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1、第二次数学危机第1页，共13页，编辑于2022年，星期二第二次数学危机第二次数学危机 十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。面，即第二次数学危机。而这次的危机是由牛顿学派的外部、而这次的危机是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿贝克莱大主教提出的，是对牛顿“无无穷小量穷小量”说法的质疑引起的。说法的质疑引起的。第2页，共13页，编辑于2022年，星期二一、危机的出现一、危机的出现17世纪数学史上出现了一个崭新的数学世纪数学史上出现了一个崭新的数学分支分支数学分析，或
2、称微积分。数学分析，或称微积分。微积分成为解决问题的重要工具。同时微积分成为解决问题的重要工具。同时关于微积分基础的问题也越来越严重。关于微积分基础的问题也越来越严重。由无穷小量究竟是不是零的问题引起了由无穷小量究竟是不是零的问题引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危极大的争论，从而引发了第二次数学危机。机。第3页，共13页，编辑于2022年，星期二牛顿的牛顿的“无穷小无穷小”牛顿的牛顿的无穷小量无穷小量无穷小量在牛顿的微积分中的无穷小量在牛顿的微积分中的主要运用。主要运用。无穷小量的数学推导过程在逻无穷小量的数学推导过程在逻辑上自相矛盾。辑上自相矛盾。也正因为他的逻辑上不严格，也正因为他的
3、逻辑上不严格，而遭到责难。而遭到责难。牛顿牛顿(IsaccNewton,1642(IsaccNewton,1642 1727)1727)英国数学家、天英国数学家、天 文学家和物理学家文学家和物理学家 第4页，共13页，编辑于2022年，星期二微积分受到攻击与责难微积分受到攻击与责难十八世纪的数学家对待微积分发展的态十八世纪的数学家对待微积分发展的态度。对这些基础问题的讨论不感兴趣。度。对这些基础问题的讨论不感兴趣。认为所谓的严密化就是烦琐。认为所谓的严密化就是烦琐。在微积分的发展过程中，出现了两种不在微积分的发展过程中，出现了两种不荣乐观的局面。荣乐观的局面。微积分的基础问题受到一些人的批判和
4、微积分的基础问题受到一些人的批判和攻击，攻击，其中最有名的是贝克莱主教在其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击年的攻击。第5页，共13页，编辑于2022年，星期二贝克莱的发难贝克莱的发难贝克莱，贝克莱，1818世纪英国哲学世纪英国哲学家，西方近代主观唯心家，西方近代主观唯心主义哲学的主要代表。主义哲学的主要代表。他对微积分强有力的批他对微积分强有力的批评，在数学界产生了最评，在数学界产生了最令人震撼的撞击。令人震撼的撞击。17341734年，贝克莱以年，贝克莱以“渺小渺小的哲学家的哲学家”之名出版了之名出版了一本针对微积分基础的一本针对微积分基础的书书分析学家。分析学家。在这本书中，贝克莱
5、对在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。牛顿的理论进行了攻击。他指责牛顿他指责牛顿“依靠双重错误得到依靠双重错误得到了不科学却正确的结果了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已已死量的鬼魂死量的鬼魂”。贝克莱的攻击真正。贝克莱的攻击真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。要害的。这使得数学家在将近这使得数学家在将近200200年的时年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。责难。直至
6、柯西创立极限理论，才较好直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难。地反驳了贝克莱的责难。直至魏尔斯特拉斯创立直至魏尔斯特拉斯创立“”语言，才彻底地反驳了贝克莱语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。的责难。贝克莱贝克莱 1685 1685年年3 3月月1212日出生于爱日出生于爱尔兰基尔肯尼郡尔兰基尔肯尼郡17531753年年1 1月月1414日卒日卒于牛津于牛津。第6页，共13页，编辑于2022年，星期二实践是检验真理的唯一标准实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无穷小无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当的方法在概念
7、上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，的指责。这表明，在大多数人的脑海里，“实践是实践是检验真理的唯一标准。检验真理的唯一标准。”第7页
8、，共13页，编辑于2022年，星期二 二、危机的实质二、危机的实质 第二次数学危机的实质是什么？应第二次数学危机的实质是什么？应该是该是 数学思想的不严密的、直观的、强数学思想的不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基础的可靠与否，调形式的计算，而不管基础的可靠与否，也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。其实，在牛顿把瞬时速度说成其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷小距离物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说法本身就是不明的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。确的，是含糊的。当然，牛顿也曾在他的著作中说明，当
9、然，牛顿也曾在他的著作中说明，然提出和使用了然提出和使用了“极限极限”这个词，但并没有明确说清这个词的意思。这个词，但并没有明确说清这个词的意思。德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是也没有明确给出极限的定义。也没有明确给出极限的定义。正因为如此，此后近二百年间的数学家，都不能满正因为如此，此后近二百年间的数学家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。意地解释贝克莱提出的悖论。所以，由所以，由“无穷小无穷小”引发的第二次数学危机，引发的第二次数学危机，实质上实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的
10、基础础。第8页，共13页，编辑于2022年，星期二三、危机的解决三、危机的解决 进入进入1919世纪，历史要求给微积分以严世纪，历史要求给微积分以严格的基础。格的基础。终于在数学家们的共同努力下，到终于在数学家们的共同努力下，到1919世世纪末，分析的严格化问题得到了解决。纪末，分析的严格化问题得到了解决。第9页，共13页，编辑于2022年，星期二第一个为补救第二次数学危机提出第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在他在17541754年指出，必须用可靠的理年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论去代替当时使用的粗糙的极限理论
11、。论。到了到了1919世纪，出现了一批杰出的世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分的奠数学家，他们积极为微积分的奠基工作而努力。首先要提到的是基工作而努力。首先要提到的是捷克的哲学家和数学家波尔查诺，捷克的哲学家和数学家波尔查诺，他开始将严格的论证引入到数学他开始将严格的论证引入到数学分析中。分析中。18161816年，他在二项展开年，他在二项展开公式的证明中，明确提出了级数公式的证明中，明确提出了级数收敛的概念，同时对极限、连续收敛的概念，同时对极限、连续和变量有了较深入的理解。和变量有了较深入的理解。达朗贝尔（法）达朗贝尔（法）波尔查诺波尔查诺第10页，共13页，编辑于2022年，
12、星期二 分析学的奠基人，公认是法国分析学的奠基人，公认是法国的多产的数学家柯西，柯西在的多产的数学家柯西，柯西在数学分析和置换群理论方面作数学分析和置换群理论方面作了开拓性的工作，是最伟大的了开拓性的工作，是最伟大的近代数学家之一。柯西在近代数学家之一。柯西在18211823年间出版的分析教程年间出版的分析教程和无穷小计算讲义是数和无穷小计算讲义是数学史上划时代的著作，在那里，学史上划时代的著作，在那里，他给出了数学分析一系列基本他给出了数学分析一系列基本概念的精确定义。例如，他给概念的精确定义。例如，他给出了精确的极限定义，然后用出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分、极限定义
13、连续性、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性。定积分和无穷级数的收敛性。柯西柯西第11页，共13页，编辑于2022年，星期二接着，魏尔斯特拉斯建立了实数系，创造了精确的接着，魏尔斯特拉斯建立了实数系，创造了精确的“”“”语言语言戴德金，康托尔等又将实数理论严密化。分析有了戴德金，康托尔等又将实数理论严密化。分析有了严密的基础和完整的体系微积分学。无论是基本概严密的基础和完整的体系微积分学。无论是基本概念，还是在逻辑严密性、形式严谨性上，都有欧氏念，还是在逻辑严密性、形式严谨性上，都有欧氏几何学一般的令人赞叹！几何学一般的令人赞叹！由贝克莱悖论所引发的第二次数学危机宣告彻底解由贝克莱悖论所引发的第二次数学危机宣告彻底解决了。在微积分创建决了。在微积分创建200200余年后，数学家们终于赢来余年后，数学家们终于赢来了胜利凯旋之日了胜利凯旋之日。第12页，共13页，编辑于2022年，星期二谢谢观看!第13页，共13页，编辑于2022年，星期二