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1、2015-2016学年江西省抚州市临川二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1对于集合A=x|0x2，B=y|0y3，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是( )ABCD2某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是( )A13B14C15D163已知幂函数过点（2，），则当x=8时的函数值是( )A2BC2D644把函数y=ex的图象按向量=（2，0）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=( )Aex+2Bex2Cex+2Dex25命题“a和b都不是奇数”的否定是( )Aa和b至
2、少有一个奇数Ba和b至多有一个是奇数Ca是奇数，b不是奇数Da和b都是奇数6设xR，定义符号函数sgnx=，则( )A|x|=x|sgnx|B|x|=xsgn|x|C|x|=|x|sgnxD|x|=xsgnx7已知函数y=sin（x+）（0，0），且此函数的图象如图所示，由点P（，）的坐标是( )A（2，）B（2，）C（4，）D（4，）8设变量x，y满足|x|+|y|1，则x+2y的最大值和最小值分别为( )A1，1B2，2C1，2D2，19下列几个命题中，真命题是( )Al，mn是空间的三条不同直线，若ml，nl，则mnB，是空间的三个不同平面，若，则C两条异面直线所成的角的范围是（0，）D
3、两个平面相交但不垂直，直线m，则在平面内不一定存在直线与m平行，但一定存在直线与垂直10已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=( )A1BCD11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A（5+）BC（10+）D（5+2）12函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2D，当x1x2时都有f（x1）f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在上为非减函数，且满足以下条件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1x）=1f（x），则f（）+f（）=( )ABC1D二、填空题（本大题有4小题，每
4、小题5分，共20分）13定义某种运算，S=ab的运算原理如图，则式子63+34=_14等差数列an中，已知a1+a2=，a3+a4=1，则a13+a14的值为_15已知a0，b0，若不等式总能成立，则m的最大值是_16定义在R上的函数y=ln（x2+1）+|x|，满足f（2x1）f（x+1），则x的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题，共70分）17已知函数f（x）=sinx2sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最小值18已知命题p：xA，且A=x|a1xa+1，命题q：xB，且B=x|x24x+30（）若AB=，AB=R，求实数a的值；（）若p是q的充分条件，求
5、实数a的取值范围19把一颗骰子连续投掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y（1）求投掷两次所得点数之和能被4整除的概率；（2）设向量=（x，y），=（2，1），求的概率20如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（1）证明BC1平面A1CD（2）设AA1=AC=CB=2，AB=2，求三菱锥CA1DE的体积21已知圆C在x轴上的截距为1和3，在y轴上的一个截距为1（1）求圆C的标准方程；（2）若过点的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角22已知正项数列an的前n项和为Sn，a1=，且满足2Sn+1=4Sn+1（nN*）（）求数列an的通项公式
6、；（）当1in，1jn（i，j，n均为正整数）时，求ai和aj的所有可能的乘积aiaj之和2015-2016学年江西省抚州市临川二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1对于集合A=x|0x2，B=y|0y3，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是( )ABCD【考点】函数的概念及其构成要素【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用【分析】直接根据函数的定义，逐个考察各选项便可得出结果【解答】解：根据函数的定义，逐个考察各选项：对于A：不能构成，因为集合A中有一部分元素（靠近x=2）并没有函数值，所以符合函数定义；对于B：不能构成，因为集合A中的一个元
7、素（如x=2）与集合B中的两个元素对应，不符合函数定义；对于C：不能构成，因为集合A中的一个元素（如x=1）与集合B中的两个元素对应，不符合函数定义；对于D：能够构成，因为集合A中的每个元素都只与集合B中某一个元素对应，符合函数定义故选D【点评】本题主要考查了函数的概念，以及运用图象判断变量之间是否具有函数关系，属于基础题2某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是( )A13B14C15D16【考点】茎叶图【专题】概率与统计【分析】把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，求出中位数即可【解答】解：根据茎叶图中的数据，把这组数
8、据按照从小到大的顺序排列为5，8，10，14，16，16，20，23；这组数据的中位数是=15故选：C【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数的应用问题，是基础题目3已知幂函数过点（2，），则当x=8时的函数值是( )A2BC2D64【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】数形结合；待定系数法；函数的性质及应用【分析】设出幂函数的解析式，用待定系数法求出函数的解析式，再计算对应的函数值【解答】解：设幂函数y=x，其图象过点（2，），2=，解得=，函数y=，当x=8时，函数y=2故选：A【点评】本题考查了求函数的解析式与利用函数解析式求值的应用问题，是基础题目4把函数y=ex的图象
9、按向量=（2，0）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=( )Aex+2Bex2Cex+2Dex2【考点】指数函数的图像变换【专题】应用题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】由题设条件知，函数图象沿向量右移了2个单位，问题得以解决【解答】解：函数y=ex的图象按向量=（2，0）平移得到f（x）=ex2，故选：D【点评】本题主要考查函数按向量方向的平移首先确定向量的方向，然后按照左加右减的原则进行平移5命题“a和b都不是奇数”的否定是( )Aa和b至少有一个奇数Ba和b至多有一个是奇数Ca是奇数，b不是奇数Da和b都是奇数【考点】命题的否定【专题】计算题；规律型；简易逻辑【分析】
10、直接利用否定的定义，写出结果即可【解答】解：命题“a和b都不是奇数”的否定是：a和b至少有一个奇数故选：A【点评】本题考查的知识点是命题的否定，全（特）称命题是新教材的新增内容，其中全（特）称命题的否定是本考点的重要考查形式6设xR，定义符号函数sgnx=，则( )A|x|=x|sgnx|B|x|=xsgn|x|C|x|=|x|sgnxD|x|=xsgnx【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【分析】去掉绝对值符号，逐个比较即可【解答】解：对于选项A，右边=x|sgnx|=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项B，右边=xsgn|x|=，而左边=|x|=，显然不正确
11、；对于选项C，右边=|x|sgnx=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项D，右边=xsgnx=，而左边=|x|=，显然正确；故选：D【点评】本题考查函数表达式的比较，正确去绝对值符号是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题7已知函数y=sin（x+）（0，0），且此函数的图象如图所示，由点P（，）的坐标是( )A（2，）B（2，）C（4，）D（4，）【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】计算题【分析】先利用函数图象计算函数的周期，再利用周期计算公式解得的值，再将点（，0）代入函数解析式，利用五点作图法则及的范围求得值，最后即可得点P（，）的坐标【解答】解：由图
12、象可得函数的周期T=2（）=，得=2，将（，0）代入y=sin（2x+）可得sin（+）=0，+=+2k （注意此点位于函数减区间上）=+2k，kZ由0可得=，点（，）的坐标是（2，），故选B【点评】本题主要考查了y=Asin（x+）型函数的图象和性质，利用函数的部分图象求函数解析式的方法，五点作图法画函数图象的应用8设变量x，y满足|x|+|y|1，则x+2y的最大值和最小值分别为( )A1，1B2，2C1，2D2，1【考点】简单线性规划【专题】计算题【分析】根据零点分段法，我们易得满足|x|+|y|1表示的平面区域是以（1，0），（0，1），（1，0），（0，1）为顶点的正方形，利用角点法
13、，将各顶点的坐标代入x+2y然后进行比较，易求出其最值【解答】解：约束条件|x|+|y|1可化为：其表示的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时x+2y取最大值2当x=0，y=1时x+2y取最小值2故选B【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，画出满足条件的可行域及各角点的坐标是解答线性规划类小题的关键9下列几个命题中，真命题是( )Al，mn是空间的三条不同直线，若ml，nl，则mnB，是空间的三个不同平面，若，则C两条异面直线所成的角的范围是（0，）D两个平面相交但不垂直，直线m，则在平面内不一定存在直线与m平行，但一定存在直线与垂直【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分
14、析】由垂直于同一条直线的两直线的位置关系判断A；由垂直于同一平面的两平面的位置关系判断B；由异面直线所成角的范围判断C；设平面、的交线为n，当m与n不平行时内不存在直线与m平行，但不论m在内的位置如何，由两个平面相交但不垂直，可知m在平面内的射影直线存在，平面内垂直于m在内射影的直线必与m垂直【解答】解：由ml，nl，可得m，n的位置关系有三种，平行、相交和异面，选项A不正确；由，可得或与相交，选项B不正确；两条异面直线所成的角的范围是（0，选项C不正确；两个平面、相交但不垂直，设交线为n，直线m，只有当mn时，在平面内存在直线与m平行，否则在平面内不存在直线与m平行；但平面内垂直于m在内射影
15、的直线必与m垂直选项D正确故选：D【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与直线，平面与平面间的位置关系，考查了学生的空间思维和想象能力，是中档题10已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=( )A1BCD【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】根据条件求出B=，再利用余弦定理解决即可【解答】解：A+C=2B，A+C+B=3B=，则B=，则b2=a2+c22accosB，即3=1+c22c，即c2c2=0，解得c=2或c=1（舍），则a2+b2=c2即ABC为直角三角形，C=，即sinC=1故选：A【点评】本题主要考查解
16、三角形的应用，根据余弦定理是解决本题的关键11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A（5+）BC（10+）D（5+2）【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由三视图可知这是一个圆柱，上面挖去一个小圆锥的几何体，由图中所提供的数据进行计算即可得到所求的表面积选出正确选项【解答】解：由三视图可知这是一个圆柱，上面挖去一个小圆锥的几何体，圆柱的底面积为，圆柱的侧面积为22=4，圆锥的母线长为，侧面积为，所以总的侧面积为，故选A【点评】本题考查简单几何体的三视图，此类题的关键是能由实物图得到正确的三视图或者由三视图可准确还原实物图12函数f（x）的定义域
17、为D，若对于任意x1，x2D，当x1x2时都有f（x1）f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在上为非减函数，且满足以下条件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1x）=1f（x），则f（）+f（）=( )ABC1D【考点】函数单调性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】由条件（1）（3）分别令x=1，x=，可得f（1）=1，f（）=，结合条件（2）可得f（），f（）=f（）结合由f（x）在上为非减函数，可得：f（）=【解答】解：f（0）=0，f（1x）=1f（x），令x=1，则f（0）=1f（1），解得f（1）=1，令x=，则f（）=1f（），解得：f（）
18、=又f（）=f（x），f（）=f（1）=，f（）=f（）=，f（）=f（）=，又由f（x）在上为非减函数，故f（）=，故f（）+f（）=，故选：A【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，以及对新定义的理解，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13定义某种运算，S=ab的运算原理如图，则式子63+34=20【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；分类讨论；算法和程序框图【分析】通过程序框图判断出S=ab的解析式，求出63+34的值【解答】解：有框图知S=ab=，63+34=6（31）+4（31）=20故答案为：20【点评】新定义题是近几年常
19、考的题型，要重视解决新定义题关键是理解题中给的新定义14等差数列an中，已知a1+a2=，a3+a4=1，则a13+a14的值为【考点】等差数列的通项公式【专题】方程思想；待定系数法；等差数列与等比数列【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组代入计算可得【解答】解：设等差数列an的公差为d，则a1+a2=2a1+d=，a3+a4=2a1+5d=1，联立解得a1=，d=，a13+a14=2a1+25d=，故答案为：【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题15已知a0，b0，若不等式总能成立，则m的最大值是9【考点】基本不等式【专题】计算题【分析】由不等式恒成立，可得m=5+恒成立，只要
20、求出的最小值即可求解【解答】解：a0，b0，2a+b0不等式恒成立，m=5+恒成立m9故答案为：9【点评】本题主要考查了恒成立问题与最值的求解的相互转化，解题的关键是配凑基本不等式成立 的 条件16定义在R上的函数y=ln（x2+1）+|x|，满足f（2x1）f（x+1），则x的取值范围是x2或x0【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：函数y=ln（x2+1）+|x|为偶函数，且在x0时，函数单调递增，f（2x1）f（x+1）等价为f（|2x1|）f（|x+1|），即|2x1|x+1|，平方得3x26
21、x0，即x2或x0；故答案为：x2或x0；【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用三、解答题（本大题共6小题，共70分）17已知函数f（x）=sinx2sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最小值【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值【专题】三角函数的图像与性质【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+），由三角函数的周期性及其求法即可得解；（2）由x，可求范围x+，即可求得f（x）的取值范围，即可得解【解答】解：（1）f（x）=sinx2sin2=sinx2=sinx+c
22、osx=2sin（x+）f（x）的最小正周期T=2；（2）x，x+，sin（x+），即有：f（x）=2sin（x+），可解得f（x）在区间上的最小值为：【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查18已知命题p：xA，且A=x|a1xa+1，命题q：xB，且B=x|x24x+30（）若AB=，AB=R，求实数a的值；（）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围【考点】充分条件；集合关系中的参数取值问题【专题】计算题；阅读型【分析】（）把集合B化简后，由AB=，AB=R，借助于数轴列方程组可解a的值；（）把p是q的充分条件转化为集
23、合A和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围【解答】解：（）B=x|x24x+30=x|x1，或x3，A=x|a1xa+1，由AB=，AB=R，得，得a=2，所以满足AB=，AB=R的实数a的值为2；（）因p是q的充分条件，所以AB，且A，所以结合数轴可知，a+11或a13，解得a0，或a4，所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（，0由AA1=AC=CB=2，得ACB=90，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DEA1D所以三菱锥CA1DE的体积为：=1【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三菱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间
24、思维能力的培养21已知圆C在x轴上的截距为1和3，在y轴上的一个截距为1（1）求圆C的标准方程；（2）若过点的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角【考点】直线和圆的方程的应用；直线的斜率；圆的标准方程【专题】计算题【分析】（1）由圆心公式求得圆心应该在x=1这条直线上 设：圆心为（1，y）进而根据到（1，0）的距离=到（0，1）的距离求得y，则圆心可知，根据点与点之间的距离公式求得圆的半径，则圆的方程可得（2）先看直线斜率不存在时，求得弦长为4符合题意，此时倾斜角为90在看直线斜率存在时，设出直线方程，根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而求得斜率k，则直线的倾斜角可求【解
25、答】解：（1）由圆心公式：（x1+x2）=（1+3）=1圆心应该在x=1这条直线上 设：圆心为（1，y），到（1，0）的距离=到（0，1）的距离：（1+1）2+y2=12+（y1）2解得y=1 圆心为（1，1）r2=（1+1）2+y2=4+1=5 圆的方程为：（x1）2+（y+1）2=5（2）当直线斜率不存在时即直线与x轴垂直时，把x=2代入圆方程求得y=1或3，|AB|=1+3=4符合题意当直线斜率存在时，设直线方程为y+1=k（x2）由直线l被圆C截得的弦AB的长为4，圆的半径为可求得圆心到直线的距离为=1圆心到直线的距离d=1求得k=倾斜角的正切为，倾斜角为30【点评】本题主要考查了圆与
26、直线方程的应用考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式22已知正项数列an的前n项和为Sn，a1=，且满足2Sn+1=4Sn+1（nN*）（）求数列an的通项公式；（）当1in，1jn（i，j，n均为正整数）时，求ai和aj的所有可能的乘积aiaj之和【考点】数列递推式【专题】综合题；点列、递归数列与数学归纳法【分析】（）由2Sn+1=4Sn+1，再写一式，两式相减，确定数列an是首项为，公比为2的等比数列，即可求出an（）由ai和aj的所有可能乘积aiaj=2i+j（1ijn）可构成下表：21+14，21+24，21+34，21+n4，22+14，22+24，22+n4，2n+14，2n+24，2n+3，2n+n4，即可求ai和aj的所有可能的乘积aiaj之和Tn【解答】解：（），两式相减得an+1=2an，由2S2=4S1+1得2（a1+a2）=4a1+1，又，数列an是首项为，公比为2的等比数列，（）由ai和aj的所有可能乘积（1in，1jn） 可构成下表：21+14，21+24，21+34，21+n4，22+14，22+24，22+n4，2n+14，2n+24，2n+3，2n+n4，设上表第一行的和为T1，则于是+2n1）=【点评】考查等差数列、等比数列、不等式的证明、数列的求和等知识，考查推理论证能力和运算求解能力和化归转化数学思想- 20 -