均值向量和协方差阵的检验.ppt

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1、均值向量和协方差阵的检验现在学习的是第1页，共81页二元正态分布二元正态分布的密度函数为：的密度函数为：X与与Y的边缘密度函数为：的边缘密度函数为：现在学习的是第2页，共81页设随机向量设随机向量X(X1,Xn)T，Y(Y1,Ym)T.随机向量随机向量X的的均值向量均值向量E(X)(E(X1),E(Xn)T.随机向量随机向量X和和Y的的协方差阵协方差阵Cov(X,Y)=E(XE(x)(YE(Y)T 随机向量随机向量X的的协方差阵协方差阵D(X)=Cov(X,X)=E(XE(x)(XE(X)T 现在学习的是第3页，共81页随机向量随机向量X的的相关阵相关阵 R=(rij)nn其中其中 rij=i

2、j/D(Xi)D(Xj)0.5均值向量与协方差阵的性质均值向量与协方差阵的性质1.设设X、Y是随机向量，是随机向量，A、B是常数矩阵，则是常数矩阵，则E(AX)=A E(X)E(AXB)=A E(X)B D(AX)=A D(X)AT Cov(AX,BY)=A Cov(X,Y)BT 2.若若X与与Y相互独立，则相互独立，则Cov(X,Y)=0；反之，不一定成立。；反之，不一定成立。3.随机向量随机向量X的协方差阵的协方差阵D(X)=是对称非负定矩阵，并有如下分解：是对称非负定矩阵，并有如下分解：AAT(A是可逆阵是可逆阵)。现在学习的是第4页，共81页若若m元随机向量元随机向量X(X1,Xm)T

3、的概率密度函数为的概率密度函数为f(x1,xm)=(2)-m/2|-0.5 exp-0.5(x)T-1(x)其中其中、分别是分别是X的均值向量和协方差阵，则称的均值向量和协方差阵，则称X为为m元正态分布元正态分布。记作记作X N(,)。现在学习的是第5页，共81页定理定理1.1.已知已知X X N N(,2 2),),则则Y=a+bXY=a+bX N N(a+b(a+b,b,b2 2 2 2)正态随机变量的线性函数的分布正态随机变量的线性函数的分布推论推论.已知已知X X N N(,2 2),),则则X X*=(X-=(X-)/)/N N(0,1)(0,1)定理定理2.2.已知已知X X与与Y

4、 Y相互独立，且相互独立，且 X X N N(x x,x x2 2),Y),Y N N(y y,y y2 2),),则则 Z=aX+bYZ=aX+bY N N(a(a x x+b+b y y,a,a2 2 x x2 2+b+b2 2 y y2 2)定理定理3.3.设随机变量设随机变量X X1 1,X,X2 2，.,X.,Xn n独立且独立且X Xi i服从正态服从正态分布分布N(N(i i,i i2 2),i=1,.,n,),i=1,.,n,则则现在学习的是第6页，共81页2 数理统计中的某些常用分布数理统计中的某些常用分布一、一、2分布分布 统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个

5、分布：2 2分布、t t 分布和F F分布。现在学习的是第7页，共81页2.2分布的分布的密度函数密度函数 f(x)曲线曲线现在学习的是第8页，共81页3.分位点分位点 设X 2(n)，若对于：0 1，存在满足足则称称为分布的上分布的上 分位点。分位点。4.性性质：若X 2(n1)，Y 2(n2)，X与与 Y独立，则 X+Y 2(n1+n2)例例查表表:20.05(12)=20.90(12)=21.06.30现在学习的是第9页，共81页1.构造构造 若 N(0,1),2(n),与 独立，则t(n)称为自由度为n的t分布。二、二、t分布分布2.概率密度曲线概率密度曲线现在学习的是第10页，共81

6、页3.3.基本性质基本性质:(1)f(t)(1)f(t)关于t=0t=0(纵轴)对称；(2)t(n)(2)t(n)N(0N(0，1)1)4.4.分位点分位点设T Tt(n)t(n)，若对:0:0 1,0(n)0，满足PTPT t t(n)=(n)=，则称t t(n)(n)为t(n)t(n)的上侧分位点。n 即：注注:例例查表表t0.025(10)=2.23现在学习的是第11页，共81页三、三、F分布分布1.构造构造 若 1 2(n1)，2 2(n2)，1，2独立，则 称为第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布,其概率密度为现在学习的是第12页，共81页2.F2.F分布的分位点分布的分位点对

7、于对于：00 10)0，满足，满足PFPF F F(n(n1 1,n n2 2)=)=，则则称称F F(n(n1 1,n n2 2)为为F(nF(n1 1,n n2 2)的上的上侧侧 分位点。分位点。注：注：例例查表表 F F0.0250.025(10(10,15,15)=)=F F0.950.95(10(10,15,15)=)=3.521/F1/F0.050.05(15(15,10,10)=1/2.54 0.39现在学习的是第13页，共81页正态总体统计量的分布正态总体统计量的分布1.设X1,Xn N(,2)，则iid现在学习的是第14页，共81页例例1：设总体体XN(,2),从从总体体X中

8、抽取中抽取9个个样本，求本，求样本均本均值与与总体均体均值之差的之差的绝对值小于小于2的概率，如果（的概率，如果（1）已知）已知总体体方差方差2=16；（；（2）未知）未知2，但已知，但已知样本方差本方差S2=18.45。解解 (1)样本函数本函数=P(|u|1.5)=(1.5)-(-1.5)=2(1.5)1=0.8664 (2)样本函数本函数=P(|t|0(或 0,H0：=0；H1：0由pTt(n 1)=,得水平为的拒绝域为Tt(n 1)左侧HT问题 H0：=0；H1：10620查表：t0.05(9)=1.833计算：接受H0现在学习的是第22页，共81页二、单总体方差的假设检验二、单总体方

9、差的假设检验假定假定 未知双双侧检验得水平为得水平为 的拒绝域为的拒绝域为现在学习的是第23页，共81页单侧检验：单侧检验：假定假定 =0 已知已知备择假设备择假设 H1拒绝域拒绝域 2 02 2 21-/2(n)或或 2 2/2(n)2 02 2 2(n)2 02 2 21-(n)现在学习的是第24页，共81页例例电电工工器器材材厂厂生生产产一一批批保保险险丝丝，取取1010根根测测得得其其熔熔化化时时间间（minmin）为为42,42,65,65,75,75,78,78,59,59,57,57,68,68,54,54,55,55,71.71.问问是是否否可可以以认认 为为 整整 批批 保保

10、 险险 丝丝 的的 熔熔 化化 时时 间间 的的 方方 差差 小小 于于 等等 于于80?(80?(=0.05)=0.05),熔化时间为正态变量熔化时间为正态变量.).)接受H0查表：计算：解：解：现在学习的是第25页，共81页3.3 两个正态总体参数的假设检验两个正态总体参数的假设检验一、均值差的假设检验一、均值差的假设检验1.1、2 已知已知2.1=2 未知未知检检验验统统计计量量两样本独立,给定检验水平 ,由观测值其中其中现在学习的是第26页，共81页备择假设备择假设 H11、2 已知已知拒绝域拒绝域1=2 未知未知拒绝域拒绝域1 2Uu/2Tt/2(n1+n22)1 2 U uT t(

11、n1+n22)1 2U uT t(n1+n22)现在学习的是第27页，共81页例例.比较甲比较甲,乙两种安眠药的疗效。将乙两种安眠药的疗效。将2020名患者分成两组名患者分成两组,每组每组1010人人.其中其中1010人服用甲药后延长睡眠的时数分别为人服用甲药后延长睡眠的时数分别为1.9,0.8,1.9,0.8,1.1,0.1,-0.1,4.4,5.5,1.6,4.6,3.4;1.1,0.1,-0.1,4.4,5.5,1.6,4.6,3.4;另另1010人服用乙药后延长睡人服用乙药后延长睡眠的时数分别为眠的时数分别为0.7,-1.6,-0.2,-1.2,-0.1,3.4,3.7,0.8,0.0

12、,0.7,-1.6,-0.2,-1.2,-0.1,3.4,3.7,0.8,0.0,2.0.2.0.若服用两种安眠药后增加的睡眠时数服从方差相同的正若服用两种安眠药后增加的睡眠时数服从方差相同的正态分布态分布.试问两种安眠药的疗效有无显著性差异试问两种安眠药的疗效有无显著性差异?(?(=0.10)=0.10)解解:查表：现在学习的是第28页，共81页计算:拒绝拒绝H H0 0,认为两种安眠药的疗效有显著性差异认为两种安眠药的疗效有显著性差异.解解:查表：现在学习的是第29页，共81页例上题中例上题中,试检验是否甲安眠药比乙安眠药疗效显著试检验是否甲安眠药比乙安眠药疗效显著?这里这里:t=1.86

13、1.3304,:t=1.861.3304,故拒绝故拒绝H H0,0,认为甲安眠药比乙安眠药疗认为甲安眠药比乙安眠药疗效显著效显著例上题中例上题中,试检验是否乙安眠药比甲安眠药疗效显著试检验是否乙安眠药比甲安眠药疗效显著?查表：查表：解解现在学习的是第30页，共81页两样本独立,给定检验水平 ,由观测值 1,2 已知 1,2 未知二、方差比的假设检验二、方差比的假设检验检检验验统统计计量量现在学习的是第31页，共81页备择假设备择假设 H1 1,2 已知已知拒绝域拒绝域 1,2 未知未知拒绝域拒绝域12 22 F F1-/2(n1,n2)或或 F F/2(n1,n2)F F1-/2(n1-1,n

14、2-1)或或 F F/2(n1-1,n2-)12 22 F F(n1,n2)F F(n1 1,n2 1)12 22 F F(n1,n2)F F1-(n1 1,n2 1)F1/2F/2现在学习的是第32页，共81页例有甲乙两种机床例有甲乙两种机床,加工同样产品加工同样产品,从这两台机床加工的产从这两台机床加工的产品中品中 随随 机机 地地 抽抽 取取 产品产品,测得产品直径为测得产品直径为:甲甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.9,19.6,19.9.:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.9,19.6,19.9.乙乙:19.7,20.8,20.5,19

15、.8,19.4,20.6,19.2.:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2.假定甲假定甲,乙乙 两台机床的产品直径都服从正态分布两台机床的产品直径都服从正态分布,试比较甲试比较甲,乙乙两台机床加工的精度有无显著差异两台机床加工的精度有无显著差异?(?(=0.05=0.05)解解:拒绝域为FF1 0.025(7,6)=1/5.12=0.1953 或FF0.025(7,6)=5.7计算计算:接受H0现在学习的是第33页，共81页3.5 总体分布的假设检验总体分布的假设检验原假设原假设H0：总体：总体X服从某一理论分布服从某一理论分布检验方法：皮尔逊检验方法：皮尔逊(

16、Pearson)2 拟合检验准则拟合检验准则检验统计量：检验统计量：其中：其中：k 是所分子区间的个数，是所分子区间的个数，r 是理论分布中需要利用样本观测是理论分布中需要利用样本观测值估计的未知参数的个数。值估计的未知参数的个数。拒绝域：拒绝域：现在学习的是第34页，共81页例在例在 n=2608n=2608段时间内观察某一放射性物质，观察得到每段时间内观察某一放射性物质，观察得到每段时间内放射粒子数记录如下表，验证放射粒子数段时间内放射粒子数记录如下表，验证放射粒子数X X服从泊服从泊松分布的假设。松分布的假设。(=0.05=0.05)放射粒子放射粒子 X I观察频数观察频数 m I012

17、34567891057203383525532408273139452716总计总计2608解：解：H0：X P()接受接受H0放射粒子放射粒子 X I观察频数观察频数 m I概率概率 p in p i(m inp i)2/np i012345678910572033835255324082731394527160.0210.0810.1560.2010.1950.1510.0970.0540.0260.0110.007总计总计26081.000放射粒子放射粒子 X I观察频数观察频数 m I概率概率 p in p i(m inp i)2/np i01234567891057203383525

18、5324082731394527160.0210.0810.1560.2010.1950.1510.0970.0540.0260.0110.00754.8211.2406.8524.2508.6393.8253.0140.867.828.718.3总计总计26081.0002608放射粒子放射粒子 X I观察频数观察频数 m I概率概率 p in p i(m inp i)2/np i012345678910572033835255324082731394527160.0210.0810.1560.2010.1950.1510.0970.0540.0260.0110.00754.8211.240

19、6.8524.2508.6393.8253.0140.867.828.718.30.0880.3181.3920.0011.0770.5121.5810.0237.6670.1010.289总计总计26081.000260813.049现在学习的是第35页，共81页4 均值向量的检验均值向量的检验4.1一个正态总体的假设检验一个正态总体的假设检验设总体设总体 X Nm(,)，现从总体中随机抽取，现从总体中随机抽取n个样本个样本(X1,X2,Xn)(其中协方差阵其中协方差阵未知未知)(1)H0:=0 (2)检验统计量检验统计量 和和当当H0为真时，统计量为真时，统计量F服从自由度为服从自由度为m

20、和和nm的的F分布分布.(3)选择显著性水平选择显著性水平，查，查F分布表得临界值分布表得临界值F(m,nm).(4)计算计算F值，比较。若值，比较。若FF(m,nm)，则拒绝原假设；，则拒绝原假设；否则接受原假设。否则接受原假设。现在学习的是第36页，共81页4.2两个正态总体的假设检验两个正态总体的假设检验设总体设总体 X Nm(1,)、Y Nm(2,)，现从两总体中分别随机抽取，现从两总体中分别随机抽取n1个样本个样本(X1,X2,Xn1)和和n2个样本个样本(Y1,Y2,Yn2)(1)H0:1=2 (2)检验统计量检验统计量 ，其中其中当当H0为真时，统计量为真时，统计量F服从自由度为

21、服从自由度为m和和n1+n2m1的的F分布分布.(3)选择显著性水平选择显著性水平，查，查F分布表得临界值分布表得临界值F(m,n1+n2m1).(4)计算计算F值，比较。若值，比较。若FF(m,n1+n2m-1)，则拒绝原假设；，则拒绝原假设；否则接受原假设。否则接受原假设。现在学习的是第37页，共81页4.3多个正态总体的假设检验多个正态总体的假设检验设有设有k个协方差相等的个协方差相等的m元正态总体总体元正态总体总体 X(i)Nm(i),)(i=1,k)，现从中分别随机抽取容量为现从中分别随机抽取容量为n1、nk的样本的样本:X1(1),X2(1),Xn1(1)Nm(1),)X1(k),

22、X2(k),Xnk(k)Nm(k),)(1)H0:(1)=(2)=(k)(2)检验统计量检验统计量=|E|/|E+B|(m,nk,k1)其中其中现在学习的是第38页，共81页mn2统计量统计量FF的自由度的自由度任意任意1(n1-m+1)(1-)/mm,n1 m+1任意任意2(n1-m)(1-1/2)/m1/22m,2(n1-m)1任意任意n1(1-)/n2n2,n12任意任意(n1-1)(1-1/2)/n21/22n2,2(n1-1)分布与分布与F分布的关系分布的关系(n1 m)当当m、n2不属于表中情形时，可计算统计量不属于表中情形时，可计算统计量 2=-n1+n2(m+n2+1)/2/l

23、n其近似服从自由度为其近似服从自由度为mn2的分布。的分布。现在学习的是第39页，共81页5 协方差阵的检验协方差阵的检验5.1一个正态总体的协方差阵检验一个正态总体的协方差阵检验设总体设总体 X Nm(,)，现从总体中随机抽取，现从总体中随机抽取n个样本个样本(X1,X2,Xn)(1)H0:=0 (2)检验统计量检验统计量其中样本协方差阵其中样本协方差阵注：关于注：关于L分布请见分布请见多元统计分析引论多元统计分析引论现在学习的是第40页，共81页5.2多个正态总体的协方差阵检验多个正态总体的协方差阵检验设有设有k个协方差相等的个协方差相等的m元正态总体总体元正态总体总体 X(i)Nm(i,

24、i)(i=1,k)，现从中分别随机抽取容量为，现从中分别随机抽取容量为n1、nk的样本的样本:X1(1),X2(1),Xn1(1)Nm(1,1)X1(k),X2(k),Xnk(k)Nm(k,k)(1)H0:1=2=k(2)检验统计量检验统计量其中其中现在学习的是第41页，共81页mn2统计量统计量FF的自由度的自由度任意任意1(n1-m+1)(1-)/mm,n1 m+1任意任意2(n1-m)(1-1/2)/m1/22m,2(n1-m)1任意任意n1(1-)/n2n2,n12任意任意(n1-1)(1-1/2)/n21/22n2,2(n1-1)分布与分布与F分布的关系分布的关系(n1 m)当当m、

25、n2不属于表中情形时，可计算统计量不属于表中情形时，可计算统计量 2=-n1+n2(m+n2+1)/2/ln其近似服从自由度为其近似服从自由度为mn2的分布。的分布。现在学习的是第42页，共81页6方差分析方差分析 什么是方差分析 单因素试验的方差分析 双因素无重复试验的方差分析 双因素等重复试验的方差分析现在学习的是第43页，共81页表表 该饮料在五家超市的销售情况该饮料在五家超市的销售情况超市超市无色无色粉色粉色橘黄色橘黄色绿色绿色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.

26、732.8例例 某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见下表。试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。什么是方差分析？什么是方差分析？现在学习的是第44页，共81页1.1.检验饮料料的的颜色色对销售售量量是是否否有有影影响响，也也就就是是检验四种四种颜色色饮料的平均料的平均销售量是否相同售量是否相同2.2.设 1 1为无无色色饮料料的的平平均均销售售量量，2 2粉粉色色饮料料的的平平均均销售售量量，

27、3 3为橘橘黄黄色色饮料料的的平平均均销售售量量，4 4为绿色色饮料的平均料的平均销售量，售量，也就是也就是检验下面的假下面的假设H H0 0:1 1 2 2 3 3 4 4 H H1 1:1 1,2 2,3 3,4 4 不全相等不全相等3.3.检验上述假上述假设所采用的方法就是方差分析所采用的方法就是方差分析现在学习的是第45页，共81页基本概念基本概念1.1.因素或因子因素或因子所要所要检验的的对象称象称为因子因子要要分分析析饮料料的的颜色色对销售售量量是是否否有有影影响响，颜色色是是要要检验的因素或因子的因素或因子2.2.水平水平因素的具体表因素的具体表现称称为水平水平A A1 1、A

28、A2 2、A A3 3、A A4 4四种四种颜色就是因素的水平色就是因素的水平3.3.观察察值在每个因素水平下得到的在每个因素水平下得到的样本本值每种每种颜色色饮料的料的销售量就是售量就是观察察值4.4.试验这里只涉及一个因素，因此称里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的因素四水平的试验5.5.总体体因素的每一个水平可以看作是一个因素的每一个水平可以看作是一个总体体比如比如A A1 1、A A2 2、A A3 3、A A4 4四种四种颜色可以看作是四个色可以看作是四个总体体现在学习的是第46页，共81页两类误差两类误差1.1.随机随机误差差在在因因素素的的同同一一水水平平(同同一一个个总体体

29、)下下，样本本的的各各观察察值之之间的的差异，可差异，可认为由于抽由于抽样的随机性所造成的。的随机性所造成的。比如，同一种比如，同一种颜色的色的饮料在不同超市上的料在不同超市上的销售量是不同的售量是不同的2.2.系系统误差差在因素的不同水平在因素的不同水平(不同不同总体体)下，各下，各观察察值之之间的差异的差异.比如，同一家超市，不同比如，同一家超市，不同颜色色饮料的料的销售量也是不同的售量也是不同的现在学习的是第47页，共81页基本假设基本假设1.1.正正态每个每个总体都体都应服从正服从正态分布分布对于于因因素素的的每每一一个个水水平平，其其观察察值是是来来自自服服从从正正态分分布布总体的体

30、的简单随机随机样本本比如，每种比如，每种颜色色饮料的料的销售量必需服从正售量必需服从正态分布分布2.2.方差方差齐性性各个各个总体的方差必体的方差必须相同相同对于各于各组观察数据，是从具有相同方差的察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的体中抽取的比如，四种比如，四种颜色色饮料的料的销售量的方差都相同售量的方差都相同3.3.独立独立观察察值是独立的是独立的比如，每个超市的比如，每个超市的销售量都与其他超市的售量都与其他超市的销售量独立售量独立现在学习的是第48页，共81页6.1 6.1 单单因素试验的方差分析水平水平A1 A2 Ak样样本本观观测测值值 x11 x21 xk1 x12 x22 x

31、k2 :x1 n1 x2 n2 xk nk 设因素设因素A有有k个水平：个水平：A1，A2，Ak，在水平，在水平Ai下总体下总体Xi N(i,2),i=1,2,k。样本。样本Xi j N(i,2),i=1,2,k;j=1,2,nk。现在学习的是第49页，共81页超市超市无色无色粉色粉色橘黄色橘黄色绿色绿色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8水平水平A4A1A2A3样样本本观观测测值值现在学习的是第50页，共81页H0:1=2=k H1:1，2，k不全相等不全相等

32、记号：记号：现在学习的是第51页，共81页检验统计量：检验统计量：拒绝域：拒绝域：现在学习的是第52页，共81页方差分析计算步骤：方差分析计算步骤：1列表计算平均值列表计算平均值水平水平A1 A2 Ak样样本本观观测测值值 x11 x21 xk1 x12 x22 xk2 :x1 n1 x2 n2 xk nk 现在学习的是第53页，共81页方差分析计算步骤：方差分析计算步骤：1列表计算平均值列表计算平均值水平水平A1 A2 Ak样样本本观观测测值值 x11 x21 xk1 x12 x22 xk2 :x1 n1 x2 n2 xk nk平均值平均值 现在学习的是第54页，共81页手工计算：当样本观测

33、值较大时，可将每个数都减去同一常数手工计算：当样本观测值较大时，可将每个数都减去同一常数C，然，然后再进行计算。后再进行计算。方差分析计算步骤：方差分析计算步骤：1列表计算平均值列表计算平均值水平水平A1 A2 Ak样样本本观观测测值值 x11 x21 xk1 x12 x22 xk2 :x1 n1 x2 n2 xk nk平均值平均值 x1 x2 xk 现在学习的是第55页，共81页方差来源方差来源 平方和平方和 自由度自由度F 值值临界值临界值显著性显著性组间组间误差误差 SASek-1n-kF0.05(k-1,n-k)F0.01(k-1,n-k)*总和总和STn-13单因素试验方差分析表单因

34、素试验方差分析表2计算计算平方和平方和现在学习的是第56页，共81页表表 该饮料在五家超市的销售情况该饮料在五家超市的销售情况超市超市无色无色粉色粉色橘黄色橘黄色绿色绿色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8例解例解现在学习的是第57页，共81页表表 四种颜色饮料的销售量及均值四种颜色饮料的销售量及均值超市超市(j)水平水平A(i)无色无色(A1)粉色粉色(A2)橘黄色橘黄色(A3)绿色绿色(A4)1234526.528.725.129.127.231.228.3

35、30.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8例解例解现在学习的是第58页，共81页表表 四种颜色饮料的销售量及均值四种颜色饮料的销售量及均值超市超市(j)水平水平A(i)无色无色(A1)粉色粉色(A2)橘黄色橘黄色(A3)绿色绿色(A4)1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8水平均水平均值值 xi27.3229.5626.4431.46x=28.695例解例解现在学习的是第59页，共81页ST=SA=Se

36、=F=方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度F 值值临界值临界值显著性显著性组间组间误差误差 总和总和单因素试验方差分析表单因素试验方差分析表结论：结论：(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+(32.8-28.695)2=115.929576.845539.084(76.8455/3)/(39.084/16)=10.486现在学习的是第60页，共81页ST=SA=Se=F=方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度F 值值临界值临界值显著性显著性组间组间误差误差 76.845539.084总和总和115.9295单因素试验方差分析表单因素试验方差分析表结论：结论：(26.

37、5-28.695)2+(28.7-28.695)2+(32.8-28.695)2=115.929576.845539.084(76.8455/3)/(39.084/16)=10.486现在学习的是第61页，共81页ST=SA=Se=F=方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度F 值值临界值临界值显著性显著性组间组间误差误差 76.845539.084316总和总和115.929519单因素试验方差分析表单因素试验方差分析表结论：结论：(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+(32.8-28.695)2=115.929576.845539.084(76.8455/3)/(39

38、.084/16)=10.486现在学习的是第62页，共81页ST=SA=Se=F=方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度F 值值临界值临界值显著性显著性组间组间误差误差 76.845539.08431610.486F0.05(3,16)=3.24F0.01(3,16)=5.29总和总和115.929519单因素试验方差分析表单因素试验方差分析表结论：结论：(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+(32.8-28.695)2=115.929576.845539.084(76.8455/3)/(39.084/16)=10.486现在学习的是第63页，共81页ST=SA=Se=

39、F=方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度F 值值临界值临界值显著性显著性组间组间误差误差 76.845539.08431610.486F0.05(3,16)=3.24F0.01(3,16)=5.29*总和总和115.929519单因素试验方差分析表单因素试验方差分析表结论：结论：饮料的颜色是对销售量有非常显著影响。饮料的颜色是对销售量有非常显著影响。(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+(32.8-28.695)2=115.929576.845539.084(76.8455/3)/(39.084/16)=10.486现在学习的是第64页，共81页6.2 6.2 双双因

40、素无重复试验的方差分析Xi j N(i j,2),i j=+i +j i=1,2,k;j=1,2,m。因素因素B因素因素A B1 B2 BmA1A2:Ak x11 x12 x1m x21 x22 x2m :xk1 xk2 xkm现在学习的是第65页，共81页6.2 6.2 双因素无重复试验的方差分析双因素无重复试验的方差分析Xi j N(i j,2),i j=+i +j i=1,2,k;j=1,2,m。因素因素B因素因素A B1 B2 Bm平均值平均值 A1A2:Ak x11 x12 x1m x21 x22 x2m :xk1 xk2 xkmx1.x2.:xk.平均值平均值 x.1 x.2 x.

41、mx 现在学习的是第66页，共81页H01:1=2=k=0 H11:1,2,k不全等于不全等于0记号：记号：H02:1=2=m=0 H12:1,2,m不全等于不全等于0现在学习的是第67页，共81页现在学习的是第68页，共81页拒绝域拒绝域检验统计量检验统计量现在学习的是第69页，共81页方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度F 值值临界值临界值显著性显著性因素因素A因素因素BSASBk-1m-1FAFBF0.05、F0.01F0.05、F0.01误差误差Se(k-1)(m-1)总和总和STkm-13.双因素无重复试验方差分析表双因素无重复试验方差分析表计算步骤：计算步骤：1.列表计算水平平

42、均值（当样本观测值较大时，可将每个数都减去列表计算水平平均值（当样本观测值较大时，可将每个数都减去同一常数同一常数C）。）。2.现在学习的是第70页，共81页机器机器工人工人B1B2B3A1A2A3A450474853 60555257 55424449 例例 四四个个工工人人分分别操操作作三三台台机机器器各各一一天天，日日产量量如如下下表表。试检验工人和机器工人和机器对产品品产量是否有量是否有显著影响？著影响？现在学习的是第71页，共81页机器机器工人工人B1B2B3A1A2A3A450474853 60555257 55424449 解解现在学习的是第72页，共81页机器机器工人工人B1B

43、2B3xi.A1A2A3A450474853 60555257 55424449 x.jx=解解现在学习的是第73页，共81页机器机器工人工人B1B2B3xi.A1A2A3A450474853 60555257 55424449 55484853x.j49.55647.5x=51解解ST=314,SA=114,SB=158,Se=42.现在学习的是第74页，共81页方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度F 值值临界值临界值显著性显著性因素因素A（工人）（工人）因素因素B（机器）（机器）误差误差总和总和双因素无重复试验方差分析表双因素无重复试验方差分析表ST=314,SA=114,SB=158

44、,Se=42.现在学习的是第75页，共81页方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度F 值值临界值临界值显著性显著性因素因素A（工人）（工人）114因素因素B（机器）（机器）158误差误差42总和总和314双因素无重复试验方差分析表双因素无重复试验方差分析表ST=314,SA=114,SB=158,Se=42.现在学习的是第76页，共81页方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度F 值值临界值临界值显著性显著性因素因素A（工人）（工人）1143因素因素B（机器）（机器）1582误差误差426总和总和31411双因素无重复试验方差分析表双因素无重复试验方差分析表ST=314,SA=114,SB=

45、158,Se=42.现在学习的是第77页，共81页方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度F 值值临界值临界值显著性显著性因素因素A（工人）（工人）11435.28F0.05(3,6)=4.76 F0.01(3,6)=9.78因素因素B（机器）（机器）158211.29F0.05(2,6)=5.14F0.01(2,6)=10.92误差误差426总和总和31411双因素无重复试验方差分析表双因素无重复试验方差分析表ST=314,SA=114,SB=158,Se=42.现在学习的是第78页，共81页方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度F 值值临界值临界值显著性显著性因素因素A（工人）（工人）1

46、1435.28F0.05(3,6)=4.76 F0.01(3,6)=9.78*因素因素B（机器）（机器）158211.29F0.05(2,6)=5.14F0.01(2,6)=10.92*误差误差426总和总和31411双因素无重复试验方差分析表双因素无重复试验方差分析表ST=314,SA=114,SB=158,Se=42.现在学习的是第79页，共81页6.3 6.3 双双因素有重复试验的方差分析Xi j k N(i j k,2),i j k=+i +j+i j i=1,2,a;j=1,2,b;k=1,2,c。因素因素B因素因素A B1 B2 BbA1x111,x11cx121,x12cx1b1

47、,x1bcA2x211,x21cx221,x22cx2b1,x2bc.Aa xa11,xa1cxa21,xa2cxab1,xabc现在学习的是第80页，共81页例用三种深翻和四种施肥方案组成十二种育苗方案作杨树培养例用三种深翻和四种施肥方案组成十二种育苗方案作杨树培养试验，取得苗高的资料如下。设苗高的分布为正态、等方差，度试验，取得苗高的资料如下。设苗高的分布为正态、等方差，度分析深翻和施肥以及它们的交互作用对苗高生长有无显著影响？分析深翻和施肥以及它们的交互作用对苗高生长有无显著影响？施肥施肥B深翻深翻A B1 B2 B3B4A152 43 3948 37 2934 42 3845 58 42A241 47 5350 41 3036 39 4444 46 60A349 38 4236 48 4737 40 3243 56 41现在学习的是第81页，共81页