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1、考点4 导数与函数极值、最值题型十七 求极值及极值点【例17-1】函数的极小值点为_【答案】2【解析】因为，所以，令，得，所以当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；所以在时取得极小值，故填：2.【例17-2】函数的极大值为_【答案】【解析】依题意得.所以当时，；当时，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.所以当时，函数有极大值故答案为：.【变式练习17-1】设函数，则的极大值点和极小值点分别为（ ）A2，2B2，2C5，3D5，3【答案】A【解析】易知函数定义域是，由题意，当或时，当或时，在和上递增，在和上递减，极大值点是2，极小值点是2故选：A【变式练习17-2】
2、已知函数.求的单调区间和极值；【答案】单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为【解析】，定义域为，.令，解得或；令，解得.所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，函数的极大值为，极小值为；题型十八 已知极值求参数值（范围）【例18-1】已知函数在处取得极值，则（ ）A1B2CD-2【答案】C【解析】，依题意，即.此时，所以在区间上递增，在区间上递减，所以在处取得极大值，符合题意.所以.故选：C【例18-2】若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围为 。【答案】【解析】函数则因为函数在上有且仅有一个极值点即在上有且仅有一个零点根据函数零点存在定理可知满足即可代入可得解得
3、【例18-3】已知函数f(x)x(lnxax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A(，0)BC(0,1)D(0，)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnxax），则f（x）=lnxax+x（a）=lnx2ax+1，令f（x）=lnx2ax+1=0得lnx=2ax1，函数f（x）=x（lnxax）有两个极值点，等价于f（x）=lnx2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0a时，y=lnx与y=2ax1的图象有两个交点则实数a的取值范围是（0，）故选B【变
4、式练习18-1】已知函数f（x）ax3+bx+c在x2处取得极值为c16.求a、b的值；【答案】【解析】因 ，故，由于 在点处取得极值，故有，即 ，解得；【变式练习18-2】若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题可得：，因为函数恰有两个极值点，所以函数有两个不同的零点.令，等价转化成有两个不同的实数根，记：，所以，当时，此时函数在此区间上递增，当时，此时函数在此区间上递增，当时，此时函数在此区间上递减，作出的简图如下：要使得有两个不同的实数根，则，即：，整理得：.故选D【变式练习18-3】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 。【答案】【解析】由题意有
5、两个不等实根，设，当时，递增，当时，递减，时，为极大值也是最大值，时，且，当时，所以当，即时，直线与的图象有两个交点，即有两个不等实根【变式练习18-4】若函数无极值点则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】,，由函数无极值点知，至多1个实数根，解得，实数a的取值范围是，故选：B题型十九 讨论函数的极值【例19-1】已知函数求的极值；【解析】函数的定义域为，当时，恒成立，则在上是减函数，无极值；当时，令，解得，则在上是减函数，在上是增函数，所以当时，有极小值，无极大值，综上，当时，无极值，当时，有极小值，无极大值；【例19-2】已知函数.讨论函数的极值点；【解析】时，在单减，单增，
6、极小值点为；时，在单增，单减，单增，极小值点为，极大值点为；时，在单增，无极值点；时，在单增，单减，单增，极小值点为，极大值点为.【变式练习19】已知函数；讨论的极值点的个数；【答案】当a0时，f（x）无极值点；当a0时，函数y=f（x）有一个极大值点，无极小值点；(2)见解析【解析】根据题意可得，当时，函数是减函数，无极值点；当时，令，得，即，又在上存在一解，不妨设为，所以函数在上是单调递增的，在上是单调递减的.所以函数有一个极大值点，无极小值点；总之：当时，无极值点；当时，函数有一个极大值点，无极小值点.题型二十 求函数的最值【例20-1】已知函数f（x）=x2（x-1）求f（x）在区间-
7、1，2上的最大值和最小值【答案】最大值，最小值【解析】知是的极大值点，是的极小值点，所以极大值，极小值，又，所以最大值，最小值【例20-2】函数在区间上的最大值是（）ABCD【答案】B【解析】函数，令，解得函数在内单调递增，在内单调递减时函数取得极大值即最大值故选B【变式练习20-1】已知函数().若，求在上的最小值和最大值；【答案】最小值是，最大值是；【解析】，由得，解得，令，即，解得或，极小值在上的最小值是，最大值是；【变式练习20-2】已知函数.求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】最大值为，最小值为.【解析】设，则，当时，所以在区间上单调递减，所以对任意有，即，所以函数在区间上单调递
8、减，因此在区间上的最大值为，最小值为.题型二十一 已知最值求参数值（范围）【例21-1】设函数（）.若函数在区间上的最小值是4，求a的值.【答案】【解析】当时，函数在R上单调递增，函数在上的最小值为，即，矛盾.当时，由（1）得是函数在R上的极小值点.当即时，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即，符合条件.当即时，函数在上单调递减，则函数的最小值为即，矛盾.当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即.令（），则，在上单调递减，而，在上没有零点，即当时，方程无解.综上，实数a的值为.【例21-2】若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是 。【答案】【解析】对函数进行求导，
9、得，当，当或时，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在处函数取得极小值，因为函数在端点处的函数值无法取到，所以区间内必存在极小值点，且此极小值点为最小值，因此，解得，又因为，即函数在时的函数值与处的极小值相同，为了保证在区间上最小值在取到，所以，综上，.【例21-3】已知函数，若时，在处取得最大值，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】，令，时，在单调递增；时，在单调递减.如图，当时，在上单调递增，不成立；当时，在上单调增减，成立；当时，有两个根，当时，；当时，；当时，在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立.综上，.故选：A【变式练习21-1】函数在，上最大
10、值为2，最小值为0，则实数取值范围为（ ）A，B，C，D【答案】A【解析】. ，令，则或(舍负)，当时，单调递增；当时，单调递减.函数在，上最大值为2，最小值为0，且，（1），.故选：A.【变式练习21-2】函数在内有最小值，则的取值范围为()ABCD【答案】B【解析】函数f（x）=x33axa在（0，1）内有最小值，f（x）=3x23a=3（x2a），若a0，可得f（x）0，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在x=0处取得最小值，显然不可能，若a0，f（x）=0解得x=，当x，f（x）为增函数，0x为减函数，f（x）在x=处取得极小值，也是最小值，所以极小值点应该在（0，1）内，符合要
11、求综上所述，a的取值范围为（0，1）故答案为B【变式练习21-3】若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是 。【答案】【解析】由题 ，令解得；令解得由此得函数在 上是减函数，在 上是增函数，故函数在处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（上的最小值 解得 又当 时，故有综上知【变式练习21-4】已知函数，若在上既有极大值，又有最小值，且最小值为，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】的零点为和1，因为，所以1是函数的极小值即最小值点，则是函数的极大值点，所以，且，解得.故选：C.题型二十二 讨论函数的最值【例22】已知函数求在上的最大值【解析】当时， 在上是减函数，所以当时，有最大
12、值；当时，在上是减函数，在上是增函数，（i）当，即时，在上是增函数，所以当时，有最大值；（ii）当即时，在上是减兩数，在上是增函数.若，即时，有最大值；若，即时，有最大值；（）当即时，在上是减函数，所以当时，有最大值，综上所述，当时，有最大值；当时，有最大值.【变式练习22】已知函数求函数在区间上的最小值【答案】【解析】 令，得或 当时，不论还是，在区间上，均为增函数所以； 当时，0极小值所以； 当时，1所以综上，题型二十三 导数的简单综合应用【例23-1】已知函数，则（ ）A的单调递减区间为B的极小值点为1C的极大值为D的最小值为【答案】C【分析】先对函数求导，令，再利用导数判断其单调性，而
13、，从而可求出的单调区间和极值【详解】.令，则，所以在上单调递减.因为，所以当时，；当时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为，故的极大值点为1，的极大值为故选：C【例23-2】（多选题）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A是的极值点B导函数在处取得极小值C函数在区间上单调递减D导函数在处的切线斜率大于零【答案】BCD【分析】由图象知在上单调递减，知A错误；在上单调递减，在上单调递增，由极值的定义知B正确；由在上恒成立可知C正确；由的单调性和在处切线斜率不等于零可知D正确.【详解】对于A，由图象可知：当时，恒成立，在上单调递减，不是的极值点，A错误；对于B，由图象可知：在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，B正确；对于C，由图象可知：当时，恒成立，在上单调递减，在上单调递减，C正确；对于D，在上单调递增，在上恒成立；又由图象可知：在处的切线斜率不等于零，即，在处的切线斜率大于零，D正确.故选：BCD