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1、多元函数积分学重积分概念性质第一页，讲稿共三十页哦二重积分二重积分 引例（曲顶柱体体积）引例（曲顶柱体体积）二重积分的定义及几何意义二重积分的定义及几何意义 二重积分的性质二重积分的性质 习例习例1-5 三重积分三重积分 引例（非均匀分布的立体的质量）引例（非均匀分布的立体的质量）三重积分的定义三重积分的定义 三重积分的性质三重积分的性质 习例习例6-7 重积分的统一定义重积分的统一定义 7.1 7.1 重积分重积分7.1.1重重积积分分的的概概念念与与性性质质第二页，讲稿共三十页哦一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质1.引例（考虑曲顶柱体的体积）引例（考虑曲顶柱体的体积）已知以已
2、知以z=f(x,y)为曲顶，以为曲顶，以xoy面上区域面上区域D为底，侧面是为底，侧面是以以D的边界曲线为准线母线平行于的边界曲线为准线母线平行于z轴的柱面，构成一轴的柱面，构成一曲顶柱体，求其体积曲顶柱体，求其体积.xyzoD解解第三页，讲稿共三十页哦2.二重积分的定义二重积分的定义第四页，讲稿共三十页哦积积分分区区 域域积积分分和和 被被积积函函数数 积积分分变变量量 被被积积表表达达式式 面面积积元元素素 注意注意:(1)若二重积分存在若二重积分存在,则为一确定数值则为一确定数值;(2)若二重积分存在若二重积分存在,则取分割为平行坐标轴的直线则取分割为平行坐标轴的直线 网网,此时除靠近边
3、界的小区域外均为小矩形此时除靠近边界的小区域外均为小矩形,第五页，讲稿共三十页哦D(3)引例中曲顶柱体体积为引例中曲顶柱体体积为(5)存在性问题存在性问题:若若f(x,y)在闭区域在闭区域D上连续上连续,则二重积分存在则二重积分存在.第六页，讲稿共三十页哦几何意义：几何意义：xyzoaxyzoa第七页，讲稿共三十页哦3.二重积分的性质二重积分的性质 性质性质1.性质性质2.性质性质3.对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质4.若若 为为D的面积，的面积，第八页，讲稿共三十页哦性质性质5.特殊地特殊地性质性质6.（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）第九页，讲稿共三十页哦性质性质7.（二
4、重积分中值定理）（二重积分中值定理）证证 第十页，讲稿共三十页哦几何解释几何解释:第十一页，讲稿共三十页哦第十二页，讲稿共三十页哦第十三页，讲稿共三十页哦第十四页，讲稿共三十页哦解解由于被积函数相同由于被积函数相同,且具有对称性且具有对称性,因此因此D1,D2的关系反映了的关系反映了I1,I2的关系的关系.第十五页，讲稿共三十页哦解解第十六页，讲稿共三十页哦第十七页，讲稿共三十页哦解解1oxy13如图所示如图所示第十八页，讲稿共三十页哦解解2第十九页，讲稿共三十页哦解解（积分中值定理）（积分中值定理）（函数的连续性）（函数的连续性）第二十页，讲稿共三十页哦解解第二十一页，讲稿共三十页哦1.引例
5、（非均匀分布的立体的质量）引例（非均匀分布的立体的质量）oxyz解解二、三重积分的概念与性质二、三重积分的概念与性质第二十二页，讲稿共三十页哦2.三重积分的定义三重积分的定义第二十三页，讲稿共三十页哦注意注意:(1)若三重积分存在若三重积分存在,则为一确定数值则为一确定数值;(2)若三重积分存在若三重积分存在,则取分割为平行坐标面的平面则取分割为平行坐标面的平面 网网,此时除靠近边界的小区域外均为小长方体此时除靠近边界的小区域外均为小长方体,(3)引例中立体的质量为引例中立体的质量为(5)存在性问题存在性问题:若若f(x,y,z)在闭区域在闭区域 上连续上连续,则三重积分存在则三重积分存在.第二十四页，讲稿共三十页哦2.三重积分的性质三重积分的性质 性质性质1.性质性质2.性质性质3.对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质4.第二十五页，讲稿共三十页哦性质性质5.特殊地特殊地性质性质6.（三重积分估值不等式）（三重积分估值不等式）第二十六页，讲稿共三十页哦性质性质7.（三重积分中值定理）（三重积分中值定理）第二十七页，讲稿共三十页哦第二十八页，讲稿共三十页哦第二十九页，讲稿共三十页哦解解（积分中值定理）（积分中值定理）（函数的连续性）（函数的连续性）第三十页，讲稿共三十页哦