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1、关于多元函数积分概念与性质现在学习的是第1页，共48页1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积曲曲顶顶柱柱体体：以以XOY平平面面上上的的闭闭区区域域D为为底底，以以D 的边界曲线为准线，母线平行于的边界曲线为准线，母线平行于Z 轴的轴的柱面为侧面，并以柱面为侧面，并以z=f(x,y)为顶的空间立体为顶的空间立体.一一.两个实例：两个实例：如何求此曲顶柱体的体积如何求此曲顶柱体的体积V？微元法思想微元法思想.分割分割：把把 D 任意分成任意分成 n 个小区域个小区域 (同时用同时用 表示第表示第 i 个小区域的面积），分别个小区域的面积），分别以以 的边界为准线作母线平行于的边界为准线作母线平行于 z
2、 轴的柱面，轴的柱面，则原曲顶柱体分成了则原曲顶柱体分成了 n 个小的曲顶柱体。个小的曲顶柱体。现在学习的是第2页，共48页近似近似 ：任取任取 ，则以则以 为底的小曲顶柱为底的小曲顶柱体体积体体积:yxzDo求和：求和：取极限取极限：区域中任意两点距离的最大值称为该区：区域中任意两点距离的最大值称为该区域的直径，记域的直径，记则：则：现在学习的是第3页，共48页 设有一物体对应于空间曲面设有一物体对应于空间曲面 ,(x,y,z)为密度为密度函数函数(连续）连续），现要求该物体的质量现要求该物体的质量 m。2.质量：质量：分割分割：把：把 任意分成任意分成n 小块小块 ，表示表示 第第 i 小
3、块曲面的面积。小块曲面的面积。近似近似：任取：任取 ，则第，则第 i小块曲面的质小块曲面的质量量取极限取极限：求和：求和：现在学习的是第4页，共48页二二.数量函数积分的概念数量函数积分的概念定义定义1现在学习的是第5页，共48页二重积分；二重积分；三重积分：三重积分：其中其中 称为称为积分域积分域，f 称为称为被积函数被积函数，f(M)d 称为称为被积式被积式或或积分微元积分微元。几种具体的类型：几种具体的类型：现在学习的是第6页，共48页第一型曲线积分第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）：（对弧长的曲线积分）：第一型曲面积分第一型曲面积分（对面积的曲面积分）：（对面积的曲面积分）：L称为积分
4、路径。称为积分路径。现在学习的是第7页，共48页 数量函数积分的几何意义：数量函数积分的几何意义：当当 时，时，=以以D为底为底,以以 为顶的曲顶柱体的体积；为顶的曲顶柱体的体积；现在学习的是第8页，共48页 数量函数积分的物理应用之一：数量函数积分的物理应用之一：现在学习的是第9页，共48页三三.积分存在的条件和性质积分存在的条件和性质.必要条件必要条件:f 在在 上可积，则上可积，则f 在在 上有界。上有界。现在学习的是第10页，共48页 1.线性性质线性性质：2.可加性可加性3.积分不等式积分不等式 若若 则则现在学习的是第11页，共48页5.中值定理中值定理特别地，有特别地，有若若 则
5、则现在学习的是第12页，共48页的边界为准线，母线平行于的边界为准线，母线平行于 z 轴的柱面为侧面，轴的柱面为侧面，D为底面，曲为底面，曲面面 由二重积分的几何意义知：以由二重积分的几何意义知：以 xoy 平面上的平面上的区域区域为顶面的曲顶柱体的体积为为顶面的曲顶柱体的体积为第第2 2节节 二重积分的计算二重积分的计算一一.直角坐标系中二重积分的计算：直角坐标系中二重积分的计算：xbxaoyz现在学习的是第13页，共48页 任取任取 ，过，过 x 轴作平行于轴作平行于yoz坐标面坐标面的平面，此平面与曲顶柱体之交为一曲边梯形，的平面，此平面与曲顶柱体之交为一曲边梯形，设其面积为设其面积为
6、，则，则先先y后后x的二次积分的二次积分(累次积分累次积分)而该体积也可用定积分的方法求得而该体积也可用定积分的方法求得:bxaoxyz现在学习的是第14页，共48页X-型区域：任一平行型区域：任一平行 y 轴的直线与轴的直线与D的边界的的边界的交点至多只有两个。交点至多只有两个。上面假定上面假定 ，但实际上上公式对，但实际上上公式对一般的一般的 也成立。对各种不同类型的积也成立。对各种不同类型的积分区域分区域D，二重积分化为二次积分的情况总结如二重积分化为二次积分的情况总结如下：下：现在学习的是第15页，共48页DaboyxoyxDab现在学习的是第16页，共48页DdcoyxDcdoyxY
7、-型区域：任一平行型区域：任一平行 x 轴的直线与轴的直线与D的边界的交的边界的交点至多只有两个。点至多只有两个。现在学习的是第17页，共48页oy现在学习的是第18页，共48页例例 1 1 计算计算解解oxy11现在学习的是第19页，共48页解解 法一法一 先对先对y后对后对x积分积分oyx例例 2 2现在学习的是第20页，共48页法二法二 先对先对x后对后对y积分积分oyx现在学习的是第21页，共48页解解 由于由于 的原函数不能用初等函数表示，的原函数不能用初等函数表示，故不能先对故不能先对y积分积分例例3 3 计算计算oyx1D现在学习的是第22页，共48页注意注意：在例：在例2中，法
8、中，法1比法比法2简便，在例简便，在例3中，由于中，由于被积函数中含有被积函数中含有 ，只能先对，只能先对x积分积分.因此，因此，在把二重积分化为二次积分时，选择恰当的积分在把二重积分化为二次积分时，选择恰当的积分次序是非常重要的，而要计算二重积分，关键的次序是非常重要的，而要计算二重积分，关键的是要化为二次积分。是要化为二次积分。例例4 作出积分域，并改变积分次序：作出积分域，并改变积分次序：解解 原积分原积分=(4,2)o现在学习的是第23页，共48页解解 原积分原积分=o(2,1)o解解 原积分原积分=现在学习的是第24页，共48页解解 原积分原积分o现在学习的是第25页，共48页例例5
9、 5 求两个底面半径相同的正交圆柱体所围成的立体求两个底面半径相同的正交圆柱体所围成的立体的体积。的体积。解解现在学习的是第26页，共48页二二.极坐标系下二重积分的计算极坐标系下二重积分的计算则得极坐标系下的二重积分计算公式则得极坐标系下的二重积分计算公式:作极坐标变换作极坐标变换现在学习的是第27页，共48页oxD现在学习的是第28页，共48页若区域若区域D可用极坐标的不等式可用极坐标的不等式oxDoxD现在学习的是第29页，共48页若区域若区域D可用极坐标的不等式可用极坐标的不等式oxD现在学习的是第30页，共48页若区域若区域D可用极坐标的不等式可用极坐标的不等式oxD现在学习的是第3
10、1页，共48页若区域若区域D可用极坐标的不等式可用极坐标的不等式oxDab现在学习的是第32页，共48页解解 令令 则在极坐标系中，则在极坐标系中，于是于是例例6 计算计算现在学习的是第33页，共48页显然显然由于由于从而从而例例 7 计算反常积分计算反常积分解解 设设例例6例例6现在学习的是第34页，共48页而而从而从而因此因此现在学习的是第35页，共48页例例8 将下列二次积分化为极坐标形式下的将下列二次积分化为极坐标形式下的 二次积二次积分：分：解解现在学习的是第36页，共48页 积分区域：积分区域：D:在极坐标下，在极坐标下，D：于是于是解解现在学习的是第37页，共48页在极坐标下，将
11、在极坐标下，将D分分为二部分表示：为二部分表示：于是于是解解现在学习的是第38页，共48页在极坐标下，在极坐标下，D分为二部分表示：分为二部分表示：于是于是解解现在学习的是第39页，共48页例例9 求求Bernoulli双纽线双纽线围成的面积围成的面积A.解解 双纽线在极坐标下的方程为：双纽线在极坐标下的方程为：现在学习的是第40页，共48页由由 的周期性得图形的对称性，而且当的周期性得图形的对称性，而且当 从从 增加到增加到 时，时，由零增加到由零增加到 ，再减少，再减少到零，于是可得如图所示的双纽线图形。到零，于是可得如图所示的双纽线图形。现在学习的是第41页，共48页（2 2）变换）变换
12、T T：把把 uov平面上平面上的区域的区域 一对一的变为一对一的变为 D D，定理定理1 1 设（设（1 1）（3 3）(u,v),),(u,v)在在 上具有一阶连续上具有一阶连续偏导数，偏导数，且：且：三三.二重积分的换元法二重积分的换元法二重积分的换元公式二重积分的换元公式现在学习的是第42页，共48页例例10 计算计算解解于是于是现在学习的是第43页，共48页例例 11 求由曲线求由曲线 所围区域所围区域 D 的面积的面积S。解解 令令D现在学习的是第44页，共48页于是于是现在学习的是第45页，共48页例例12 求椭圆求椭圆 围成区域的面积围成区域的面积A。解解 令令广义极坐标，广义极坐标，现在学习的是第46页，共48页作作 业业P93-97 习题习题6.2 1(1)(b)2(3)3(2)4(1)(2)(3)6(2)7(2)(7)(9)8(2)(4)9(1)(3)10(2)(3)(6)11(2)(3)12(1)(2)13(1)(2)14(1)16现在学习的是第47页，共48页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第48页，共48页