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1、返回关于常数项级数的审敛法(2)现在学习的是第1页，共43页返回一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义:这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:由极限存在准则：单调有界数列的极限必存在。由极限存在准则：单调有界数列的极限必存在。即即因此，正项级数收敛有如下的因此，正项级数收敛有如下的定理定理现在学习的是第2页，共43页返回设设及及为两个正项级数，为两个正项级数，(1)如果级数如果级数收敛且收敛且则级数则级数也收敛。也收敛。(2)如果级数如果级数发散且发散且则级数则级数也发散。也发散。3.比较审敛法比较审敛法证明证明即
2、部分和数列有界即部分和数列有界现在学习的是第3页，共43页返回不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便之处是必须有一个敛散性已知比较审敛法的不便之处是必须有一个敛散性已知的级数作为参考级数的级数作为参考级数.现在学习的是第4页，共43页返回注注1对给出的级数进行适当的放大与缩小，与已知敛散性对给出的级数进行适当的放大与缩小，与已知敛散性的等比级数、调和级数、的等比级数、调和级数、p-级数进行比较，通过比较：级数进行比较，通过比较：“大者收敛则小者也收敛，小者发散则大者也发散。大者收敛则小者也收敛，小者发散则大者也发散。”(1)调和级数调和级数发散。发散。(2)等比级数等比级数
3、当当时，时，级数发散。级数发散。当当时，时，级数收敛。级数收敛。(3)p-级数级数注注2比较判别法并非一定要从第一项起进行比较，可从某一项起。比较判别法并非一定要从第一项起进行比较，可从某一项起。现在学习的是第5页，共43页返回解解由图可知由图可知现在学习的是第6页，共43页返回重要参考级数重要参考级数:几何级数（等比级数）几何级数（等比级数）,P-级数级数,调和级数（调和级数（实际上就是实际上就是P=1的的P-级数）级数）.如如发散发散收敛收敛现在学习的是第7页，共43页返回现在学习的是第8页，共43页返回现在学习的是第9页，共43页返回证明证明现在学习的是第10页，共43页返回Ex 判断级
4、数判断级数的敛散性的敛散性.因为因为发散，发散，所以所以发散发散.现在学习的是第11页，共43页返回4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;其中其中是敛散性已知的用作比较的参考级数是敛散性已知的用作比较的参考级数现在学习的是第12页，共43页返回证明证明由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.现在学习的是第13页，共43
5、页返回现在学习的是第14页，共43页返回解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.已已用到罗必得法则用到罗必得法则现在学习的是第15页，共43页返回Ex 判断级数判断级数的收敛性的收敛性.收敛收敛收敛收敛现在学习的是第16页，共43页返回用比较审敛法判别下列级数的收敛性：用比较审敛法判别下列级数的收敛性：（4 4）现在学习的是第17页，共43页返回比较审敛法和极限形式的比较审敛法，有如下特点：比较审敛法和极限形式的比较审敛法，有如下特点：1。只适用于判定正项级数的收敛性；。只适用于判定正项级数的收敛性；2。必须有一个已知收敛性的用于比较的正项级数；。必须有一个已知收敛性的用于比较的正
6、项级数；常用的是等比级数和常用的是等比级数和P级数。级数。3。技巧性较强。技巧性较强。现在学习的是第18页，共43页返回证明证明现在学习的是第19页，共43页返回收敛收敛发散发散现在学习的是第20页，共43页返回比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.两点注意两点注意:现在学习的是第21页，共43页返回现在学习的是第22页，共43页返回解解现在学习的是第23页，共43页返回比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法现在学习的是第24页，共43页返回级数收敛级数收敛.现在学习的是第25页，共43页返回二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法定义定义:正
7、、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数.现在学习的是第26页，共43页返回证明证明现在学习的是第27页，共43页返回满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,定理证毕定理证毕.现在学习的是第28页，共43页返回解解原级数收敛原级数收敛.现在学习的是第29页，共43页返回Ex 判断级数判断级数(t为参数为参数)的敛散性的敛散性(1)(2)级数收敛，且其和级数收敛，且其和现在学习的是第30页，共43页返回三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛现在学习的是第31页，共43页返回三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛现在学习的是第32页，共43页返回三、绝对收敛与条件收敛三
8、、绝对收敛与条件收敛证明证明现在学习的是第33页，共43页返回上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数现在学习的是第34页，共43页返回解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.现在学习的是第35页，共43页返回注注每个绝对收敛的级数是收敛的，每个绝对收敛的级数是收敛的，但并不是每个收敛但并不是每个收敛级数都是绝对收敛的级数都是绝对收敛的如如收敛收敛交错级数交错级数莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法取绝对值取绝对值发散发散现在学习的是第36页，共43页返回四、小结四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比
9、较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;现在学习的是第37页，共43页返回(1)调和级数调和级数发散发散(2)等比级数等比级数当当时，时，级数发散级数发散当当时，时，级数收敛级数收敛(3)p-级数级数工具工具现在学习的是第38页，共43页返回级数收敛的判定级数收敛的判定必要条件：必要条件：如果级数如果级数收敛，则收敛，则如果如果则则发散发散充分条件：充分条件：正项级数正项级数(1)比较审敛法比较审敛法(2)比值审敛法比值审敛法大者收敛则小者也收敛大者收敛则小者也收敛小者发散则大者也发散小者发散则大者也发散
10、交错级数交错级数 莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法任意项级数任意项级数绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛现在学习的是第39页，共43页返回无穷级数敛散性的判别程序无穷级数敛散性的判别程序已知级数已知级数（*）否否（*）发散）发散(*)是正项级数否？是正项级数否？否否是是(*)交错级交错级数否？数否？否否(*)绝对级数绝对级数否？否？是是分析特点，确定方法分析特点，确定方法是是比值法比值法是是比较法比较法是是存在否？存在否？其它方法其它方法是是莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法现在学习的是第40页，共43页返回思考题思考题现在学习的是第41页，共43页返回思考题解答思考题解答由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.现在学习的是第42页，共43页返回感谢大家观看现在学习的是第43页，共43页