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1、函数奇偶性第1页，共26页，编辑于2022年，星期五第2页，共26页，编辑于2022年，星期五教学目标教学目标奇函数的概念；奇函数的概念；偶函数的概念；偶函数的概念；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的判断；【重点重点】函数奇偶性的概念函数奇偶性的概念【难点难点】函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断【教法教法】自学辅导法、讨论法、讲授法自学辅导法、讨论法、讲授法【学法学法】归纳归纳讨论讨论练习练习【教学手段教学手段】多媒体电脑与投影仪多媒体电脑与投影仪第3页，共26页，编辑于2022年，星期五引引 例例1.已知函数已知函数f(x)=x2,求求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及及f(-x),并
2、画并画出它的图象出它的图象解解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-2)=f(2)f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-1)=f(1)f(-x)=(-x)2=x2f(-x)=f(x)思考思考:(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)从解析式上如何体现上述特征？从解析式上如何体现上述特征？第4页，共26页，编辑于2022年，星期五偶函数的特征偶函数的特征:解析式的基本特征：解析式的基本特征：f(-x)=f(x)图像特征图像特征:关于关于y轴对称轴对称.如如果果对对于于函函数数f(x)的的定定义义域域内内任任意意一一个个x,都都有有f(-x)=
3、)=f(x),),那那么么函函数数f(x)就就叫叫做做偶偶函函数数(even function).).1.1.偶函数的概念偶函数的概念第5页，共26页，编辑于2022年，星期五2.已知已知f(x)=x3,画出它的图象画出它的图象,并求出并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及及f(-x)解解:f(-2)=(-2)3=-8,f(2)=8f(-2)=-f(2)f(-1)=(-1)3=-1,f(1)=1 f(-1)=-f(1)f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=-f(x)思考思考:通过练习通过练习,你发现了什么规律你发现了什么规律?(-x,-y)(x,y)第6页，共26页，编辑于2
4、022年，星期五奇函数的特征奇函数的特征:解析式的基本特征：解析式的基本特征：f(-x)=-f(x)图像特征图像特征:关于原点对称关于原点对称.如如果果对对于于函函数数f(x)的的定定义义域域内内任任意意一一个个x,都都有有f(-x)=)=-f(x),),那那么么函函数数f(x)就就叫叫做做奇奇函函数数(odd function).).2.2.奇函数的概念奇函数的概念 如果一个函数如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数是奇函数或偶函数,那么我们那么我们就说函数就说函数f(x)具有奇偶性具有奇偶性.第7页，共26页，编辑于2022年，星期五(1)奇、偶函数定义的逆命题也成立奇、偶函数定义的逆命题也
5、成立,即若即若f(x)为奇为奇函数函数,则则f(-x)=f(x)成立成立.若若f(x)为偶函数为偶函数,则则f(-x)=f(x)成立成立.(2)判判断断函函数数是是否否具具有有奇奇偶偶性性.首首先先要要看看函函数数的的定定义义域域是是否否关关于于原原点点对对称称,即即函函数数定定义义域域关关于于原原点点对对称称是是函数具有奇偶性的前提函数具有奇偶性的前提a,b-b,-axo第8页，共26页，编辑于2022年，星期五注意：注意：(1)(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质函数的奇偶性是函数的整体性质;而而函数函数的单调性是
6、函数的局部性质的单调性是函数的局部性质.(2)(2)由由函函数数的的奇奇偶偶性性定定义义可可知知，函函数数具具有有奇奇偶偶性性的的一一个个必必要要条条件件是是，对对于于定定义义域域内内的的任任意意一一个个x，则则-x也也一一定定是是定定义义域域内内的的一一个个自自变变量量(即即定定义义域域关关于于原原点对称点对称)第9页，共26页，编辑于2022年，星期五 (3)(3)奇、偶函数定义的逆命题也成立，即奇、偶函数定义的逆命题也成立，即若若f(x)为奇函数，则为奇函数，则f(-x)=-=-f(x)有成立有成立.若若f(x)为偶函数，则为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立有成立.(4)如果一个函数
7、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么是奇函数或偶函数，那么我们就说函数我们就说函数f(x)具有奇偶性具有奇偶性.第10页，共26页，编辑于2022年，星期五注：注：1.奇、偶函数的定义域一定关于原点对称奇、偶函数的定义域一定关于原点对称.例例1.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性 定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇函定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇函数也不是偶函数。数也不是偶函数。第11页，共26页，编辑于2022年，星期五 例例2.函数函数 是定义在是定义在 上的偶函数上的偶函数,则该函数的值域是则该函数的值域是_.第12页，共26页，编辑于2022年，星期五例例3.判断下
8、列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性 定义域对称的非零常数函数仅是偶函数定义域对称的非零常数函数仅是偶函数,而而零函数既是奇函数又是偶函数零函数既是奇函数又是偶函数.第13页，共26页，编辑于2022年，星期五2.2.奇偶函数图象的性质:(2)偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.反过来反过来,如果一如果一个函数的图象关于个函数的图象关于y轴对称轴对称,那么这个函数为偶那么这个函数为偶函数函数.奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于：判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性.简化函数图象的画法简化函数图象的画法,(1)奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称.反过来反过来,
9、如果一如果一个函数的图象关于原点对称个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇那么这个函数为奇函数函数.第14页，共26页，编辑于2022年，星期五如如:f(x)为偶函数为偶函数,且且其图象与其图象与x轴有四个轴有四个交点交点,求方程求方程f(x)=0的所有实根之和的所有实根之和第15页，共26页，编辑于2022年，星期五例1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x；(2)f(x)=2x4+3x2；解解:f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)，f(x)为奇函数为奇函数 f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2f(x)为偶函数为偶函数
10、函数定义域为函数定义域为R解解:函数定义域为函数定义域为R=f(x)，第16页，共26页，编辑于2022年，星期五解解:函数定义域为函数定义域为Rf(x)为奇函数为奇函数解解:函数函数定义域为定义域为 0,+)定义域不关于原点对称，定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数-230 xy第17页，共26页，编辑于2022年，星期五(6)f(x)=x+1解解:函数函数f(x)的定义域为定义域为R f(-x)=f(x)=0，又又 f(-x)=-f(x)=0，f(x)为既奇又偶函数为既奇又偶函数(5)f(x)=0 (x R)根据奇偶性根据奇偶性,函数可划分为四类函数可划分为四类:奇函
11、数奇函数;偶函数偶函数;既奇又偶既奇又偶函数函数;非奇非偶非奇非偶函数函数.解解:函数定义域为函数定义域为R f(-x)=-x+1，-f(x)=-x-1,f(-x)f(x),且且f(-x)f(x).f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数.第18页，共26页，编辑于2022年，星期五判定函数的奇偶性的步骤：判定函数的奇偶性的步骤：(1)(1)先求函数的定义域；先求函数的定义域；若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数奇非偶函数.若定义域是关于原点对称的区间若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步进入第二步;(2)计算计算f(x)化向化向 f(x
12、)的解析式；的解析式；若等于若等于 f(x),则函数是偶函数则函数是偶函数,若等于若等于f(x),则函数是奇函数则函数是奇函数,若不等于若不等于 ,则函数是非奇非偶函数则函数是非奇非偶函数(3)(3)结论结论.有时判定有时判定f(-x)=f(x)比较困难比较困难,可考虑判定可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定或判定f(x)/f(-x)=1.第19页，共26页，编辑于2022年，星期五练习2.判断下列函数的奇偶性f(x)为奇函数为奇函数.解解:定义域为定义域为x|x0,即即 f(-x)=-f(x),(3)f(x)=5(3)f(x)=5解:f(x)的定义域为R.f(-x)=f(x)=5yox5f
13、(x)为偶函数.第20页，共26页，编辑于2022年，星期五(4)f(x)=|x+1|-|x-1|f(x)既是偶函数既是偶函数,又是奇函数又是奇函数.解解:函数的定义域为函数的定义域为-1,1,第21页，共26页，编辑于2022年，星期五例4.若函数是偶函数,求m的值.第22页，共26页，编辑于2022年，星期五1.1.两个定义两个定义:对于对于f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x,如果都有如果都有f(-x)=-=-f(x)f(x)为奇函数为奇函数.如果都有如果都有f(-x)=f(x)f(x)为偶函数为偶函数.一个函数为奇函数一个函数为奇函数它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称.
14、一个函数为偶函数一个函数为偶函数它的图象关于它的图象关于y 轴对称轴对称.2.2.两个性质两个性质:3.3.判断函数奇偶性的步骤判断函数奇偶性的步骤 考查函数定义域是否关于原点对称；考查函数定义域是否关于原点对称；判断判断f(-x)f(x)之一是否成立；之一是否成立；作出结论作出结论.第23页，共26页，编辑于2022年，星期五作业作业:课本课本P P4242 练习练习2 2，P P464610102.设设y=f(x)为为R上的任一函数上的任一函数,判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性:(1).F(x)=f(x)+f(-x)(2)F(x)=f(x)-f(-x)课堂作业课堂作业课外作业课外作
15、业学案学案P.22-23第24页，共26页，编辑于2022年，星期五山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学 李福国李福国第25页，共26页，编辑于2022年，星期五例例3.3.已知已知f(x)f(x)是奇函数是奇函数,当当x0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 22x,2x,求求当当 x x0 0时时,f(x),f(x)的解析式的解析式,并画出此函数并画出此函数f(x)f(x)的图的图象象.xyo解解:f(x):f(x)是奇函数是奇函数,f(-x)=f(-x)=f(x).f(x).当当x0时时,f(x)=x22x,当当x x0 0时时,-x0,-x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,即-f(x)=(x2+2x),f(x)=-x2-2x.第26页，共26页，编辑于2022年，星期五