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1、第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.抛物线y2=2px(p0)上的点M(4,m)到焦点的距离为5,则m的值为()A.2B.3C.4D.4或-4解析抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-p2,由抛物线的定义有4+p2=5,p=2,此时y2=4x,将点M(4,m)代入抛物线方程中,求出m=4,故选D.答案D2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为()A.14,24B.18,24C.14,24D.18,24解析由题意知,点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离,因此点P在线段OF的垂直平分线上,而F14,0,所
2、以点P的横坐标为18,代入抛物线方程得y=24,故点P的坐标为18,24.答案B3.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为()A.-43B.-1C.-34D.-12解析因为抛物线C:y2=2px的准线为x=-p2,且点A(-2,3)在准线上,所以-p2=-2,解得p=4,所以y2=8x,所以焦点F的坐标为(2,0),这时直线AF的斜率kAF=3-0-2-2=-34.答案C4.过抛物线x2=y的焦点F的直线交抛物线于不同的两点A,B,则1|AF|+1|BF|的值为()A.2B.1C.14D.4解析因为直线交抛物线于不同的两点A,B,所以直线的斜率
3、存在,设过抛物线x2=y的焦点F的直线方程为y=kx+14,由x2=y,y=kx+14,可得y2-k2+12y+116=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=116,y1+y2=k2+12,因为抛物线的准线方程为y=-14,所以根据抛物线的定义可知|AF|=y1+14,|BF|=y2+14,所以1|AF|+1|BF|=1y1+14+1y2+14=y1+y2+12y1y2+14(y1+y2)+116=4,故选D.答案D5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为C上一点且在第一象限,以F为圆心,FA为半径的圆交抛物线C的准线于M,N两点,且A,F,M三点共线,则|AF|=()A.
4、2B.4C.6D.8解析如图所示,A,F,M三点共线,AM是圆的直径,ANMN,ANx轴,又F为AM的中点,且点F到准线的距离为2,|AN|=4,由抛物线的定义可得|AF|=|AN|=4,故选B.答案B6.已知点P在抛物线y2=4x上,当点P到点Q(2,-2)的距离与点P到此抛物线焦点的距离之和取得最小值时,点P的坐标为()A.14,-1B.14,1C.(1,2)D.(1,-2)解析由题意,根据抛物线的方程y2=4x,求得p=2,则焦点坐标为F(1,0),过点P作准线x=-1的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|,依题意可知当P,Q和M三点共线且点P在中间时距离和最小,如图所示,所以此时点P的
5、纵坐标为-2,代入抛物线的方程求得x=1,即点P的坐标为(1,-2),故选D.答案D7.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,反射光线的反向延长线与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为(提示:抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).解析由直线y=-2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.答案x=-28.直角三角形的直角顶点在坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,且一直角边的方程是y=2x,斜边长是5,求此抛物线的方程.解如图所示,设直角三角形为AOB,直角顶点为O,AO边的方程为y=2x,则OB边的方程为y=-12
6、x.由y=2x,y2=2px得点A的坐标为p2,p.由y=-12x,y2=2px得点B的坐标为(8p,-4p).因为|AB|=5,所以(p+4p)2+p2-8p2=5,解得p=21313,故所求抛物线方程为y2=41313x.9.已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l的斜率为1,直线l与抛物线交于A,B两点,与x轴交于点P.(1)若|AF|+|BF|=8,求直线l的方程;(2)若AP=2PB,求|AB|.解(1)由题意,直线l的斜率为1,设直线l的方程为y=x+m,设A(xA,yA),B(xB,yB),联立方程组y=x+m,y2=4x,整理得x2+(2m-4)x+m2=0,则xA+xB=4-2
7、m,又由|AF|+|BF|=8,可得xA+1+xB+1=8,所以xA+xB=6,即4-2m=6,解得m=-1,所以直线l的方程为y=x-1.(2)根据题意,设P(xP,0),由y=x+m,y2=4x,消去x得y2-4(y-m)=0,得y2-4y+4m=0,则yA+yB=4,yAyB=4m,又由AP=2PB,可得(xP-xA,0-yA)=2(xB-xP,yB-0),可得-yA=2yB,代入式,可得yA=8,yB=-4,再代入式得m=-8,即xA+xB=20,xAxB=64,所以|AB|=2(xA+xB)2-4xAxB=122.能力提升1.抛物线x2=2py(p0)与椭圆x212+y22=1交于A
8、,B两点,若AOB的面积为6(其中O为坐标原点),则p=()A.2B.3C.4D.6解析由抛物线与椭圆的对称性知,A,B关于y轴对称,可设A(x0,y),B(-x0,y)(x00),AOB的面积为6,SAOB=122x0y=x032p=6,而x0212+y22=1,则x02+3x042p2=12,由上整理,得x04-12x02+36=0,解得x02=6,则p=3.故选B.答案B2.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若AB中点的横坐标为2,则k等于()A.2或-2B.-1C.2D.3解析由y2=8x,y=kx-2,得k2x2-4(k+2)x+4=0,由0得k-1,则4(k+2)k2
9、=4,即k=2.答案C3.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F和抛物线上一点M(2,22)的直线l交抛物线于另一点N,则|NF|FM|等于()A.12B.13C.12D.13解析抛物线的焦点为(1,0),因为直线l过点F和点M,所以直线l的斜率存在,直线l的方程为y-022-0=x-12-1,即y=22(x-1).与抛物线方程联立,得2x2-5x+2=0,解得x=2(舍)或x=12,即xN=12,所以|NF|FM|=xN+1xM+1=12+12+1=12,故选A.答案A4.已知点A(1,4)在抛物线y2=2px(p0)的准线l上,焦点为F,若点M在抛物线上,且满足|MA|=|MF|,则点M的
10、坐标为()A.(-4,4)B.(-4,-4)C.(-1,2)D.(4,4)解析由已知得抛物线准线l的方程为x=1,于是抛物线方程为y2=-4x.因为点M(x0,y0)在抛物线上,且|MA|=|MF|,所以MAl,因此y0=4,于是x0=-4,即点M的坐标为(-4,4).答案A5.已知抛物线y=ax2的准线与圆x2+y2-6y-7=0相切,则a的值为.解析抛物线y=ax2,即x2=1ay,准线方程为y=-14a,因为抛物线x2=1ay的准线与圆x2+(y-3)2=16相切,当a0时,3+14a=4,解得a=14,当a0),其准线方程为x=-p2.点P(4,m)到焦点的距离等于点P到准线的距离,4
11、+p2=6,p=4,抛物线C的方程为y2=8x.(2)由y2=8x,y=kx-2消去y,得k2x2-(4k+8)x+4=0.直线y=kx-2与抛物线相交于不同两点A,B,则有k0,=64(k+1)0,解得k-1且k0.又x1+x22=2k+4k2=2,解得k=2或k=-1(舍去),k的值为2.7.(选做题)已知抛物线C:y2=2px(p0),过其焦点F作斜率为1的直线交抛物线C于A,B两点,且线段AB的中点的纵坐标为4.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若不过原点O且斜率存在的直线l与抛物线C相交于D,E两点,且ODOE.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.(1)解设A,B两点的坐标分别为
12、(xA,yA),(xB,yB),则yA2=2pxA,yB2=2pxB,两式相减得(yA+yB)(yA-yB)=2p(xA-xB).即(yA+yB)yA-yBxA-xB=2p,又线段AB的中点的纵坐标为4,直线AB的斜率为1,8=2p,p=4.即抛物线C的标准方程为y2=8x.(2)证明设直线l:y=kx+b(b0)与抛物线C:y2=8x交于点D(x1,y1),E(x2,y2),则y=kx+b,y2=8x,化简,得ky2-8y+8b=0,k0,64-32kb0,y1y2=8bk,x1x2=y12y2264=b2k2,由ODOE得x1x2+y1y2=0,即bk=-8,b=-8k,直线为y=k(x-8),直线l过定点(8,0).5