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1、2015-2016学年四川省成都市邛崃市高埂中学高一（上）第二次月考数学试卷一.选择题（每小题5分，满分60分）1已知集合A=1，2，集合B满足AB=1，2，3，则集合B有( )个A1B2C3D42下列函数中与函数y=x相等的函数是( )Ay=（）2By=Cy=2Dy=log22x3函数f（x）=的定义域为( )A2，0）（0，2B2，2C（1，2D（1，0）（0，24若a=20.1，b=0.12，c=log20.1，则( )AabcBbacCcabDbca5方程exx=2在实数范围内的解有( )个A0B1C2D36若奇函数f（x）在2，4上为增函数，且有最小值0，则它在4，2上( )A是减函
2、数，有最小值0B是增函数，有最小值0C是减函数，有最大值0D是增函数，有最大值07设函数，则f（f（1）的值为( )A1BC1D28已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=3，则f（2）=( )A7B7C5D59若幂函数在（0+）上为减函数，则实数a的取值范围是( )A（，1）（3，+）B（1，3）C（，13，+）D1，310计算log225log32log59的结果为( )A3B4C5D611设函数f（x）=xlnx（x0），则y=f（x）( )A在区间（，1），（l，e）内均有零点B在区间（，1），（l，e）内均无零点C在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点D在区间（，1）
3、内有零点，在区间（l，e）内无零点12若当xR时，函数f（x）=a|x|始终满足0|f（x）|1，则函数y=loga|的图象大致为( )ABCD二.填空题（每小题5分，满分20分）13已知函数f（x）=2ax1+3，（a0且a1），则其图象一定过定点_14函数f（x）=x3x+2n，xR为奇函数，则n的值为_15若定义在区间（1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1）满足f（x）0，则a的取值范围是_16对于实数x，符号x表示不超过x的最大整数，例如=3，1.08=2，定义函数f（x）=xx，则下列命题中正确的是_（填题号）函数f（x）的最大值为1； 函数f（x）的最小值为0；函数有无数个
4、零点； 函数f（x）是增函数三.解答题（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分）17已知集合（）求AB，（RA）B；（）若AC=C，求实数m的取值范围18计算：（1）；（2）已知x+x1=4，求x2+x24的值19已知函数为奇函数（）求f（1）以及实数m的值；（）写出函数f（x）的单调递增区间；（）若f（a）=1，求a的值20当x满足log（3x）2时，求函数f（x）=4x21x+1的最值及相应的x的值21廊坊市某所中学有一块矩形空地，学校要在这块空地上修建一个内接四边形的花坛（如图所示），该花坛的四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知 A B=a（a2），BC=2，且 A
5、 E=A H=CF=CG，设 A E=x，花坛面积为y（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当 A E为何值时，花坛面积y最大？22定义在（0，+）上的函数f（x），对于任意的m，n（0，+），都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，当x1时，f（x）0（1）求证：1是函数f（x）的零点；（2）求证：f（x）是（0，+）上的减函数；（3）当时，解不等式f（ax+4）12015-2016学年四川省成都市邛崃市高埂中学高一（上）第二次月考数学试卷一.选择题（每小题5分，满分60分）1已知集合A=1，2，集合B满足AB=1，2，3，则集合B有( )个A1B2C3D4【考点】并
6、集及其运算 【专题】计算题【分析】根据题意，分析可得集合B必须有元素3，可能有元素1或2，进而可得集合B可能的情况，即可得答案【解答】解：根据题意，由A=1，2且AB=1，2，3，则集合B必须有元素3，可能有元素1或2，故B可能为3）或1，3或2，3或1，2，3，即满足条件的集合B有4个，故选D【点评】本题考查集合的并集及其运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化2下列函数中与函数y=x相等的函数是( )Ay=（）2By=Cy=2Dy=log22x【考点】判断两个函数是否为同一函数 【专题】函数的性质及应用【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的函数是同
7、一函数，进行判断即可【解答】解：对于A，y=x（x0），与y=x（xR）的定义域不同，不是相等函数；对于B，y=|x|（xR），与y=x（xR）的对应关系不同，不是相等函数；对于C，y=x（x0），与y=x（xR）的定义域不同，不是相等函数；对于D，y=log22x=x（xR），与y=x（xR）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数故选：D【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题3函数f（x）=的定义域为( )A2，0）（0，2B2，2C（1，2D（1，0）（0，2【考点】函数的定义域及其求法 【专题】函数的性质及应用
8、【分析】利用被开方数非负，分母不为0，对数的真数大于0【解答】解：要使函数f（x）=有意义，可得，解得：x（1，0）（0，2故选：D【点评】本题考查函数的定义域的求法，考查计算能力4若a=20.1，b=0.12，c=log20.1，则( )AabcBbacCcabDbca【考点】对数值大小的比较 【专题】应用题；函数思想；分析法；函数的性质及应用【分析】根据对数指数的性质可得c=log20.10，0b=0.121，a=20.11于是问题解决【解答】解：c=log20.10，0b=0.121，a=20.11，aba故选：A【点评】本题考查大小的比较，关键在于掌握初等基本函数的性质，将a、b、c与
9、0与1比较，属于基础题5方程exx=2在实数范围内的解有( )个A0B1C2D3【考点】根的存在性及根的个数判断 【专题】作图题；数形结合；转化思想；函数的性质及应用【分析】作函数y=ex与y=x+2的图象，从而化方程的解的个数为函数的图象的交点的个数【解答】解：作函数y=ex与y=x+2的图象如下，函数y=ex与y=x+2的图象有两个交点，故方程exx=2在实数范围内有两个解，故选C【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用6若奇函数f（x）在2，4上为增函数，且有最小值0，则它在4，2上( )A是减函数，有最小值0B是增函数，有最小值0C是减函数，
10、有最大值0D是增函数，有最大值0【考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】根据题意得任意的x2，4，有f（x）f（2）恒成立，从而对x4，2都有f（x）f（2）恒成立，由函数为奇函数得对任意的x4，2有f（x）f（2）=0恒成立由此可得答案【解答】解：奇函数y=f（x）在区间2，4上是增函数，f（x）在区间4，2上也是增函数函数y=f（x）在区间2，4上是增函数，有最小值0，当2x4时，f（x）min=f（2）=0，即任意的x2，4，f（x）f（2）恒成立又x4，2时，x2，4，得f（x）f（2）恒成立，根据函数为奇函数，得f（x）f（2）即f（x）f（2），f（2
11、）=f（2）=0，对任意的x4，2，f（x）f（2）=0恒成立，因此，f（x）在区间4，2上为增函数且有最大值f（2）=0故选：D【点评】本题给出函数在某个区间上的奇偶性与单调性，求它在关于原点对称区间上的单调性与最值着重考查了函数的奇偶性和单调性及其相互关系等知识，属于中档题7设函数，则f（f（1）的值为( )A1BC1D2【考点】分段函数的应用 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由分段函数，先求f（1），再由分段函数的第二段，运用对数的性质求得f（）=1【解答】解：函数，可得f（1）=31=，f（）=|log3|=|1|=1则f（f（1）=1故选C【点评】本题考查分段函数的运用：求函
12、数值，注意运用各段的解析式，考查运算能力，属于基础题8已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=3，则f（2）=( )A7B7C5D5【考点】函数奇偶性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】根据已知条件即可得到f（2）2=f（2）+2=5，所以得出f（2）=7【解答】解：f（2）+2=5；y=f（x）+x是偶函数；f（2）2=f（2）+2=5；f（2）=7故选B【点评】考查偶函数的定义，要看清条件f（2）=3，而不是f（2）+2=39若幂函数在（0+）上为减函数，则实数a的取值范围是( )A（，1）（3，+）B（1，3）C（，13，+）D1，3【考点】指数函数的单调性与特殊点 【专题】计
13、算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据幂函数的性质可知，若幂函数f（x）=xa在（0，+）上是减函数，则a0，从而得出答案【解答】解：根据幂函数的性质可知，a22a30解得1a3，故实数a的取值范围是（1，3）故选：B【点评】本题主要考查幂函数的单调性以及等价转化思想，幂函数的概念、性质以及等价转化思想本题用到的技巧与方法：熟记几种特殊的幂函数的图象10计算log225log32log59的结果为( )A3B4C5D6【考点】对数的运算性质 【专题】计算题【分析】由换底公式我们可将log225log32log59转化为以一个以10为底的对数，再利用对数运算性质log（an）Nm=
14、logaN，易求结果【解答】解：原式=6故答案为D【点评】本题考查的知识点是对数的运算性质，换底公式，熟练掌握对数的运算性质及换底公式及其推论是解答对数化简求值类问题的关键11设函数f（x）=xlnx（x0），则y=f（x）( )A在区间（，1），（l，e）内均有零点B在区间（，1），（l，e）内均无零点C在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点D在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理 【专题】导数的概念及应用【分析】先对函数f（x）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案【解答】解：由题得，令f（x）0得
15、x3；令f（x）0得0x3；f（x）=0得x=3，故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+）为增函数，在点x=3处有极小值1ln30；又，故选C【点评】本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减12若当xR时，函数f（x）=a|x|始终满足0|f（x）|1，则函数y=loga|的图象大致为( )ABCD【考点】函数的图象 【专题】函数的性质及应用【分析】由于当xR时，函数f（x）=a|x|始终满足0|f（x）|1，利用指数函数的图象和性质可得0a1先画出函数y=loga|x|的图象，此函数是偶函数，当x
16、0时，即为y=logax，而函数y=loga|=loga|x|，即可得出图象【解答】解：当xR时，函数f（x）=a|x|始终满足0|f（x）|1因此，必有0a1先画出函数y=loga|x|的图象：黑颜色的图象而函数y=loga|=loga|x|，其图象如红颜色的图象故选B【点评】本题考查指数函数与对数函数的图象及性质，属于难题二.填空题（每小题5分，满分20分）13已知函数f（x）=2ax1+3，（a0且a1），则其图象一定过定点（1，5）【考点】指数函数的单调性与特殊点 【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】由a0=1可得，令x1=0，从而解得【解答】解：令x1=0，则x
17、=1，此时y=2+3=5，则其图象一定过定点（1，5）故答案为：（1，5）【点评】本题考查了指数函数的定点问题，也是恒成立问题，属于基础题14函数f（x）=x3x+2n，xR为奇函数，则n的值为0【考点】函数奇偶性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】根据题意可得f（x）=f（x），即 （x）3（x）+2n=x3x+2n，由此求得n的值【解答】解：函数f（x）=x3x+2n，xR为奇函数，f（x）=f（x），即 （x）3（x）+2n=x3x+2n，解得n=0，故答案为 0【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题15若定义在区间（1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1）满足f（
18、x）0，则a的取值范围是（0，）【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点 【专题】函数的性质及应用【分析】利用指数函数的单调性即可得出【解答】解：x（1，0），0x+11又f（x）0，02a1，a的取值范围是故答案为：【点评】本题考查了指数函数的单调性，属于基础题16对于实数x，符号x表示不超过x的最大整数，例如=3，1.08=2，定义函数f（x）=xx，则下列命题中正确的是（填题号）函数f（x）的最大值为1； 函数f（x）的最小值为0；函数有无数个零点； 函数f（x）是增函数【考点】命题的真假判断与应用 【分析】本题考查的是取整函数问题在解答时要先充分理解x的含义，从而可知
19、针对于选项注意对新函数的最值、单调性以及周期性加以分析即可，注意反例的应用【解答】解：函数f（x）=xx，函数f（x）的最大值小于1，故不正确；函数f（x）的最小值为0，故正确；函数每隔一个单位重复一次，所以函数有无数个零点，故正确；函数f（x）有增有减，故不正确故答案为：【点评】本题考查的是分段函数知识和函数值域等性质的综合类问题在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、特值的思想以及问题转化的思想值得同学们体会反思三.解答题（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分）17已知集合（）求AB，（RA）B；（）若AC=C，求实数m的取值范围【考点】交、并、补集的混合运算 【
20、专题】综合题；集合思想；定义法；集合【分析】（）先化简集合A，B，再根据集合的交集，补集，并集的运算法则计算即可，（）由AC=C，得到AC，继而求出m的范围【解答】解：（）x2x20，（x+1）（x2）0，1x2，A=1，2，RA=（，1）（2，+），4=，4x1，B=（4，1），AB=1，1），（RA）B=（，1）（2，+）；（）AC=C，AC，C=x|xm=m，+），m1实数m的取值范围为1，+）【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算以及集合之间的关系，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键18计算：（1）；（2）已知x+x1=4，求x2+x24的值【考点】对数的运算性质；有理数指数幂
21、的化简求值 【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用【分析】（1）直接利用导数的运算法则化简求解即可（2）利用平方关系直接求解即可【解答】解：（1）=22+2=3.5 （2）x+x1=4，x2+x2+2=16，x2+x24=10【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力19已知函数为奇函数（）求f（1）以及实数m的值；（）写出函数f（x）的单调递增区间；（）若f（a）=1，求a的值【考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】综合题；数形结合；综合法；函数的性质及应用【分析】（）利用奇函数的定义求f（1）以及实数m的值；（）作出函数的图象，即可写出函数f（x）
22、的单调递增区间；（）若f（a）=1，则a=1，或a2+2a=1（a0），即可求a的值【解答】解：（）f（1）=1，f（x）为奇函数，f（1）=f（1）=11m=1，m=2；（）函数的图象如图所示，函数f（x）的单调递增区间是1，1；（）若f（a）=1，则a=1，或a2+2a=1（a0），a=1或a=1【点评】本题考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20当x满足log（3x）2时，求函数f（x）=4x21x+1的最值及相应的x的值【考点】函数的最值及其几何意义 【专题】函数思想；换元法；函数的性质及应用【分析】根据对数的性质求出x的取值范围，利用换元法结
23、合指数函数和一元二次函数的性质进行求解即可【解答】解：由log（3x）2得03x4，得1x3，则f（x）=4x21x+1=（2x）222x+1，令t=2x，则t2，则函数等价为y=t22t+1=（t1）2，则当t=1时，函数取得最小值y=0，此时t=2x=1得x=0，当t=2时，函数取得最大值y=1，此时t=2x=2得x=1【点评】本题主要考查函数最值的应用，利用换元法结合对数函数，指数函数和一元二次函数的性质是解决本题的关键21廊坊市某所中学有一块矩形空地，学校要在这块空地上修建一个内接四边形的花坛（如图所示），该花坛的四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知 A B=a（a2），BC=2，且
24、A E=A H=CF=CG，设 A E=x，花坛面积为y（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当 A E为何值时，花坛面积y最大？【考点】函数最值的应用 【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】（1）先求得四边形ABCD，AHE的面积，再分割法求得四边形EFGH的面积，即建立y关于x的函数关系式；（2）由（1）知y是关于x的二次函数，用二次函数求最值的方法求解【解答】解：（1）SAEH=SCFG=x2，SBEF=SDGH=（ax）（2x）y=SABCD2SAEH2SBEF=2ax2（ax）（2x）=2x2+（a+2）x由，得0x2y=2x2+（a+2）x，0x2（2）当
25、2，即a6时，则x=时，y取最大值当2，即a6时，y=2x2+（a+2）x，在（0，2上是增函数，则x=2时，y取最大值2a4综上所述：当a6时，AE=时，绿地面积取最大值；当a6时，AE=2时，绿地面积取最大值2a4【点评】本题主要考查实际问题中的建模和解模能力，注意二次函数求最值的方法22定义在（0，+）上的函数f（x），对于任意的m，n（0，+），都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，当x1时，f（x）0（1）求证：1是函数f（x）的零点；（2）求证：f（x）是（0，+）上的减函数；（3）当时，解不等式f（ax+4）1【考点】抽象函数及其应用 【专题】计算题；分类讨论；方程思想；转化思
26、想；函数的性质及应用【分析】（1）利用赋值法，推出f（1）=0，即可证明结果（2）利用已知条件结合函数的单调性的定义，证明结果即可（3）利用已知条件，通过函数的单调性，利用分类讨论求解即可【解答】解：（1）证明：对于任意的正实数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，所以令m=n=1，则f（1）=2f（1）f（1）=0，即1是函数f（x）的零点（2）证明：设0x1x2，f（mn）=f（m）+f（n），f（mn）f（m）=f（n）f（x2）f（x1）=f（）因0x1x2，则1而当x1时，f（x）0，从而f（x2）f（x1）所以f（x）在（0，+）上是减函数（3）因为f（4）=f（2）+f（2）=1，所以不等式f（ax+4）1可以转化为f（ax+4）f（4）因为f（x）在（0，+）上是减函数，所以0ax+44当a=0时，解集为；当a0时，4ax0，即x0，解集为x|x0；当a0时，4ax0，即0x，解集为x|0x【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的单调性的证明，分类讨论以及转化思想的应用，考查计算能力- 14 -