aaaaaaaadttfdttfdttfdxxftx)()()()(令0)()()(aaaaaadxxfdxxfdxxf证毕证明：若)(xf在,aa上可积并为偶函数，则aaaxxfxxf0d)(2d)(证：aaaaxxfxxfxxf00d)(d)(d)(aaaxftftfxxftx000)(dt)(dt)(d)(,是偶函数则令证毕aaaaaaaxxfxxfxxfxxfxxfxxf00000d)(2d)(d)(d)(d)(d)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页17 / 17 证明：aaaxxfxfxxf0d)()(d)(证：aaaaaaxxfxxfxxfxxfxxf0000d)(d)(d)(d)(d)(=aaaxxfxfxxfxxf000d)()(d)(d)(证毕精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页