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1、现在学习的是第1页，共26页 在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程波动方程；热传导方程；稳定场方程这三类方程描写了不同这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点特点我们在解析几何中知道对于二次实曲线我们在解析几何中知道对于二次实曲线其中其中 为常数，且设为常数，且设 7.1 数学物理方程的分类数学物理方程的分类现在学习的是第2页，共26页则当则当 时，上述二次曲线分别为双
2、时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类微分方程进行分类. 下面主要以含下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行理论分析为例，进行理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的两个自变量两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为普遍形式为现在学习的是第3页，共26页（1.1） 作坐标变换( , )( , )x yx yu
3、uuuuuxxxyyy则2222222222222222222222222222222()2()()2()()uuuuuuxxxxxxxuuuuuuyyyyyyyuuuux yxyxyxy 222uuxyx yx y 现在学习的是第4页，共26页定理定理2.1 如果如果 是方程是方程(2.2)的一般积分，则的一般积分，则 是方程是方程2222*22222*(2.1) ()() ()() uuABCBxxyyxxuABCxxyyuuDEF uG 代入得到现在学习的是第5页，共26页 (2.3)的一个特解的一个特解在具体求解方程在具体求解方程(2.1)时，需要分三种情况讨论判别式时，需要分三种情况
4、讨论判别式 1. 当判别式当判别式 以求得两个以求得两个实函数解实函数解 时，从方程时，从方程(2.1)可可现在学习的是第6页，共26页也就是说，偏微分方程也就是说，偏微分方程(2.1)有有两条实的特征线两条实的特征线于是，令于是，令即可使得即可使得 同时，根据同时，根据(2.2)式，就可以断定式，就可以断定 所以，方程所以，方程(2.1) 即为即为 (2.4)现在学习的是第7页，共26页或者进一步作变换或者进一步作变换于是有于是有所以所以现在学习的是第8页，共26页又可以进一步将方程又可以进一步将方程(2.4)化为化为 这种类型的方程称为这种类型的方程称为双曲型方程双曲型方程我们前面建立的波
5、动方程就属我们前面建立的波动方程就属于此类型于此类型2当判别式当判别式 时：这时方程时：这时方程(2.2)一定有重根一定有重根现在学习的是第9页，共26页因而只能求得一个解，例如，因而只能求得一个解，例如， ，特征线为特征线为 一条实特征线一条实特征线作变换作变换 ( , )x y就可以使就可以使 由由(2.2)式可以得出，一定有式可以得出，一定有 ，故可推出，故可推出 这样就可以任意选取另一个变换，这样就可以任意选取另一个变换， 只要它和只要它和 ( , )x y彼此独立，即雅可比行列式彼此独立，即雅可比行列式现在学习的是第10页，共26页即可这样，方程即可这样，方程(2.1)就化为就化为
6、此类方程称为此类方程称为抛物型方程抛物型方程热传导（扩散）方程就属于热传导（扩散）方程就属于这种类型这种类型现在学习的是第11页，共26页3. 当判别式当判别式 面的讨论，只不过得到的面的讨论，只不过得到的 时：这时，可以重复上时：这时，可以重复上和和 是一是一对共轭的复函数，或者说，偏微分方程对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(2.1)的的两条特征线是两条特征线是一对共轭复函数族一对共轭复函数族于是于是( , ), ( , )x yx y是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量现在学习的是第12页，共26页于是于是所以所以 方程方程(2.1)又可以
7、进一步化为又可以进一步化为现在学习的是第13页，共26页 这种类型的方程称为这种类型的方程称为椭圆型方程椭圆型方程拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程、方程、泊松泊松(Poisson)方程和方程和Helmholtz 方程都属于这种类型方程都属于这种类型 综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只需讨论判别式需讨论判别式 24BAC 即可即可. 现在学习的是第14页，共26页7.2 二阶线性偏微分方程标准化二阶线性偏微分方程标准化对于二阶线性偏微分方程对于二阶线性偏微分方程 ( 2.1)若判别式为若判别式为 ，则二阶，则二阶线性偏微分方
8、程分为三类：线性偏微分方程分为三类：现在学习的是第15页，共26页时，方程称为双曲型时，方程称为双曲型;时，方程称为抛物型时，方程称为抛物型; 时，方程称为椭圆型时，方程称为椭圆型; 1.双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程 因为双曲型方程对应的判别式因为双曲型方程对应的判别式 所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，现在学习的是第16页，共26页设设特征方程的解特征方程的解为为 令令 (2.2)进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式242dyBBACdxA221244,22BBACBBACyxcyxcAA现在学习的是第
9、17页，共26页 (2.3) 上式称为上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量，再作变量代换，令代换，令或或 则偏微分方程又变为则偏微分方程又变为现在学习的是第18页，共26页 (2.4)上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式 注：上式中的注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如 与与是两个不同的函数。是两个不同的函数。 现在学习的是第19页，共26页因为抛物型偏微分方程的判别式因为抛物型偏微分方程的判别式 0 线是线是一族实函数曲线一族实函数曲线 ，所以特征曲，所以特
10、征曲其其特征方程的解特征方程的解为为 (2.5)因此令因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为进行自变量变换，则原偏微分方程变为(2.6) 2抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程2ByxcA上式称为抛物型偏微分方程的标准形式上式称为抛物型偏微分方程的标准形式现在学习的是第20页，共26页3.椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的判别式椭圆型偏微分方程的判别式 0 ，所以特征曲线是，所以特征曲线是一组共轭复变函数族其一组共轭复变函数族其特征方程的解为特征方程的解为 (2.7)221244,2222BACBBACByxxicyxxicAAAA现在学习的是第21页，共26页(2.8) 作自
11、变量变换，则偏微分方程变为作自变量变换，则偏微分方程变为 (2.9)上式称为上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式椭圆型偏微分方程的标准形式若令若令 现在学习的是第22页，共26页7.3 二阶线性常系数偏微分方程的二阶线性常系数偏微分方程的 进一步化简进一步化简 如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法1.双曲型双曲型 对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还可进一步化简可进一步化简现在学习的是第23页，共26页注：上式中用小写字母注：上式中用小写字母代表常系数，以便与代表常系数，以便与我们不妨令我们不妨令 大写字母代表某函数区别开来大写字母代表某函数区别开来, 例如例如为了化简，为了化简，从而有从而有(3.1)(3.2)现在学习的是第24页，共26页其中其中 由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进一步化简一步化简 (3.3) 式中式中 均为常系数若令均为常系数若令现在学习的是第25页，共26页 则有则有(3.4) (3.5)其中其中 现在学习的是第26页，共26页