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1、关于函数的奇偶性 精品第一页，讲稿共二十页哦 在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。除了轴对称外，有除了轴对称外，有些是关于某点对称，如些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：风扇的叶子，如图：它关于什么对称？它关于什么对称？而我们所学习的函数图像也有类似的对称现象，请看下面的函数图像。点此播放讲课视频点此播放讲课视频第二页，讲稿共二十页哦观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？xyO1-1f(x)=xf(x)=x2 2（1）（2）yxOx0-x0第三页，讲稿共二十页
2、哦例如：对于函数例如：对于函数f(x)=xf(x)=x3 3有有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1f(-2)=(-2)3=-8 f(2)=8 f(-x)=(-x)3=-x3f(-1)=-f(1)f(-2)=-f(2)f(-x)=-f(x)-xx结论结论:当自变量任取定义域中的两当自变量任取定义域中的两个相反数时个相反数时,对应的函数值也互为对应的函数值也互为相反数相反数,即即f(-x)=-f(x)点此播放讲课视频点此播放讲课视频第四页，讲稿共二十页哦-xxf(-2)=(-2)2=4 f(2)=4而函数而函数f(x)=xf(x)=x2 2 ，却是另一种情况，如却是另一种情况，如下：下：
3、f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-x)=(-x)2=x2 f(-1)=f(1)f(-2)=f(2)f(-x)=f(x)结论结论:当自变量当自变量x任取定义域任取定义域中的一对相反数时中的一对相反数时,对应的对应的函数值相等，即函数值相等，即f(-x)=f(x)而函数而函数f(x)=xf(x)=x2 2 ，却是另一种情况，却是另一种情况，如下：如下：第五页，讲稿共二十页哦函数奇偶性的定义:偶函数定义偶函数定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意一个任意一个x x,都有f(-x)=f(x)f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义奇函数定义:如果对于函数f(x)定义域
4、内的任意一个任意一个x x,都有f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.第六页，讲稿共二十页哦对于奇、偶函数定义的几点说明:(2)定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若函数f(x)为奇函数,则f(-x)=f(x)成立。若函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x)具有奇偶性。第七页，讲稿共二十页哦练习:说出下列函数的奇偶性:f(x)=x4 _ f(x)=x _ f(x)=x-2 _ f(x)=x5 _f(x)=x-3
5、 _ f(x)=x-1 _奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数 对于形如 f(x)=x n()的函数，在定义域R内:若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。第八页，讲稿共二十页哦例1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+x (2)f(x)=3x4+6x2+a解:定义域为R f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x =-(x3+x)即 f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数解:定义域为R f(-x)=3(-x)4+6(-x)2+a =3x4+6x2+a 即 f(-x)=f(x)f(x)为偶函数 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.再判断
6、f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.第九页，讲稿共二十页哦第十页，讲稿共二十页哦思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？xy012f(x)=2x+1-1分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1 =-2x+1 f(-x)-f(x)且f(-x)f(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数）如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。第十一页，讲稿共二十页哦(1)f(x)=(2)f(x)=x2 x-4,4)解:定义域不关于原点 对 称 或 f(-4)=(-4)2=16;f(4)在定义域里没有意义.f(x)为非奇非偶函数解:定义域为
7、0,+)定义域不关于原点对称 f(x)为非奇非偶函数思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗？第十二页，讲稿共二十页哦思考3：在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？有。例如：函数 f(x)=0是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。xy01f(x)=0-1第十三页，讲稿共二十页哦奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数 根据奇偶性,函数可划分为四类:第十四页，讲稿共二十页哦本课小结:两个定义:对于函数f(x)定义域内的任意 一个x 两个步骤:（判断函数的奇偶性）如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数。如果都有f(-
8、x)=f(x)f(x)为偶函数。（1）先求出定义域，看定义域是否关于原点对称（2）再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立。第十五页，讲稿共二十页哦练一练：判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性:点此播放讲课视频点此播放讲课视频第十六页，讲稿共二十页哦课本课本 P P4444页页 A A组组 10.10.课外思考题课外思考题:1.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:(1).F(x)=f(x)+f(-x)(2).F(x)=f(x)-f(-x)2.判断函数 的奇偶性:第十七页，讲稿共二十页哦3.已知函数f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x);当x0,f(x)等于().A.x(1-x)B.x(1-x)B.C.-x(1+x)D.x(1+x)4 4.已知函数f(x),g(x)均奇函数，F(x)=a f(x)+b g(x),(a,b不为0的常数)则F(X)为()A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶 D.既是奇又是偶函数若F(x)=x(f(x)+g(x),则F(x)为_,F(x)=x2(f(x)+g(x),则F(x)为_.第十八页，讲稿共二十页哦第十九页，讲稿共二十页哦感感谢谢大大家家观观看看9/26/2022第二十页，讲稿共二十页哦