《江苏省2013届高考数学二轮复习 专题3 导数(Ⅰ) .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省2013届高考数学二轮复习 专题3 导数(Ⅰ) .doc（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题3 导_数()导数作为研究函数的重要工具，同时也是学习高等数学的基础，一直受到命题者的青睐.2008年考了2小题，并在17题中进行了考查(运用导数求三角函数的最值)；2009年考了2小题，都是考查三次函数的导数，显然重复；2010年第8题和压轴题都考查了导数；2011年12题和19题；2012年14题和18题.可以看出江苏高考每年都会出现两题考查导数的几何意义或者导数的四则运算以及利用导数研究极值、单调性等.预测在2013年的高考题中：(1)导数的几何意义；(2)利用导数研究函数的单调性或者极值、最值.1(2009江苏高考)在平面直角坐标系xOy中
2、，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为_解析：y3x2102x2，又点P在第二象限内，故x2.点P的坐标为(2,15)答案：(2,15)2(2010江苏高考)函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak1，k为正整数，a116，则a1a3a5_.解析：在点(ak，a)处的切线方程为ya2ak(xak)，当y0时，解得x，所以ak1.则a1a3a5164121.答案：213若函数f(x)ex2xa在R上有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：当直线y2xa和yex相切时，仅有一个公共点，这时切点是(ln 2
3、,2)，直线方程是y2x22ln 2，将直线y2x22ln 2向上平移，这时两曲线必有两个不同的交点答案：(22ln 2，)4(2010江苏高考)将边长为1 m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S，则S的最小值是_解析：设剪成的小正三角形的边长为x，则S(0x1)法一：利用导数求函数最小值S(x)，S(x).令S(x)0，又0x1，所以x.当x时，S(x)0，函数单调递增；故当x时，S取最小值为.法二：利用函数的方法求最小值令3xt，t(2,3)，则S.故当，x时，S取最小值为.答案：5(2011江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)ex(x
4、0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_解析：设P(x0，ex0)，则l：ye x0e x0 (xx0)，所以M(0，(1x0)e x0)过点P作l的垂线其方程为ye x0ex0 (xx0)，N(0，e x0x0ex0)，所以t(1x0)e x0e x0x0ex0e x0x0(ex0e x0)t(ex0ex0)(1x0)，所以t在(0,1)上单调增，在(1，)上单调减，所以当x01时，t取最大值tmax.答案：(2012扬州调研)已知函数f(x)exax，g(x)ex ln x(e是自然对数的底数)(1)
5、若曲线yf(x)在x1处的切线也是抛物线y24(x1)的切线，求a的值；(2)若对于任意xR，f(x)0恒成立，试确定实数a的取值范围；(3)当a1时，是否存在x0(0，)，使曲线C：yg(x)f(x)在点xx0处的切线斜率与f(x)在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由解(1)f(x)exa，f(1)ea，所以在x1处的切线为y(ea)(ea)(x1)，即y(ea)x.与y24(x1)联立，消去y得(ea)2x24x40，由0知，a1e或a1e.(2)f(x)exa，当a0时，f(x)0，f(x)在R上单调递增，且当x时，ex0，ax，所以f(x)，故f(x
6、)0不恒成立，所以a0不合题意；当a0时，f(x)ex0对xR恒成立，所以a0符合题意；当a0时，令f(x)exa0，得xln(a)，当x(，ln(a)时，f(x)0，故f(x)在(，ln(a)上单调递减，在(ln(a)，)上单调递增，所以f(x)minf(ln(a)aa ln(a)0，所以ae.又a0，所以ln x10.令(x)ln x1，则(x)，当0x1时，(x)1时，(x)0.所以(x)ln x1在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增所以(x)(1)0，故方程ex0有惟一解为1.所以存在符合条件的x0，且仅有一个x01.第一问考查导数的几何意义；第二问还可采用分离参数构造函数求最
7、值的方法，不过也要进行讨论；第三问先求f(x)的最小值，然后再研究函数h(x)g(x)f(x)exln xexx在xx0处的切线斜率，最后利用函数与方程思想，把方程实根的问题转化为函数的零点问题已知抛物线C1：yx22x和C2：yx2a.如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段(1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分解：(1)函数yx22x的导数y2x2曲线C1在点P(x1，x2x1)的切线方程是y(x2x1)(2x12)(xx1)，即y(2x
8、12)xx.函数yx2a的导数y2x，曲线C2在点Q(x2，xa)的切线方程是y(xa)2x2(xx2)，即y2x2xxa.如果直线l是过P和Q的公切线，则式和式都是l的方程所以消去x2得方程2x2x11a0.当判别式442(1a)0，即a时，解得x1，x2，此时点P与Q重合即当a时C1和C2有且仅有一条公切线，由得公切线方程为yx.(2)证明：由(1)可知，当a2，若曲线C：yx3x(1x2)，求关于k的函数关系式d(k)解：(1)y2x21(1x2)的端点为A(1,1)，B(2,7)，y4x，由y1得到切点为，当k1时，与曲线C相切的直线只有一条结合题意可得，两条平行直线中一条与曲线C：y
9、2x21(1x2)相切，另一条直线过曲线的端点B(2，7)平行的两条直线分别为：xy90和xy0.由两条平行线间的距离公式可得，d(1).(2)曲线C：yx3x(1x2)的端点A(1,0)，B(2,6)，y3x211,11下面分两种情况：当k11时，两条直线都不是曲线的切线，且分别经过点A(1,0)，B(2,6)，此时两条直线方程分别为l：yk(x1)，m：y6k(x2)，所以d(k)；当2k2且1a2得到1a2，且a 从而推出l，m当中有一条与曲线C相切，有一条经过一点，且是经过A(1,0)的直线，和以B(2,6)为切点的直线，方程分别为l：yk(x1)，m：y(3a21)(xa)a3akx
10、(1k)，所以d(k).综上得d(k)本题是一个即时定义问题，背景新颖，在解决第二问时要注意将k看成一个常数，对k进行讨论，探究出两条直线与曲线C的关系是都相切还是都是经过点还是一个相切一个经过点，并且了解经过哪个点这些都可以利用导数这个工具解决设函数f(x)ax(a，bZ)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值解：(1)f(x)a，于是解得或因为a，bZ，故f(x)x.(2)证明：在曲线上任取一点，由f(x0)1知，过此点的切线方程为y(xx0)令x1，得
11、y，切线与直线x1的交点为；令yx，得y2x01，切线与直线yx的交点为(2x01,2x01)直线x1与直线yx的交点为(1,1)从而所围三角形的面积为|2x011|2.所以所围三角形的面积为定值2.(2012泰州中学期中)已知函数f(x)ax3bx23x(a，bR)在点(1，f(1)处的切线方程为y20.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于区间2,2上任意两个自变量的值x1，x2都有|f(x1)f(x2)|c，求实数c的最小值；(3)若过点M(2，m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围解：(1)f(x)3ax22bx3.根据题意，得即解得所以f(x)x33x.(2
12、)令f(x)0，即3x230，得x1.x2(2，1)1(1,1)1(1,2)2f(x)00f(x)2极大值极小值2因为f(1)2，f(1)2，所以当x2,2时，f(x)max2，f(x)min2.则对于区间2,2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min|4，所以c4，即c的最小值为4.(3)因为点M(2，m)(m2)不在曲线yf(x)上，所以可设切点为(x0，y0)因为f(x0)3x3，所以切线的斜率为3x3.则3x3，即2x6x6m0.因为过点M(2，m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线，所以方程2x6x6m0有三个不同的实数解所以函数g(
13、x)2x36x26m有三个不同的零点则g(x)6x212x.令g(x)0，则x0或x2.x(，0)0(0,2)2(2，)g(x)00g(x)极大值极小值则即解得6mn1；(3)对于函数h(x)和g(x)定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得不等式h(x)kxb和g(x)kxb都成立，则称直线ykxb是函数h(x)与g(x)的“分界线”设函数h(x)x2，g(x)ex1f(x)，试问函数h(x)与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出常数k，b的值；若不存在，说明理由解：(1)f(x)x1ln x(x0)，f(x)1.当x(0,1)时，f(x)0，f(x)递增f(x)的最小值为f(1)0
14、.(2)证明：由(1)知当x0时，恒有f(x)0，即x1ln x.故ex1x，从而有exx1，当且仅当x0时取等号分别令x1，可得e1112，e1，e1，e1，相乘可得e12n1，即e1n1.(3)令F(x)h(x)g(x)x2eln x(x0)，则F(x)x，当x(0，)时，F(x)0，F(x)递增所以当x时，F(x)取得最小值0.则h(x)与g(x)的图象在x处有公共点.设函数h(x)与g(x)存在“分界线”，方程为yk(x)，应有h(x)kxk在xR时恒成立，即x22kxe2k0在xR时恒成立，必须4k24(2ke)4(k)20，得k.下证g(x)x在x0时恒成立，记G(x)eln xx
15、，则G(x)，当x(0，)时，G(x)0，G(x)递增；当x(，)时G(x)0时恒成立综上可知，函数h(x)与g(x)存在“分界线”，其中k，b.(1)利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围和符号(2)可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数yf(x)在xx0处的导数表示曲线在点P(x0，f(x0)处切线的斜率，因此，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程可如下求得：求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为yy0f(x0)(xx0)1(2012南通调研)设P是函数y(x1)图象上异于原
16、点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是_解析：依题意得，yxx，yxx(x0)，当x0时，yxx2 ，即该图象在点P处的切线的斜率不小于，即tan .又0，)，因此，即的取值范围是.答案：2若方程ln x2xa0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是_解析：作出yln x和y2xa的图象，分析方程ln x2xa0，有两个不等的实数根问题，即是研究yln x和y2xa的图象交点问题，如图可知，y2xa与yln x相切时，a1ln 2，只要a1ln 2，图象都有两个不等的交点，即a(，1ln 2)答案：(，1ln 2)3若函数f(x)ln x在区间(m，m2)上单调递减，则实
17、数m的范围是_解析：由f(x)ln x，得f(x)，由f(x)0得0x3，所以f(x)的减区间是(0,3由(m，m2)(0,3得0m1.答案：0,14f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则a_，b_.解析：f(x)3x22axb，由已知，得即解得或经检验，当a3，b3时，x1不是极值点；当a4，b11时，符合题意答案：4115设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与y轴的交点的纵坐标为yn，令bn2yn，则b1b2b2 010的值为_解析：先求出函数在(1,1)处的切线方程y1(n1)(x1)，令x0，求出ynn，下面利用指数式的运算法则以及等差数列求和即可答案：2 0111
18、 0056已知函数yf(x)在定义域上可导，其图象如图，记yf(x)的导函数yf(x)，则不等式xf(x)0的解集是_解析：利用函数f(x)的图象信息得出f(x)0的解集是，f(x)0的解集是1,3)，从而由xf(x)0，得或从而0x1或x.答案：0,17曲边梯形由曲线yex，y0，x1，x5所围成，过曲线yex，x1,5上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P的坐标是_解析：如图设P(x0，y0)，得切线AB方程yex0ex0(xx0)，从而A(1，e x0 (2x0)，B(5，ex0(6x0)，所以梯形的面积S2e x0(82x0)4ex0(4x0)，对S
19、求导得S4ex0(3x0)，易知S(x0)在(1,3)上递增，(3,5)上递减，所以S(x0)取最大时，P点坐标为(3，e3)答案：(3，e3)8已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不是单调函数，则t的取值范围是_解析：由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不是单调函数，由t1t1或者t3t1，得0t1或者2t3.答案：(0,1)(2,3)9给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)(f(x).
20、若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在上不是凸函数的是_(把你认为正确的序号都填上)f(x)sin xcos x；f(x)ln x2x；f(x)x32x1；f(x)xex.解析：对于，f(x)(sin xcos x)，x时，f(x)0恒成立；对于，f(x)，在x时，f(x)0恒成立；对于，f(x)6x，在x时，f(x)0恒成立，所以f(x)xex不是凸函数答案：10设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlg xn，则a1a2a99的值为_解析：函数在(1,1)处切线方程为y1(n1)(x1)，令y0得到xn，所以a1a2a9
21、9lg 2.答案：211已知函数f(x)bx(a，bR)(1)若f(x)在R上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为2 680，试求a和b的值；(2)若f(x)为奇函数，是否存在实数b，使得f(x)在为增函数，为减函数？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由；如果当x0时，都有f(x)0恒成立，试求b的取值范围解：(1)f(x)在xR上存在最大值和最小值，b0(否则f(x)值域为R)yf(x)sin xycos x2ya|sin(x)|13y24aya210，又4a2120，由题意有yminymaxa2 680，a2 010.(2)若f(x)为奇函数，xR，f(0)0a0，f(x)bx
22、，f(x)b，若bR，使f(x)在上递增，在上递减，则f0，b0.这时f(x)，当x时，f(x)0，f(x)递增，当x时f(x)0，f(x)递减f(x)，4(12b)2b(14b)4(13b)，若0，则b，则f(x)0，对x0恒成立，这时f(x)在0，)上递减，f(x)f(0)0.若b0，则当x0时，bx0，)，f(x)bx不可能恒小于等于0.若b0，则f(x)不合题意若0b0，f()b10，这时f(x)递增，f(x)f(0)0，不合题意综上b的取值范围为.12(2012无锡一中)已知函数f(x)x3ax2a2x2，aR.(1)若a0时，试求函数yf(x)的单调递减区间；(2)若a0，且曲线y
23、f(x)在点A，B(A，B不重合)处切线的交点位于直线x2上，证明：A，B两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切 x1，x2，x30,1，总存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围解：(1)函数f(x)的导函数f(x)3x22axa23(xa).因为a0，由f(x)0，解得xa.所以函数yf(x)的单调递减区间为.(2)当a0时，f(x)x32.设在点A(x1，x2)，B(x2，x2)处的切线交于直线x2上一点P(2，t)因为y3x2，所以曲线yf(x)在点A处的切线斜率为k3x，所以在点A处的切线方程为y(x2)3x(xx1)因为切线过点P，所以t
24、(x2)3x(2x1)，即2x6x(t2)0.同理可得2x6x(t2)0.两式相减得2(xx)6(xx)0，即(x1x2)(xx1x2x)3(x1x2)(x1x2)0.因为x1x20，所以xx1x2x3(x1x2)0.即(x1x2)2x1x23(x1x2)0.因为x1x22，且x1x2，所以x1x22.从而上式可以化为(x1x2)223(x1x2)0，即(x1x2)(x1x24)0.解得0x1x24，即A，B两点的横坐标之和小于4.(3)由题设知，f(0)f(1)f(1)，即22(a2a3)，解得1a0，所以0a2.因为f(x)3(xa)，所以当x时，f(x)0，f(x)单调递增所以当x时，f(x)有最小值fa32.从而条件转化为由得a；由得a .再根据0a2得0a .不等式化为a3a2a10，所以g(a)为增函数又g(2)0，所以当a时，g(a)0恒成立，即成立所以a的取值范围为.- 15 -