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1、二阶线性偏微分方程的分类第一页，讲稿共二十六页哦 在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程波动方程；热传导方程；稳定场方程这三类方程描写了不这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点特点我们在解析几何中知道对于二次实曲线我们在解析几何中知道对于二次实曲线其中其中 为常数，且设为常数，且设 7.1 数学物理方程的分类数学物理方程的分类第二页，讲稿共二十六页哦则则当当 时，上述
2、二次曲线分别为双时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类微分方程进行分类.下面主要以含下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行理论分为例，进行理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的一样的两个自变量两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程所具有的的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为普遍形式为第三页，讲稿共二十六页哦（1.1）第四页，讲稿共二十六页哦定理定理2.1
3、 如果如果 是方程是方程(2.2)的一般积分，则的一般积分，则 是方程是方程第五页，讲稿共二十六页哦(2.3)的一个特解的一个特解在具体求解方程在具体求解方程(2.1)时，需要分三种情况讨论判别式时，需要分三种情况讨论判别式 1.当判别式当判别式 以求得两个以求得两个实函数解实函数解 时，从方程时，从方程(2.1)可可第六页，讲稿共二十六页哦也就是说，偏微分方程也就是说，偏微分方程(2.1)有有两条实的特征线两条实的特征线于是，令于是，令即可使得即可使得 同时，根据同时，根据(2.2)式，就可以断定式，就可以断定 所以，方程所以，方程(2.1)即为即为 (2.4)第七页，讲稿共二十六页哦或者进
4、一步作变换或者进一步作变换于是有于是有所以所以第八页，讲稿共二十六页哦又可以进一步将方程又可以进一步将方程(2.4)化为化为 这种类型的方程称为这种类型的方程称为双曲型方程双曲型方程我们前面建立的波动方程就属我们前面建立的波动方程就属于此类型于此类型2当判别式当判别式 时：这时方程时：这时方程(2.2)一定有重根一定有重根第九页，讲稿共二十六页哦因而只能求得一个解，例如，因而只能求得一个解，例如，特征线为特征线为 一条实特征线一条实特征线作变换作变换 就可以使就可以使 由由(2.2)式可以得出，一定有式可以得出，一定有，故可推出，故可推出 这样就可以任意选取另一个变换，这样就可以任意选取另一个
5、变换，只要它和只要它和 彼此独立，即雅可比行列式彼此独立，即雅可比行列式第十页，讲稿共二十六页哦即可这样，方程即可这样，方程(2.1)就化为就化为 此类方程称为此类方程称为抛物型方程抛物型方程热传导（扩散）方程就属于热传导（扩散）方程就属于这种类型这种类型第十一页，讲稿共二十六页哦3.当判别式当判别式 面的讨论，只不过得到的面的讨论，只不过得到的 时：这时，可以重复上时：这时，可以重复上和和 是一是一对共轭的复函数，或者说，偏微分方程对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(2.1)的的两条特征线是两条特征线是一对共轭复函数族一对共轭复函数族于是于是是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量是一对共
6、轭的复变量进一步引进两个新的实变量第十二页，讲稿共二十六页哦于是于是所以所以 方程方程(2.1)又可以进一步化为又可以进一步化为第十三页，讲稿共二十六页哦 这种类型的方程称为这种类型的方程称为椭圆型方程椭圆型方程拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程、方程、泊松泊松(Poisson)方程和方程和Helmholtz 方程都属于这种类型方程都属于这种类型 综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只需讨论判别式需讨论判别式 即可即可.第十四页，讲稿共二十六页哦7.2 二阶线性偏微分方程标准化二阶线性偏微分方程标准化对于二阶线性偏微分方程对于二
7、阶线性偏微分方程(2.1)若判别式为若判别式为，则二阶，则二阶线性偏微分方程分为三类：线性偏微分方程分为三类：第十五页，讲稿共二十六页哦时，方程称为双曲型时，方程称为双曲型;时，方程称为抛物型时，方程称为抛物型;时，方程称为椭圆型时，方程称为椭圆型;1.双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程 因为双曲型方程对应的判别式因为双曲型方程对应的判别式 所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，第十六页，讲稿共二十六页哦设设特征方程的解特征方程的解为为 令令 (2.2)进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式第十七页，讲稿共二十六页哦
8、(2.3)上式称为上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量，再作变量代换，令代换，令或或 则偏微分方程又变为则偏微分方程又变为第十八页，讲稿共二十六页哦(2.4)上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式 注：上式中的注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如 与与是两个不同的函数。是两个不同的函数。第十九页，讲稿共二十六页哦因为抛物型偏微分方程的判别式因为抛物型偏微分方程的判别式 线是线是一族实函数曲线一族实函数曲线，所以特征曲，所以特征曲其其特征方程的解特征方程的解为为
9、(2.5)因此令因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为进行自变量变换，则原偏微分方程变为(2.6)2抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程上式称为抛物型偏微分方程的标准形式上式称为抛物型偏微分方程的标准形式第二十页，讲稿共二十六页哦3.椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的判别式椭圆型偏微分方程的判别式，所以特征曲线是，所以特征曲线是一组共轭复变函数族其一组共轭复变函数族其特征方程的解为特征方程的解为(2.7)第二十一页，讲稿共二十六页哦(2.8)作自变量变换，则偏微分方程变为作自变量变换，则偏微分方程变为(2.9)上式称为上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式椭圆型偏微分方程的标准形式
10、若令若令 第二十二页，讲稿共二十六页哦7.3 二阶线性常系数偏微分方程的二阶线性常系数偏微分方程的 进一步化简进一步化简 如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法1.双曲型双曲型 对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还可进一步化简可进一步化简第二十三页，讲稿共二十六页哦注：上式中用小写字母注：上式中用小写字母代表常系数，以便与代表常系数，以便与我我们们不妨令不妨令 大写字母代表某函数区别开来大写字母代表某函数区别开来,例如例如为了化简，为了化简，从而有从而有(3.1)(3.2)第二十四页，讲稿共二十六页哦其中其中 由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进一步化简一步化简(3.3)式中式中 均为常系数若令均为常系数若令第二十五页，讲稿共二十六页哦 则有则有(3.4)(3.5)其中其中 第二十六页，讲稿共二十六页哦