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1、关于动能定理第1页，讲稿共53张，创作于星期日第十二章第十二章 动能定理动能定理 能量转换与功能量转换与功之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍定律，在机械运之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍定律，在机械运动中则表现为动中则表现为动能定理动能定理。1.质点在不变力作用下沿直线运动质点在不变力作用下沿直线运动 功是代数量功是代数量单位为单位为J（焦耳）（焦耳）2.质点在任意变力作用下沿曲线运动质点在任意变力作用下沿曲线运动力力 F 在无限小位移在无限小位移 dr 中可视为常力中可视为常力小段弧长小段弧长ds可视为直线，可视为直线，dr可视为沿点可视为沿点M的切线的切线在在 dr 位移中力作的
2、功称位移中力作的功称元功元功，记为，记为12-1 力的功力的功第2页，讲稿共53张，创作于星期日力在全路程上作的功等于元功之和：力在全路程上作的功等于元功之和：写成矢量点乘形式：写成矢量点乘形式：有有n个力时，合力为个力时，合力为FR：合力在某一路程上作的功等于各分力作功的代数和合力在某一路程上作的功等于各分力作功的代数和第3页，讲稿共53张，创作于星期日几种常见力所作的功几种常见力所作的功1.重力的功重力的功 质点沿轨道由质点沿轨道由M1运动到运动到M2，重力，重力P=mg，在直角坐标，在直角坐标轴上的投影为：轴上的投影为：X=0,Y=0,Z=-mg重力作功为：重力作功为：重力作功仅与质点开
3、始和末了位置的高度差有关，与运动轨迹的形状无关。重力作功仅与质点开始和末了位置的高度差有关，与运动轨迹的形状无关。对于质点系对于质点系，质点的质量为，质点的质量为mi，始末高度差为，始末高度差为(Z1iZ2i)，全部重力作功之和为：，全部重力作功之和为：由质心坐标公式：由质心坐标公式：取决于取决于质心始末高度差，与路程无关质心始末高度差，与路程无关。质心下降作正功，上移作负功。质心下降作正功，上移作负功。第4页，讲稿共53张，创作于星期日弹性力弹性力 F F 的大小与弹簧变形的大小与弹簧变形 成正比：成正比：，方向与变形方向相反方向与变形方向相反弹性力是变力（大小、方向）弹性力是变力（大小、方
4、向）称为弹簧的刚性系数，单位为称为弹簧的刚性系数，单位为N/m或或N/mm。物体受到弹性力的作用，作用点物体受到弹性力的作用，作用点A的轨迹如图曲线的轨迹如图曲线A1A2。力的方向总是力的方向总是指向自然位置指向自然位置（弹簧未变形（弹簧未变形时端点的位置时端点的位置A0）。）。flash2.弹性力的功弹性力的功第5页，讲稿共53张，创作于星期日弹性力为：弹性力为：设弹簧原长为设弹簧原长为l0，沿矢径方向单位矢，沿矢径方向单位矢r0。弹性力作功为：弹性力作功为：元元 功：功：即：即：计算弹性力作功的普遍公式计算弹性力作功的普遍公式 弹性力作的功只与弹簧在弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变
5、形量初始和末了位置的变形量有关，与作用点有关，与作用点A的的轨迹形状无关轨迹形状无关。第6页，讲稿共53张，创作于星期日 力力 F 与力作用点与力作用点 A处的轨迹切线之间的夹角为处的轨迹切线之间的夹角为，则力，则力F在切线上的投影为：在切线上的投影为：法向、轴向无位移，不作功法向、轴向无位移，不作功 刚体绕定轴转动，转角刚体绕定轴转动，转角与弧长与弧长s的关系为：的关系为：R力作用点力作用点A到轴的垂距到轴的垂距力力F的元功：的元功：力偶所作的功仍可用上式计算力偶所作的功仍可用上式计算力力F作的功：作的功：3.定轴转动刚体上作用力的功定轴转动刚体上作用力的功第7页，讲稿共53张，创作于星期日
6、 有多个力作用。取刚体的质心有多个力作用。取刚体的质心C为基点，当刚为基点，当刚体有无限小位移时，任一力体有无限小位移时，任一力Fi作用点作用点Mi的位移为：的位移为：力力 Fi 在点在点 Mi 位移上所作元功：位移上所作元功：如刚体无限小转角如刚体无限小转角d，则转动位移，则转动位移 ，大小为：，大小为：全部力所作元功：全部力所作元功：力系作功为：力系作功为：FFR R为力系主矢，为力系主矢，McMc为力系为力系对质心的主矩。对质心的主矩。力系的功为：力系的功为：力系向质心简化所得的主矢和主矩作功之和。力系向质心简化所得的主矢和主矩作功之和。=4.平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功
7、第8页，讲稿共53张，创作于星期日 作为阻力的摩擦力的方向与作用点位作为阻力的摩擦力的方向与作用点位移相反，滑动摩擦阻力作移相反，滑动摩擦阻力作负功负功。当作用点没有位移时，不作功当作用点没有位移时，不作功 只滚不滑，只滚不滑，接触点为速度瞬心接触点为速度瞬心，V=0，不作功不作功。滚动摩阻的功可按力偶作功计。滚动摩阻的功可按力偶作功计。5.摩擦力的功摩擦力的功第9页，讲稿共53张，创作于星期日例：例：A、B质量分别为质量分别为 m1和和m2，绳质量不计。质量，绳质量不计。质量mo、半径、半径r的圆盘上作用一的圆盘上作用一力偶，力偶矩力偶，力偶矩M=4（随（随 变化）。求圆盘变化）。求圆盘转动
8、一圈转动一圈时力偶与重力作功总和。时力偶与重力作功总和。解：解：力偶作功：力偶作功：重力重力mog不作功不作功m1g的功：的功：m2g的功：的功：总总 功：功：第10页，讲稿共53张，创作于星期日例：绕线轮沿斜面作平面运动，其上受主动力矩例：绕线轮沿斜面作平面运动，其上受主动力矩M、重力、重力P、绳拉力、绳拉力T、摩擦力摩擦力F及支反力及支反力N。求轮心。求轮心C沿沿斜面上升斜面上升S路程时路程时力系的总功力系的总功。解：解：可以利用可以利用主矢、主矩主矢、主矩作功求和；作功求和；也可分别计算求和：也可分别计算求和：力系作的功等于各力的功的代数和力系作的功等于各力的功的代数和。分别计算，设轮走
9、了分别计算，设轮走了 S 时转了时转了 M：M*=M*S/RP：-Psin SF、N不作功不作功T：既有位移，又有转动效应既有位移，又有转动效应Tsin STr =Tsin STrS/RW=MS/R-Psin S-Tsin S-TrS/R=M/R-Psin-(r/R+sin)TS第11页，讲稿共53张，创作于星期日1.质点的动能质点的动能设质点的质量为设质点的质量为m、速度为、速度为v，则质点的动能为：，则质点的动能为：动能是标量，恒取正值。动能的量纲为：动能是标量，恒取正值。动能的量纲为：动能的单位：焦耳动能的单位：焦耳2.质点系的动能质点系的动能质点系内各质点动能的算术和为质点系的动能：质
10、点系内各质点动能的算术和为质点系的动能：(1)平移刚体的动能平移刚体的动能 刚体平移，各点的速度都相同，以刚体平移，各点的速度都相同，以质心速度质心速度为代表，得平移刚体的动能为代表，得平移刚体的动能为：为：12-2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能第12页，讲稿共53张，创作于星期日(2)定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能 刚体绕定轴刚体绕定轴z转动，其中任一点转动，其中任一点mi 的速度为：的速度为：绕定轴转动的刚体的动能为绕定轴转动的刚体的动能为:绕定轴转动刚体的动能，等于刚体对于转轴的转动惯量与角速度绕定轴转动刚体的动能，等于刚体对于转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。平方乘积
11、的一半。第13页，讲稿共53张，创作于星期日(3)平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能 取刚体取刚体质心质心C 所在的平面图形，点所在的平面图形，点 p 是某瞬时是某瞬时的的瞬心瞬心，是平面图形转动的角速度。是平面图形转动的角速度。平面运动刚体的动能为：平面运动刚体的动能为：等于随质心等于随质心平移的动能平移的动能与与绕质心转动的动能绕质心转动的动能的和。的和。刚体对于瞬时轴的转动惯量刚体对于瞬时轴的转动惯量第14页，讲稿共53张，创作于星期日例：均质圆柱体作纯滚动，已知质量例：均质圆柱体作纯滚动，已知质量 m、质心速度、质心速度 Vc 及及半径半径 R。求动能。求动能。解：解：圆拄体作平面运
12、动：圆拄体作平面运动：或看成绕或看成绕瞬心瞬心P的瞬时转动：的瞬时转动：第15页，讲稿共53张，创作于星期日例：长为例：长为 l 质量为质量为 m 的均质杆的均质杆OA以等角速度以等角速度 绕铅直线转动，绕铅直线转动，杆与铅直线的交角为杆与铅直线的交角为。求。求杆的动能杆的动能。解：解：杆定轴转动：杆定轴转动：求求OA对转轴的转动惯量，对转轴的转动惯量，取微元，微元的转动惯量为：取微元，微元的转动惯量为：杆的动能为：杆的动能为：第16页，讲稿共53张，创作于星期日合力在某一路程上作的功等于各分力作功的代数和合力在某一路程上作的功等于各分力作功的代数和1.1.重力的功重力的功2.2.弹性力的功弹
13、性力的功3.3.定轴转动刚体上作用力的功定轴转动刚体上作用力的功4.4.平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功功为力系向功为力系向质心简化质心简化所得的主矢和主矩作功之和所得的主矢和主矩作功之和5.5.摩擦力的功摩擦力的功 作为阻力的滑动摩擦力作负功作为阻力的滑动摩擦力作负功当作用点没有位移时，不作功当作用点没有位移时，不作功在在dr位移中力作的功称元功，记为：位移中力作的功称元功，记为：力在全路程上作的功等于元功之和：力在全路程上作的功等于元功之和：第17页，讲稿共53张，创作于星期日1.1.质点的动能质点的动能2.2.质点系的动能质点系的动能(1)平移刚体的动能：平移刚体的动能：(2
14、)定轴转动刚体的动能：定轴转动刚体的动能：(3)平面运动刚体的动能：平面运动刚体的动能：动能，等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能的和动能，等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能的和第18页，讲稿共53张，创作于星期日例：例：鼓轮质量为鼓轮质量为m，对其质心，对其质心C的转动惯量为的转动惯量为J。在平行于斜面的。在平行于斜面的 F 力的作用下沿斜面力的作用下沿斜面向上纯滚动。已知向上纯滚动。已知轮心轮心C的速度为的速度为V。求：求：(1)轮子的动量；轮子的动量；(2)轮子对轮子对A点的动量矩；点的动量矩；(3)轮子的动能；轮子的动能；(4)轮子移动距离为轮子移动距离为S时所有力作的功；时所有
15、力作的功；(5)所有力的功率。所有力的功率。解解:(1)沿斜坡向上的动量：沿斜坡向上的动量：或或(2)对对A点的动量矩：点的动量矩：(3)动动 能：能：(4)所有力作的功：所有力作的功：FsmgFN(5)所有力的功率：所有力的功率：第19页，讲稿共53张，创作于星期日12-3 动能定理动能定理1.质点的动能定理质点的动能定理 定理建立质点的定理建立质点的动能与作用力的功动能与作用力的功的关系，质点的运动微分方程的矢量形式：的关系，质点的运动微分方程的矢量形式：质点动能定理的微分形式质点动能定理的微分形式：即：质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。即：质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。积
16、分得：积分得：质点动能定理的积分形式：质点动能定理的积分形式：在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。力作正功，动能增加；力作负功，动能减小。力作正功，动能增加；力作负功，动能减小。第20页，讲稿共53张，创作于星期日 质点系内任一质点，质量为质点系内任一质点，质量为 mi，速度为，速度为vi，作用，作用在该质点上的力在该质点上的力 Fi。n个质点：个质点：质点系的动能，以质点系的动能，以T表示。表示。质点系动能定理的微分形式：质点系动能定理的微分形式：质点系动能的增量，等于作用于质点系质点系动能的增量
17、，等于作用于质点系全部力全部力所作的所作的元功之和元功之和。根据质点的动能定理的微分形式，有：根据质点的动能定理的微分形式，有：2.质点系的动能定理质点系的动能定理第21页，讲稿共53张，创作于星期日积分得：积分得：质点系动能定理的积分形式：质点系动能定理的积分形式：质点系在某一段运动过程中，起点和终点的质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量动能的改变量，等于作用于，等于作用于质点系的质点系的全部力全部力在这段过程中所在这段过程中所作的功的和作的功的和。第22页，讲稿共53张，创作于星期日分析力作的功：分析力作的功：(1)力与位移方向垂直，不作功；力与位移方向垂直，不作功；(2)作
18、用点无位移不作功。作用点无位移不作功。理想约束：理想约束：约束反力作功等于零的约束。约束反力作功等于零的约束。在理想约束条件下，质点系动能的改变只与主动力作功有关。在理想约束条件下，质点系动能的改变只与主动力作功有关。光滑铰链、刚体二力杆光滑铰链、刚体二力杆以及以及不可伸长的细绳不可伸长的细绳等作为系统内的约束时，等作为系统内的约束时，其中单个的约束反力不一定不作功，但一对约束反力作功之和等于零，其中单个的约束反力不一定不作功，但一对约束反力作功之和等于零，是理想约束。是理想约束。3.理想约束理想约束第23页，讲稿共53张，创作于星期日注意：注意：作用于质点系的力既有外力，也有内力，在某些情形
19、下，内力虽然等值作用于质点系的力既有外力，也有内力，在某些情形下，内力虽然等值反向，但所作功的和并不等于零。反向，但所作功的和并不等于零。距离变化距离变化第24页，讲稿共53张，创作于星期日例例12-512-5：卷扬机将圆柱体沿斜坡上拉，只滚不滑。已卷扬机将圆柱体沿斜坡上拉，只滚不滑。已知知、M，鼓轮半径鼓轮半径R1，质量，质量m1，质量分布在轮缘上质量分布在轮缘上；圆；圆柱半径为柱半径为R2，质量，质量m2，均匀分布均匀分布。系统开始静止。求圆柱。系统开始静止。求圆柱中心中心C经过路程经过路程S时的速度时的速度。解：解：力的功，力的功，Fox、Foy、m1g、FN、Ff及内力不作及内力不作功
20、，只有功，只有M、m2g作功作功。动能：动能：T1=0，T2包括鼓轮和圆柱体包括鼓轮和圆柱体鼓轮动能：鼓轮动能：圆柱体的动能：圆柱体的动能：第25页，讲稿共53张，创作于星期日故：故：有有又：又：得：得：由：由：另：另：即：即：第26页，讲稿共53张，创作于星期日12-4 功率、功率方程、机械效率功率、功率方程、机械效率1.功率功率功率功率(P)：单位时间力所作的功。：单位时间力所作的功。功率等于功率等于切向力切向力与与力作用点速度力作用点速度的乘积。的乘积。作用在转动刚体上的力的功率为：作用在转动刚体上的力的功率为：转动刚体上的力的功率等于该转动刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩力对转轴的矩
21、与与角速度角速度的乘积的乘积单位：瓦（单位：瓦（W）、千瓦（）、千瓦（kW）而：而：第27页，讲稿共53张，创作于星期日质点系动能定理的微分形式，两端除以质点系动能定理的微分形式，两端除以dt，得：，得：称为：称为：功率方程功率方程 即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。代数和。功率方程常用来研究机器在工作时能量的变化和转化的问题功率方程常用来研究机器在工作时能量的变化和转化的问题系统的输入功率等于有用功率、无用功率和系统系统的输入功率等于有用功率、无用功率和系统动能的变化率动能的变化率的和。的和。动
22、能不变时：动能不变时：2.功率方程功率方程第28页，讲稿共53张，创作于星期日 机器需输入功率，机器需输入功率，同时一些同时一些机械能转化为热能机械能转化为热能、声能将消耗部分功率声能将消耗部分功率。有效功率与输入功率的比值称为有效功率与输入功率的比值称为机械效率：机械效率：有效功率有效功率/输入功率输入功率有效功率有效功率=输入功率的有效利用程度是评定质量的指标之一输入功率的有效利用程度是评定质量的指标之一 =1 2 3 n3.机械效率机械效率第29页，讲稿共53张，创作于星期日12-5 势力场、势能、机械能守恒定律势力场、势能、机械能守恒定律物体在某空间任一位置都受到一个物体在某空间任一位
23、置都受到一个大小和方向大小和方向由所在位置确定的由所在位置确定的力，则这力，则这空间空间 称为称为 力场力场。如：重力场、太阳引力场如：重力场、太阳引力场物体在某力场内运动，作用于物体的物体在某力场内运动，作用于物体的力力作的功只与力作用点的作的功只与力作用点的初始和初始和终了终了位置有关，位置有关，与该点的轨迹无关与该点的轨迹无关，这种力场称为，这种力场称为势力场，或保守力势力场，或保守力场场。势力场中，物体受到的力称势力场中，物体受到的力称有势力有势力或或保守力保守力。重力、弹性力、万有引力都是有势力重力、弹性力、万有引力都是有势力如：重力场、弹性力场、万有引力场都是势力场如：重力场、弹性
24、力场、万有引力场都是势力场1.势力场势力场力场力场势力场势力场第30页，讲稿共53张，创作于星期日 物体从高处到低处，物体从高处到低处，重力重力作功使物体动能增加作功使物体动能增加下落高度不同，重力所作的功也不同下落高度不同，重力所作的功也不同在势力场中，在势力场中，质点从点质点从点M运动到任选点运动到任选点M0，有势力有势力所作的功称为质所作的功称为质点在点在点点M相对于点相对于点M0的的势能势能。以以V表示：表示：点点M0的势能等于零，称为的势能等于零，称为零势能点零势能点。在势力场中，势能的大小是相对于零势能点的。在势力场中，势能的大小是相对于零势能点的。2.势能势能第31页，讲稿共53
25、张，创作于星期日几种常见的势能：几种常见的势能：(1)重力场中的势能重力场中的势能 重力重力p在各轴上的投影为：在各轴上的投影为：取零势能点取零势能点M0，则点，则点M的势能为的势能为(2)弹性力场中的势能弹性力场中的势能 设弹簧的一端固定，另一端与物体连接，弹簧的设弹簧的一端固定，另一端与物体连接，弹簧的刚性系数为刚性系数为k。取点。取点M0为零势能点，则质点的势为零势能点，则质点的势能：能：和和 0分别为弹簧端点在分别为弹簧端点在M和和M0时弹簧的变形量。时弹簧的变形量。如取弹簧自然位置为零势能点，则有如取弹簧自然位置为零势能点，则有 0=0，得：，得：第32页，讲稿共53张，创作于星期日
26、(3)万有引力场的势能万有引力场的势能 设质量为设质量为M1的质点受质量为的质点受质量为M2物体的万有引力物体的万有引力F作作用，用，取点取点A0为零势能点为零势能点，则质点在点，则质点在点A势能：势能：f 为引力常数，为引力常数，r0 是质点的矢径方向的单位矢量，是质点的矢径方向的单位矢量，r0dr为矢径为矢径增量增量dr在矢径方向的投影。在矢径方向的投影。设设 r1 是零势能点的矢径，则：是零势能点的矢径，则：如选取的零势能点在无穷远处，则：如选取的零势能点在无穷远处，则：万有引力作功只决定于质点万有引力作功只决定于质点运动的初始和终了位置，与运动的初始和终了位置，与点的轨迹无关，万有引力
27、场点的轨迹无关，万有引力场是势力场。是势力场。第33页，讲稿共53张，创作于星期日质点系有多个质点，受多个有势力作用，各有质点系有多个质点，受多个有势力作用，各有零势能点零势能点。质点系零势能位置质点系零势能位置，为各质点都处于其零势能点的位置。，为各质点都处于其零势能点的位置。质点系从某位置到其零势能位置运动过程中各质点系从某位置到其零势能位置运动过程中各有势力有势力作功作功的代数和，为此质点系在该的代数和，为此质点系在该位置的势能位置的势能。质点系重力势能质点系重力势能：取各点坐标为：取各点坐标为z10、z20、zn0为零势能位置，为零势能位置，则各点坐标则各点坐标z1、z2、zn时的势能
28、：时的势能：V=mig(zizio)=g(mizi mizio)=g(mzcmzco)=mg(zczco)zc,zco为质心在原位置和零势能位置的坐标，对不同的零势能位置，为质心在原位置和零势能位置的坐标，对不同的零势能位置，系统系统的势能不同的势能不同。常见的重力弹力系统，取常见的重力弹力系统，取平衡位置平衡位置为零势能位置比较方便。为零势能位置比较方便。第34页，讲稿共53张，创作于星期日质点在势力场中运动，质点在势力场中运动，有势力的功有势力的功可通过势能计算可通过势能计算。W12=V1V2有势力作的功，有势力作的功，等于质点系在运动过程的等于质点系在运动过程的初始初始与与终了终了位置的
29、位置的势能的差势能的差多个有势力情况，多个有势力情况，各有势力作功的各有势力作功的代数和代数和等于始末位置的等于始末位置的势能差势能差W10=W12+W20W10=V1,W20=V2第35页，讲稿共53张，创作于星期日3.机械能守恒定律机械能守恒定律机械能：机械能：质点系在某瞬时的动能与势能的代数和。质点系在某瞬时的动能与势能的代数和。设质点系在运动过程设质点系在运动过程初始和终了初始和终了瞬时的动能分别为瞬时的动能分别为T1和和T2，所受力在这过程中所，所受力在这过程中所作的功为作的功为W12，根据动能定理：，根据动能定理：如系统运动中只有如系统运动中只有有势力有势力作功，而有势力的功可用势
30、能计算：作功，而有势力的功可用势能计算：质点系仅在质点系仅在有势力有势力的作用运动时，其机械能保持不变。的作用运动时，其机械能保持不变。质点系称为保守质点系称为保守系统系统还受非保守力为非保守系统，还受非保守力为非保守系统，非保守系统的机械能不守恒。非保守系统的机械能不守恒。设保守力作功为设保守力作功为W12，非保守力所作的功为，非保守力所作的功为W12，由动能定理：，由动能定理：W12是负功时，系统对外界作功；是负功时，系统对外界作功；W12是正功时，外界对系统输入能量。是正功时，外界对系统输入能量。机械能的变化就是非保守力作的功机械能的变化就是非保守力作的功第36页，讲稿共53张，创作于星
31、期日例：均质圆柱重例：均质圆柱重 P，半径，半径 R，绕线绳一端固定，从静止开始运，绕线绳一端固定，从静止开始运动。求圆柱中心动。求圆柱中心 C 下落下落 h 时的时的速度和加速度速度和加速度。解：解：T不作功，机械能守恒，不作功，机械能守恒，。取取h处为零势能位置，则有：处为零势能位置，则有：代入，则有：代入，则有：第37页，讲稿共53张，创作于星期日动能定理动能定理质点系动能的增量质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功之和。，等于作用于质点系全部力所作的元功之和。质点系在某一段运动过程中，质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所
32、作起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作的功的和。的功的和。理想约束：理想约束：约束反力作功等于零的约束。约束反力作功等于零的约束。功率：功率：作用在作用在转动刚体上转动刚体上的力的功率为：的力的功率为：功率方程：功率方程：第38页，讲稿共53张，创作于星期日机械效率：机械效率：物体在势力场中某位置的势能，等于物体在势力场中某位置的势能，等于有势力有势力从该位置到一任选的从该位置到一任选的零势能零势能位置所作的功。有势力的功只与物体运动的位置所作的功。有势力的功只与物体运动的起点和终点起点和终点的位置有关，而与物的位置有关，而与物体内各点轨迹的形状无关。体内各点轨迹
33、的形状无关。若以自然位置为零势能点，则：若以自然位置为零势能点，则：重力场中的势能：重力场中的势能：弹性力场中的势能：弹性力场中的势能：有势力的功可通过有势力的功可通过势能的差势能的差来计算：来计算：万有引力场中的势能：万有引力场中的势能：若以无限远处为零势能点，则：若以无限远处为零势能点，则：机械能机械能=动能动能+势能势能=T+V=T+V机械能守恒定律：机械能守恒定律：如质点或质点系只在有势力作用下运动，则机械能保持不变，即如质点或质点系只在有势力作用下运动，则机械能保持不变，即第39页，讲稿共53张，创作于星期日例：例：已知半径为已知半径为R的轮的轮A、B质量均为质量均为m，两轮视为均质
34、圆盘，轮，两轮视为均质圆盘，轮B质心在某瞬时质心在某瞬时的速度为的速度为v，绳重量忽略不计。求：，绳重量忽略不计。求：(1)系统的动量；系统的动量；(2)系统对系统对A轴的动量矩；轴的动量矩；(3)系系统的动能；统的动能；(4)当轮当轮B质心移动距离为质心移动距离为S时系统所有力作的功；时系统所有力作的功；(5)系统所有力的功率。系统所有力的功率。(1)(2)(3)(4)(5)解：解：第40页，讲稿共53张，创作于星期日13-6 普遍定理综合运用举例普遍定理综合运用举例例：滑轮组成的提升机构，滑轮例：滑轮组成的提升机构，滑轮A、B均为均为均质圆盘均质圆盘，质量为，质量为m1和和m2，半径为，半
35、径为 R和和r，R=2r，重物质量，重物质量m3。已知主动力偶矩。已知主动力偶矩M。求上升中。求上升中轴承对轴承对A的反力。的反力。解：解：动能和动量矩定理中不出现动能和动量矩定理中不出现NX、NY，需用动量定理；，需用动量定理；计算动量需知速度，可用动能定理或动量矩定理求得。计算动量需知速度，可用动能定理或动量矩定理求得。求约束反力，用动量定理求约束反力，用动量定理系统的动量：系统的动量：由动量定理，知：由动量定理，知：可见还可见还需求需求S，如下需要分析，如下需要分析A第41页，讲稿共53张，创作于星期日分析分析A A动量矩：动量矩：外力矩：外力矩：分析分析B B质心运动定理：质心运动定理
36、：又：又：得：得：由此得：由此得：第42页，讲稿共53张，创作于星期日动量矩定理：动量矩定理：有：有：得：得：解法一：解法一：用用“动量矩动量矩”定理求定理求aDaD，对，对A A点的动量矩点的动量矩外力对外力对A的矩：的矩：加速度的求解加速度的求解第43页，讲稿共53张，创作于星期日解法二：解法二：用用“动能定理动能定理”求求aD，系统动能为：，系统动能为：由此得：由此得：第44页，讲稿共53张，创作于星期日例：例：图示摆由不计质量的长为图示摆由不计质量的长为4R的杆的杆OA和半径为和半径为R质质量为量为m的均质圆盘的均质圆盘B组成，圆盘和杆刚接。初始时静止地处于组成，圆盘和杆刚接。初始时静
37、止地处于铅垂位置，将其无初速释放。不计摩擦，求转至水平位置时摆铅垂位置，将其无初速释放。不计摩擦，求转至水平位置时摆的的角速度、角加速度角速度、角加速度及及铰链铰链O的约束力的约束力。解：解：摆绕摆绕O轴作定轴转动，由轴作定轴转动，由动能定理动能定理可求角速度可求角速度由由动量矩动量矩定理：定理：（定轴转动微分方程）可求（定轴转动微分方程）可求角加速度角加速度：先求摆对的转动惯量，由平行轴定理：先求摆对的转动惯量，由平行轴定理：mgFyFx可得：可得：可得：可得：第45页，讲稿共53张，创作于星期日可可 得：得：可可 得：得：该瞬时方向动量为零，该瞬时方向动量为零，但变化率不为零，方向存在约束
38、力：但变化率不为零，方向存在约束力：由由质心运动定理质心运动定理可求铰链可求铰链约束力约束力：第46页，讲稿共53张，创作于星期日基本要求：基本要求：(1)深刻理解深刻理解力的功力的功和和质点系动能质点系动能等概念。等概念。(2)熟练掌握重力熟练掌握重力、弹性力、万有引力、摩擦力、力偶所作功的计算。、弹性力、万有引力、摩擦力、力偶所作功的计算。(3)熟练掌握刚体作熟练掌握刚体作平移、定轴转动平移、定轴转动和和平面运动平面运动时动能的计算方法。时动能的计算方法。(4)熟悉在何种约束下，约束反力作功之和等于零。熟悉在何种约束下，约束反力作功之和等于零。(5)熟练应用熟练应用动能定理动能定理、功率方
39、程功率方程和和机械能守恒定律机械能守恒定律求解动力学问题。求解动力学问题。(6)掌握各定理的内容、特点、适用条件及所能解决的问题。掌握各定理的内容、特点、适用条件及所能解决的问题。(7)要正确而灵活地应用各定理求解动力学问题。要正确而灵活地应用各定理求解动力学问题。第47页，讲稿共53张，创作于星期日重重 点：点：难难 点：点：(1)质点系质点系动能的计算与力的功动能的计算与力的功的计算。的计算。(2)质点系动能定理及其应用。质点系动能定理及其应用。(3)功率方程及其应用。功率方程及其应用。(1)用动能定理的关键在于正确计算质点系动能与力的功。用动能定理的关键在于正确计算质点系动能与力的功。(
40、4)机械能守恒定律。机械能守恒定律。(2)对具体问题，选用合适的定理，使求解过程尽可能简单。对具体问题，选用合适的定理，使求解过程尽可能简单。(5)综合应用动力学基本定理求平面机构的动力学问题。综合应用动力学基本定理求平面机构的动力学问题。第48页，讲稿共53张，创作于星期日小小 结结1.动能是物体机械运动的一种度量动能是物体机械运动的一种度量质点的动能：质点的动能：质点系的动能：质点系的动能：平移刚体的动能：平移刚体的动能：绕定轴转动刚体的动能：绕定轴转动刚体的动能：平面运动刚体的动能：平面运动刚体的动能：第49页，讲稿共53张，创作于星期日2.力的功是力对物体作用的积累效应的度量力的功是力
41、对物体作用的积累效应的度量定轴转动刚体上力的功：定轴转动刚体上力的功：或或重力的功：重力的功：弹性力的功：弹性力的功：平面运动刚体上力的功：平面运动刚体上力的功：第50页，讲稿共53张，创作于星期日3.动能定理动能定理理想约束条件下，只计算主动力的功。理想约束条件下，只计算主动力的功。注意：内力有时作功之和不为零。注意：内力有时作功之和不为零。微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：4.功率是力在单位时间内所作的功功率是力在单位时间内所作的功5.功率方程功率方程6.机械效率机械效率第51页，讲稿共53张，创作于星期日7.有势力的功只与物体运动的起点和终点的位置有关，有势力的功只与物体运动的起点
42、和终点的位置有关，而与物体内各点轨迹的形状无关。而与物体内各点轨迹的形状无关。8.物体在势力场中某位置的势能等于物体在势力场中某位置的势能等于 有势力从该位置到一任选的零势能位置所作的功。有势力从该位置到一任选的零势能位置所作的功。若以自然位置为零势能点，则：若以自然位置为零势能点，则：重力场中的势能：重力场中的势能：弹性力场中的势能：弹性力场中的势能：9.有势力的功可通过势能的差来计算有势力的功可通过势能的差来计算万有引力场中的势能：万有引力场中的势能：若以无限远处为零势能点，则：若以无限远处为零势能点，则：10.机械能机械能=动能动能+势能势能=T+V机械能守恒定律：机械能守恒定律：如质点或质点系只在有势力作用下运动，则机械能保如质点或质点系只在有势力作用下运动，则机械能保持不变，即持不变，即第52页，讲稿共53张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看26.09.2022第53页，讲稿共53张，创作于星期日