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1、关于函数的极值与导数(3)现在学习的是第1页，共17页设函数设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如在某个区间内有导数，如果在这个区间内果在这个区间内y0，那么，那么y=f(x)为这个区为这个区间内的间内的增函数增函数；如果在这个区间内；如果在这个区间内y0增函数增函数y0，求得其解集，求得其解集，再根据解集写出单调再根据解集写出单调递增递增区间区间求解不等式求解不等式f(x)0，求得其解集，求得其解集，再根据解集写出单调再根据解集写出单调递减递减区间区间注、注、单调区间不单调区间不以以“”并集并集出现。出现。而只能用而只能用“，”逗号逗号 或或“和和”字隔开字隔开现在学习的是第3页，共17页
2、知识回顾知识回顾利用函数的导数利用函数的导数讨论函数讨论函数的单调性的单调性并画图并画图解：解：令令，解得，解得或或，当当时，时，是增函数；是增函数；因此，因此，当当时，时，是增函数；是增函数；再令再令，解得，解得，当当时，时，是减函数；是减函数；因此，因此，现在学习的是第4页，共17页分析函数分析函数在在附近的函数附近的函数值分别与值分别与的关系的关系.现在学习的是第5页，共17页 设函数设函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0及其附近有定义，及其附近有定义，(1)(1)如果在如果在x=xx=x0 0处的函数值比它附近所有各点的函数处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即值都大
3、，即f(x)f(x0),则称则称f(xf(x0 0)是函数是函数y=f(x)y=f(x)的一个的一个极小值极小值.记作记作:y极小值极小值=f(x0)极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值,x,x0 0叫做函数的叫做函数的极值点极值点.现在学习的是第6页，共17页yabx1x2x3x4Ox 观察上述图象观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值试指出该函数的极值点与极值,并说出并说出哪些是极大值点哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.现在学习的是第7页，共17页(1)(1)极值是一个极值是一个局部概念局部概念,反映了函数在某一点附近的反映了函数在某一点附近的大小情况大小情况;(
4、2)(2)极值点极值点是是自变量的值自变量的值，极值极值指的是指的是函数值函数值;(3)(3)函数的极大函数的极大(小小)值可能不止一个值可能不止一个,而且而且函数的极大函数的极大值未必大于极小值值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部能成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部取得，也可能在区间的端点取得取得，也可能在区间的端点取得。现在学习的是第8页，共17页【问题探究】【问题探究】函数函数y=f(x)y=f(x)在极值点的导数
5、值为多少在极值点的导数值为多少?在在极值点附近的导数符号有什么规律极值点附近的导数符号有什么规律?yabx1x2x3x4Ox现在学习的是第9页，共17页一般地，当函数一般地，当函数在点在点处连续时，判断处连续时，判断是极是极大（小）值的方法是：大（小）值的方法是：f(x0)=0（1）如果在）如果在附近的左侧附近的左侧，右侧，右侧，那，那么么是极大值是极大值（2）如果在）如果在附近的左侧附近的左侧，右侧，右侧，那，那么么是极小值是极小值注注：导数为：导数为0的点不一定是极值点的点不一定是极值点现在学习的是第10页，共17页观察与思考：观察与思考：极值与导数有何关系？极值与导数有何关系？对于对于可
6、导可导函数函数,若若x0是极值点是极值点,则则f(x0)=0;反之反之,若若f(x0)=0,则则x0不一定是极值点不一定是极值点.函数函数y=f(x)在一点的导数为在一点的导数为0是函数在这点取极值的必要条件，是函数在这点取极值的必要条件，而非充分条件。而非充分条件。函数函数y=f(x)在在x0取极值的充分条件是取极值的充分条件是:（1）f(x0)=0(2)在在x0附近的左侧附近的左侧 f(x0)0(0)，右侧，右侧f(x0)0)现在学习的是第11页，共17页(1)求导函数求导函数f(x)；(2)求解方程求解方程f(x)=0；(3)检查检查f(x)在方程在方程f(x)=0的根的左右的根的左右的
7、符号，并根据符号确定极大值与极小值的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。左负右正为极小，左正右负为极大。用导数法求解函数极值的用导数法求解函数极值的步骤步骤：现在学习的是第12页，共17页例例、求函数求函数 的极值的极值例题讲解例题讲解解：解：当当x变化时，变化时，的变化情况如下表：的变化情况如下表：+00+极大值极大值y2(-2,2)-2x极小值极小值令令，解得，解得当当时，时，y有极大值，并且有极大值，并且当当时，时，y有极小值，并且有极小值，并且现在学习的是第13页，共17页例例、求函数求函数 的极值的极值解：解：当当x变化时，变化时，的变化情
8、况如下表：的变化情况如下表：无极值无极值极小值极小值0无极值无极值y+0+001(0,1)0(-1,0)-1x令令，解得，解得当当时，时，y有极小值，并且有极小值，并且现在学习的是第14页，共17页注意注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局局部性质部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极多个极大值或极小值大值或极小值，并对同一个函数来说，在某，并对同一个函数来说，在某一点的极大一点的极大值也可能小于另一点的极小值值也可能小于另一点的极小值。练习练习1.判断下面判断下面4个命题，其中是真命题序
9、号为个命题，其中是真命题序号为。可导函数必有极值；可导函数必有极值；可导函数在极值点的导数一定等于零；可导函数在极值点的导数一定等于零；函数的极小值一定小于极大值函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；（设极小值、极大值都存在）；函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极小值（或极大值）不会多于一个。现在学习的是第15页，共17页2、函数、函数y=f(x)的导数的导数y/与函数值的变化和极值之间的关系为与函数值的变化和极值之间的关系为()A、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由减变为增由减变为增,且有极大值且有极大值B、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值C、导数、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极小值且有极小值D、导数、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值D练习：练习：现在学习的是第16页，共17页感谢大家观看2022/9/26现在学习的是第17页，共17页