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1、2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|xa|1，B=x|x25x+40，若AB=，则实数a的取值范围是( )AB（2，3）C2设aR，则“a=1”是“直线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的( )A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3f（x）在x0处可导，a为常数，则=( )Af（x0）B2af（x0）Caf（x0）D04已知实数x，y满足axay（0a1），则下列关系式恒成立的是(
2、)Ax3y3BsinxsinyCln（x2+1）ln（y2+1）D5如果执行如图所示的程序，那么输出的值k=( )A3B4C5D66函数f（x）=2x39x2+12xa恰有两个不同的零点，则a可以是( )A3B4C6D77若定义域为区间（2，1）的函数f（x）=log（2a3）（x+2），满足f（x）0，则实数a的取值范围是( )A（，2）B（2，+）C（，+）D（1，）8下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )ABCD9设等差数列an的前n项和为Sn，若1a54，2a63，则S6的取值范围是( )ABCD10已知抛物线C1：y=x2（p0）的焦点与双曲
3、线C2：y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=( )ABCD11f（x）是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足xf（x）+f（x）0，对任意正数a、b，若ab，则必有( )Aaf（b）bf（a）Bbf（a）af（b）Caf（a）f（b）Dbf（b）f（a）12下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为( )Ae1e2e3Be1e2e3Ce2=e3e1De1=e3e2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20
4、分.13已知方程+y2=1表示的曲线是焦点在x轴上且离心率为的椭圆，则m=_14定义在R上的偶函数y=f（x），在的最小值22如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：+=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，OAB的面积为（）求抛物线C1的方程；（）过A点作直线l交C1于C、D 两点，射线OC、OD分别交C2于E、F两点，记OEF和OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1：S2=3：77？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题
5、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|xa|1，B=x|x25x+40，若AB=，则实数a的取值范围是( )AB（2，3）C【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】根据绝对值的性质和一元二次不等式的解法分别求出集合A和B，再根据AB=，说明集合A与集合B没有公共元素，从而进行求解；【解答】解：集合A=x|xa|1，B=x|x25x+40，A=x|a1xa+1B=x|x4或x1，AB=，解得2a3，故选B；【点评】此题主要考查交集和并集的定义，还考查绝对值的性质，解题过程中要理解空集的含义，此题是一道基础题；2设aR，则“a=1”是“直线l1：ax+2y1=0与直线l2
6、：x+（a+1）y+4=0平行”的( )A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】直线与圆【分析】把a=1代入可得直线的方程，易判平行；而由平行的条件可得a的值，进而由充要条件的判断可得答案【解答】解：当a=1时，直线l1：x+2y1=0与直线l2：x+2y+4=0，显然平行；而由两直线平行可得： a（a+1）2=0，解得a=1，或a=2，故不能推出“a=1”，由充要条件的定义可得：“a=1”是“直线l1：ax+2x1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件故选B【点评】本题为充要条件的判断，涉及
7、直线的平行的判定，属基础题3f（x）在x0处可导，a为常数，则=( )Af（x0）B2af（x0）Caf（x0）D0【考点】变化的快慢与变化率【专题】导数的概念及应用【分析】利用导数的定义即可得出【解答】解：=2a=2af（x0）故选：B【点评】本题考查了导数的定义，属于基础题4已知实数x，y满足axay（0a1），则下列关系式恒成立的是( )Ax3y3BsinxsinyCln（x2+1）ln（y2+1）D【考点】指数函数的图像与性质【专题】函数的性质及应用【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键【解答】解：实数x，y满足axay（0a1），xy，A当xy时
8、，x3y3，恒成立，B当x=，y=时，满足xy，但sinxsiny不成立C若ln（x2+1）ln（y2+1），则等价为x2y2成立，当x=1，y=1时，满足xy，但x2y2不成立D若，则等价为x2+1y2+1，即x2y2，当x=1，y=1时，满足xy，但x2y2不成立故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键5如果执行如图所示的程序，那么输出的值k=( )A3B4C5D6【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；分类讨论；试验法；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=2059时不满足条件S100，退出循
9、环，输出k的值为4【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S100，S=0+1=1，k=1满足条件S100，S=1+2=3，k=2满足条件S100，S=3+8=11，k=3满足条件S100，S=11+211=2059，k=4不满足条件S100，退出循环，输出k的值为4故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查6函数f（x）=2x39x2+12xa恰有两个不同的零点，则a可以是( )A3B4C6D7【考点】函数零点的判定定理【专题】函数的性质及应用【分析】由条件利用导数求得函数的极值，再结合三次函数的图象特征求得函数f（x）的零点有2个时a的值，从而得出
10、结论【解答】解：f（x）=2x39x2+12xa，f（x）=6x218x+12=6（x1）（x2），令f（x）=0，求得x=1，或 x=2在（，1）上，f（x）0，f（x）单调递增；在（1，2）上，f（x）0，f（x）单调递减；在（2，+）上，f（x）0，f（x）单调递增故f（1）=5a为函数f（x）的极大值；f（2）=4a为函数f（x）的极小值，故当a=4，或a=5时，函数f（x）的零点有2个，故选：B【点评】本题主要考查利用导数求函数的极值，函数的零点，三次函数的图象特征，属于中档题7若定义域为区间（2，1）的函数f（x）=log（2a3）（x+2），满足f（x）0，则实数a的取值范围是(
11、 )A（，2）B（2，+）C（，+）D（1，）【考点】对数函数的单调区间【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的定义域，结合对数函数的性质，解不等式即可得到结论【解答】解：定义域为区间（2，1）的函数f（x）=log（2a3）（x+2），2x1，0x+21，要使f（x）0，则02a31，即a2，故实数a的取值范围是（，2），故选：A【点评】本题主要考查不等式的解法，利用对数函数的图象和性质是解决本题的关键8下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )ABCD【考点】函数的单调性与导数的关系【专题】函数的性质及应用【分析】利用导数与函数之间的关系，函数的递增
12、区间即导函数为正的区间，函数的递减区间即导函数为负的区间，确定出正确答案【解答】解：根据f（x）0时，f（x）递增；f（x）0时，f（x）递减可得：中函数的图象从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；中函数的图象也是从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；所以可能正确而中函数的图象从左向右先减后增，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0，大于0；中函数的图象从左向右先增后减后，对应的导函数也是小于0，大于0，再小于0，大于0；所以可能错误故选：B【点评】本题利用图象考查了函数与其导函数的关系，要求能从图象上掌握函数与导函数的单调性的关系，是基础题9设
13、等差数列an的前n项和为Sn，若1a54，2a63，则S6的取值范围是( )ABCD【考点】数列的函数特性【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】利用等差数列的通项公式将已知条件中的不等式化成首项与公差满足的不等关系，利用不等式的性质及等差数列的前n项和公式求出前6项的和的范围【解答】解：a5=a1+4d，a6=a1+5d，所以1a1+4d4，2a1+5d3，S6=3（a1+a6）=6a1+15d分析可得，6a1+15d=15（a1+4d）9（a1+5d），故12S642故选：C【点评】本题主要考查等差数列前n项和公式的应用，利用不等式的性质解决问题时，一定要注意不等式
14、的两边同乘以一个负数，不等号要改变方向10已知抛物线C1：y=x2（p0）的焦点与双曲线C2：y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=( )ABCD【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2（p0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值【解答】解：由抛物线C1：y=x2（p0）得x2=2py（p0），所以抛物线的焦点坐标为F
15、（0，）由y2=1得a=，b=1，c=2所以双曲线的右焦点为（2，0）则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为由题意可知=，得x0=，代入M点得M（，）把M点代入得：解得p=故选：D【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题11f（x）是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足xf（x）+f（x）0，对任意正数a、b，若ab，则必有( )Aaf（b）bf（a）Bbf（a）af（b）Caf（a）f（b）Dbf（b）f（a）【考点】
16、导数的运算；利用导数研究函数的单调性【专题】压轴题【分析】先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决【解答】解：xf（x）+f（x）00函数F（x）=xf（x）在（0，+）上为常函数或递减，又0ab且f（x）非负，于是有：af（a）bf（b）0两式相乘得：af（b）bf（a），故选A【点评】本题的难点在对不等式的设计，需要经验更需要灵感12下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为( )Ae1e2e3Be1e2e3Ce2=e3e1De1=e3e2【考点】双曲线的简单性
17、质【专题】压轴题；分类讨论【分析】根据题设条件，分别建立恰当的平面直角坐标系，求出图示中的双曲线的离心率e1，e2，e3，然后再判断e1，e2，e3的大小关系【解答】解：设等边三角形的边长为2，以底边为x轴，以底边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（1，0），且过点（，），（，）到两个焦点（1，0），（1，0）的距离分别是和，c=1，正方形的边长为，分别以两条对角线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点坐标为（1，0）和（1，0），且过点（）点（）到两个焦点（1，0），（1，0）的距离分别是和，c=1，设正六边形的边长为2，以F1F1所在直线为x轴，以F1F1的
18、垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（2，0）和（2，0），且过点（1，），点（1，）到两个焦点（2，0）和（2，0）的距离分别为2和2，a=1，c=2，所以e1=e3e2故选D【点评】恰当地建立坐标系是正确解题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知方程+y2=1表示的曲线是焦点在x轴上且离心率为的椭圆，则m=【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由焦点在x轴上的椭圆的标准方程+y2=1，结合离心率列方程，即可求出m的值【解答】解：焦点在x轴上的椭圆方程+y2=1的离心率为，则a=1，b=1，c=，=，解得
19、m=则m的值是 故答案为：【点评】本题考查椭圆的简单性质，解题时要注意公式的合理运用14定义在R上的偶函数y=f（x），在【点评】本题主要考查了正弦定理得应用和三角函数中两角和公式的运用涉及了正弦函数的性质，考查了学生对三角函数知识的把握19已知等差数列an满足：an+1an（nN*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列bn的前三项（）分别求数列an，bn的通项公式an，bn；（）设，若恒成立，求c的最小值【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和【专题】综合题【分析】（）设d、q分别为数列an、数列bn的公差与公比，a1=1由题可
20、知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列bn的前三项，从而可得（2+d）2=2（4+2d），根据an+1an，可确定公差的值，从而可求数列an的通项，进而可得公比q，故可求bn的通项公式（）表示出，利用错位相减法求和，即可求得c的最小值【解答】解：（）设d、q分别为数列an、数列bn的公差与公比，a1=1由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列bn的前三项，（2+d）2=2（4+2d）d=2an+1an，d0d=2，an=2n1（nN*）由此可得b1=2，b2=4，q=2，
21、bn=2n（nN*）（），得=+2（+），Tn=3Tn+=32，满足条件恒成立的最小整数值为c=2【点评】本题以等差数列与等比数列为载体，考查数列通项公式的求解，考查数列与不等式的综合，考查错位相减法求数列的和，综合性强20如图1，在RtABC中，C=90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2（1）求证：DE平面A1CB；（2）求证：A1FBE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离；立体几何【分析】（
22、1）D，E分别为AC，AB的中点，易证DE平面A1CB；（2）由题意可证DE平面A1DC，从而有DEA1F，又A1FCD，可证A1F平面BCDE，问题解决；（3）取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC，平面DEQ即为平面DEP，由DE平面，P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，可证A1C平面DEP，从而A1C平面DEQ【解答】解：（1）D，E分别为AC，AB的中点，DEBC，又DE平面A1CB，DE平面A1CB（2）由已知得ACBC且DEBC，DEAC，DEA1D，又DECD，DE平面A1DC，而A1F平面A1DC，DEA1F，又A1FCD，A1F平面BCDE，A1FBE（3）线段A1B上
23、存在点Q，使A1C平面DEQ理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBCDEBC，DEPQ平面DEQ即为平面DEP由（）知DE平面A1DC，DEA1C，又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，A1CDP，A1C平面DEP，从而A1C平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ【点评】本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题21已知函数（aR）（） 讨论函数f（x）的单调性；（）当a0时，求函数f（x）在区间的最小值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】导数的综合
24、应用【分析】（）求出函数f（x）的导数，令导数大于0求出函数的增区间，令导数小于0，求出函数的减区间（）a0时，用导数研究函数f（x）在上的单调性确定出最小值，借助（）的结论，由于参数的范围对函数的单调性有影响，故对其分类讨论，【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+），（），（1）当a=0时，f（x）=x0，所以f（x）在定义域为（0，+）上单调递增； （2）当a0时，令f（x）=0，得x1=2a（舍去），x2=a，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下：此时，f（x）在区间（0，a）单调递减，在区间（a，+）上单调递增； （3）当a0时，令f（x）=0，得x1=2a，x2=a（舍去
25、），当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下：此时，f（x）在区间（0，2a）单调递减，在区间（2a，+）上单调递增（）由（）知当a0时，f（x）在区间（0，2a）单调递减，在区间（2a，+）上单调递增（1）当2ae，即时，f（x）在区间单调递减，所以，； （2）当12ae，即时，f（x）在区间（1，2a）单调递减，在区间（2a，e）单调递增，所以，（3）当2a1，即时，f（x）在区间单调递增，所以（13分）【点评】本题考查用导数研究函数的单调性，解题的键是理解并掌握函数的导数的符号与函数的单调性的关系，此类题一般有两类题型，一类是利用导数符号得出单调性，一类是由单调性得出导数的符号，本题
26、属于第一种类型本题的第二小问是根据函数在闭区间上的最值，本题中由于参数的存在，导致导数的符号不定，故需要对参数的取值范围进行讨论，以确定函数在这个区间上的最值22如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：+=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，OAB的面积为（）求抛物线C1的方程；（）过A点作直线l交C1于C、D 两点，射线OC、OD分别交C2于E、F两点，记OEF和OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1：S2=3：77？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析
27、】（）通过三角形OAB的面积，求出B的纵坐标，然后求出横坐标，代入抛物线的方程，求出p，即可得到抛物线方程（） 存在直线l：x11y4=0符合条件通过设直线l的方程x=my+4，与抛物线联立，设C（x1，y1），D（x2，y2），通过，求出，然后求出m，得到直线l即可【解答】解：（）因为OAB的面积为，所以，代入椭圆方程得，抛物线的方程是：y2=8x（） 存在直线l：x11y4=0符合条件解：显然直线l不垂直于y轴，故直线l的方程可设为x=my+4，与y2=8x联立得y28my32=0设C（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=8m，y1y2=32=由直线OC的斜率为，故直线OC的方程为，与联立得，同理，所以可得要使，只需即121+48m2=49121解得m=11，所以存在直线l：x11y4=0符合条件【点评】本题考查圆锥曲线方程的综合应用，考查分析问题以及转化思想的应用，考查计算能力- 20 -