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1、挑战挑战 2022 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题专题 9 二次函数与圆综合问题二次函数与圆综合问题解决函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径.常见的考法有：1.直线与圆的位置关系：平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有：（1）利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题（2）利用勾股定理解决问题（3）利用相似列出比例式解决问题2.函数与圆的新定义题目：利用已掌握的知识和方法理
2、解新定义，化生为熟3.函数与圆的性质综合类问题：利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素和“临界位置”.【例 1】【例 1】（2021花都区三模）如图，抛物线 yax2+bx+2 经过 A（1，0），B（4，0）两点，与 y轴交于点 C（1）求该抛物线的解析式；（2）在 y 轴上是否存在点 P 使得OBP+OBC45，若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点 M 是 BC 为直径的圆上的动点，将点 M 绕原点 O 顺时针旋转 90得点 N，连接 NA，求 NA 的取值范围【分析】（1）将点 A（1，0），B（4，0）代入 yax2+bx+2 即可求解析式；（2）过
3、点 P 作 PHBC 交于点 H，设 P（0，t），CHx，由已知分别可求 BC2，BH2x，HPBH2x，在 RtCPH 中，sinPCH，cosPCH，求出 t，则 P（0，），与 x 轴对称点为（0，），此点也满足所求；（3）当 M 点在 B 点处时，N 点在 F（0，4）处，当 M 点在 O 点处时，N 点在 E（2，0）处，EOF90，EFBC2，可以判断 N 点在以 EF 为直径的圆上运动，连接 OO，O（1，2），NA 有最大值和最小值，OA2，则可求 NA 最大值为 2+，NA 最小值为 2，进而求得 2NA2+【解答】解：（1）将点 A（1，0），B（4，0）代入 yax2+
4、bx+2，得，解得，yx2+x+2；（2）过点 P 作 PHBC 交于点 H，设 P（0，t），CHx，C（0，2），B（4，0），BC2，BH2x，OBP+OBC45，CBP45，HPBH2x，在 RtCPH 中，sinPCH，cosPCH，在 RtBOC 中，sinPCH，cosPCH，x，t，P（0，），P 点关于 x 轴对称点为（0，），此点也满足OBP+OBC45，满足条件的 P 点坐标为（0，）或（0，）；（3）当 M 点在 B 点处时，N 点在 F（0，4）处，当 M 点在 C 点处时，N 点在 E（2，0）处，EOF90，EFBC2，可以判断 N 点在以 EF 为直径的圆上运动
5、，连接 OO，当 NA 经过圆心 O时，NA 有最大值和最小值，O（1，2），A（1，0），OA2，NA 最大值为 2+，NA 最小值为 2，2NA2+【例 2】（2020遵义）如图，抛物线 yax2?x+c 经过点 A（1，0）和点 C（0，3）与 x 轴的另一交点为点 B，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 MPy 轴，交抛物线于点 P（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点 Q，使得QCO 是等边三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以 M 为圆心，MP 为半径作M，当M 与坐标轴相切时，求出M 的半径【分析】（1）把点 A（1，0）和点
6、 C（0，3）代入 yax2?x+c 求出 a 与 c 的值即可得出抛物线的解析式；（2）当点 Q 在 y 轴右边时，假设QCO 为等边三角形，过点 Q 作 QHOC 于 H，OC3，则 OH?，tan60?，求出 Q（?，?），把 x?代入 y?x2?x+3，得 y?，则假设不成立；当点 Q 在 y 轴的左边时，假设QCO 为等边三角形，过点 Q 作 QTOC 于 T，OC3，则 OT?，tan60?，求出 Q（?，?），把 x?代入 y?x2?x+3，得 y?，则假设不成立；（3）求出 B（4，0），待定系数法得出 BC 直线的解析式 y?x+3，当 M 在线段 BC 上，M 与 x 轴相
7、切时，延长 PM 交 AB 于点 D，则点 D 为M 与 x 轴的切点，即 PMMD，设 P（x，?x2?x+3），M（x，?x+3），则 PD?x2?x+3，MD?x+3，由 PDMDMD，求出 x1，即可得出结果；当M 在线段 BC 上，M 与 y 轴相切时，延长 PM 交 AB 于点 D，过点 M 作 MEy 轴于 E，则点 E 为M与 y 轴的切点，即 PMME，PDMDEMx，设 P（x，?x2?x+3），M（x，?x+3），则 PD?x2?x+3，MD?x+3，代入即可得出结果；当 M 在 BC 延长线，M 与 x 轴相切时，点 P 与 A 重合，M 的纵坐标的值即为所求；当 M
8、在 CB 延长线，M 与 y 轴相切时，延长 PD 交 x 轴于 D，过点 M 作 MEy 轴于E，则点 E 为M 与 y 轴的切点，即 PMME，PDMDEMx，设 P（x，?x2?x+3），M（x，?x+3），则 PD?x2?x3，MD?x3，代入即可得出结果【解答】解：（1）把点 A（1，0）和点 C（0，3）代入 yax2?x+c 得：?，解得：?，抛物线的解析式为：y?x2?x+3；（2）不存在，理由如下：当点 Q 在 y 轴右边时，如图 1 所示：假设QCO 为等边三角形，过点 Q 作 QHOC 于 H，点 C（0，3），OC3，则 OH?OC?，tan60?，QHOHtan60?
9、，Q（?，?），把 x?代入 y?x2?x+3，得：y?，假设不成立，当点 Q 在 y 轴右边时，不存在QCO 为等边三角形；当点 Q 在 y 轴的左边时，如图 2 所示：假设QCO 为等边三角形，过点 Q 作 QTOC 于 T，点 C（0，3），OC3，则 OT?OC?，tan60?，QTOTtan60?，Q（?，?），把 x?代入 y?x2?x+3，得：y?，假设不成立，当点 Q 在 y 轴左边时，不存在QCO 为等边三角形；综上所述，在抛物线上不存在一点 Q，使得QCO 是等边三角形；（3）令?x2?x+30，解得：x11，x24，B（4，0），设 BC 直线的解析式为：ykx+b，把
10、B、C 的坐标代入则?香?香，解得：?香?，BC 直线的解析式为：y?x+3，当 M 在线段 BC 上，M 与 x 轴相切时，如图 3 所示：延长 PM 交 AB 于点 D，则点 D 为M 与 x 轴的切点，即 PMMD，设 P（x，?x2?x+3），M（x，?x+3），则 PD?x2?x+3，MD?x+3，（?x2?x+3）（?x+3）?x+3，解得：x11，x24（不合题意舍去），M 的半径为：MD?3?；当 M 在线段 BC 上，M 与 y 轴相切时，如图 4 所示：延长 PM 交 AB 于点 D，过点 M 作 MEy 轴于 E，则点 E 为M 与 y 轴的切点，即 PMME，PDMDE
11、Mx，设 P（x，?x2?x+3），M（x，?x+3），则 PD?x2?x+3，MD?x+3，（?x2?x+3）（?x+3）x，解得：x1?，x20（不合题意舍去），M 的半径为：EM?；当 M 在 BC 延长线，M 与 x 轴相切时，如图 5 所示：点 P 与 A 重合，M 的横坐标为1，M 的半径为：M 的纵坐标的值，即：?（1）+3?；当 M 在 CB 延长线，M 与 y 轴相切时，如图 6 所示：延长 PM 交 x 轴于 D，过点 M 作 MEy 轴于 E，则点 E 为M 与 y 轴的切点，即 PMME，PDMDEMx，设 P（x，?x2?x+3），M（x，?x+3），则 PD?x2?
12、x3，MD?x3，（?x2?x3）（?x3）x，解得：x1?，x20（不合题意舍去），M 的半径为：EM?；综上所述，M 的半径为?或?或?或?【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、等边三角形的性质、圆的性质、三角函数等知识；熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键【例 3】（2020济宁）我们把方程（xm）2+（yn）2r2称为圆心为（m，n）、半径长为 r 的圆的标准方程例如，圆心为（1，2）、半径长为 3 的圆的标准方程是（x1）2+（y+2）29在平面直角坐标系中，C 与 x 轴交于点 A，B，且点 B 的坐标为（8，0），与 y 轴相切于点 D（0，4），过点 A
13、，B，D的抛物线的顶点为 E（1）求C 的标准方程；（2）试判断直线 AE 与C 的位置关系，并说明理由【分析】（1）如图，连接 CD，CB，过点 C 作 CMAB 于 M设C 的半径为 r在 RtBCM 中，利用勾股定理求出半径以及点 C 的坐标即可解决问题（2）结论：AE 是C 的切线连接 AC，CE求出抛物线的解析式，推出点 E 的坐标，求出 AC，AE，CE，利用勾股定理的逆定理证明CAE90即可解决问题【解答】解：（1）如图，连接 CD，CB，过点 C 作 CMAB 于 M设C 的半径为 r与 y 轴相切于点 D（0，4），CDOD，CDOCMODOM90，四边形 ODCM 是矩形，
14、CMOD4，CDOMr，B（8，0），OB8，BM8r，在 RtCMB 中，BC2CM2+BM2，r242+（8r）2，解得 r5，C（5，4），C 的标准方程为（x5）2+（y4）225（2）结论：AE 是C 的切线理由：连接 AC，CECMAB，AMBM3，A（2，0），B（8，0）设抛物线的解析式为 ya（x2）（x8），把 D（0，4）代入 ya（x2）（x8），可得 a?，抛物线的解析式为 y?（x2）（x8）?x2?x+4?（x5）2?，抛物线的顶点 E（5，?），AE?，CE4?，AC5，EC2AC2+AE2，CAE90，CAAE，AE 是C 的切线【点评】本题属于二次函数综合题
15、，考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，圆的方程，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题【例 4】（2020西藏）在平面直角坐标系中，二次函数 y?x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（2，0），B（4，0）两点，交 y 轴于点 C，点 P 是第四象限内抛物线上的一个动点（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，连接 AC，PA，PC，若 SPAC?，求点 P 的坐标；（3）如图乙，过 A，B，P 三点作M，过点 P 作 PEx 轴，垂足为 D，交M 于点 E点 P 在运动过程中线段 DE 的长是否变化，若有变化，求出 DE 的取值范围；若不变，
16、求 DE 的长【分析】（1）由二次函数 y?x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（2，0），B（4，0）两点，可得二次函数的解析式为 y?（x+2）（x4），由此即可解决问题（2）根据 SPACSAOC+SOPCSAOP，构建方程即可解决问题（3）结论：点 P 在运动过程中线段 DE 的长是定值，DE2根据 AMMP，根据方程求出 t，再利用中点坐标公式，求出点 E 的纵坐标即可解决问题【解答】解：（1）二次函数 y?x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（2，0），B（4，0）两点，二次函数的解析式为 y?（x+2）（x4），即 y?x2x4（2）如图甲中，连接 OP设 P（m，?m2
17、m4）由题意，A（2，0），C（0，4），SPACSAOC+SOPCSAOP，?24?4m?2（?m2+m+4），整理得，m2+2m150，解得 m3 或5（舍弃），P（3，?）（3）结论：点 P 在运动过程中线段 DE 的长是定值，DE2理由：如图乙中，连接 AM，PM，EM，设 M（1，t），Pm，?（m+2）（m4），E（m，n）由题意 A（2，0），AMPM，32+t2（m1）2+?（m+2）（m4）t2，解得 t1?（m+2）（m4），MEPM，PEAB，t?，n2t?（m+2）（m4）21?（m+2）（m4）?（m+2）（m4）2，DE2，另解：PDDEADDB，DE?2，为定值点
18、 P 在运动过程中线段 DE 的长是定值，DE2【点评】本题属于二次函数综合题，考查了三角形的面积，三角形的外接圆，三角形的外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题【例 5】（2020宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点 F（0，1）作 x 轴的平行线交二次函数的图象于 M、N 两点（1）求二次函数的表达式；（2）P 为平面内一点，当PMN 是等边三角形时，求点 P 的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点 E，使得以点 E 为圆心的圆过点 F 和点 N，且与直线 y1 相切若存在，求出点 E 的坐标，并求E 的半径；
19、若不存在，说明理由【分析】（1）设二次函数表达式为：yax2，将（2，1）代入上式，即可求解；（2）PMN 是等边三角形，则点 P 在 y 轴上且 PM4，故 PF2?，即可求解；（3）在 RtFQE 中，EN?，EF?，即可求解【解答】解：（1）二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：yax2，将（2，1）代入上式并解得：a?，故二次函数表达式为：y?x2；（2）将 y1 代入 y?x2并解得：x2，故点 M、N 的坐标分别为（2，1）、（2，1），则 MN4，PMN 是等边三角形，点 P 在 y 轴上且 PM4，PF2?；点 F（0，1），点 P 的坐标为（0，1+2?）或（0，1
20、2?）；（3）假设二次函数的图象上存在一点 E 满足条件，设点 Q 是 FN 的中点，则点 Q（1，1），故点 E 在 FN 的中垂线上点 E 是 FN 的中垂线与 y?x2图象的交点，y?12?，则点 E（1，?），EN?，同理 EF?，点 E 到直线 y1 的距离为|?（1）|?，故存在点 E，使得以点 E 为圆心半径为?的圆过点 F，N 且与直线 y1 相切【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本的性质、等边三角形的性质等，综合性强，难度适中【例 6】（2021嘉兴二模）定义：平面直角坐标系 xOy 中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆（
21、1）已知点 P（2，2），以 P 为圆心，为半径作圆请判断P 是不是二次函数 yx24x+3 的坐标圆，并说明理由；（2）已知二次函数 yx24x+4 图象的顶点为 A，坐标圆的圆心为 P，如图 1，求POA 周长的最小值；（3）已知二次函数 yax24x+4（0a1）图象交 x 轴于点 A，B，交 y 轴于点 C，与坐标圆的第四个交点为 D，连结 PC，PD，如图 2若CPD120，求 a 的值【分析】（1）先求出二次函数 yx24x+3 图象与 x 轴、y 轴的交点，再计算这三个交点是否在以 P（2，2）为圆心，为半径的圆上，即可作出判断（2）由题意可得，二次函数 yx24x+4 图象的顶
22、点 A（2，0），与 y 轴的交点 H（0，4），所以POA周长PO+PA+OAPO+PH+2OH+2，即可得出最小值（3）连接 CD，PA，设二次函数 yax24x+4 图象的对称轴 l 与 CD 交于点 E，与 x 轴交于点 F，由对称性知，对称轴 l 经过点 P，且 lCD，设 PEm，由CPD120，可得 PAPC2m，CEm，PF4m，因为二次函数 yax24x+4 图象的对称轴 l 为，AB，所以 AFBF，在 RtPAF 中，利用勾股定理建立方程，求得 m 的值，进而得出 a 的值【解答】解：（1）对于二次函数 yx24x+3，当 x0 时，y3；当 y0 时，解得 x1 或 x
23、3，二次函数图象与 x 轴交点为 A（1，0），B（3，0），与 y 轴交点为 C（0，3），点 P（2，2），PAPBPC，P 是二次函数 yx24x+3 的坐标圆（2）如图 1，连接 PH，二次函数 yx24x+4 图象的顶点为 A，坐标圆的圆心为 P，A（2，0），与 y 轴的交点 H（0，4），POA 周长PO+PA+OAPO+PH+2OH+26，POA 周长的最小值为 6（3）如图 2，连接 CD，PA，设二次函数 yax24x+4 图象的对称轴 l 与 CD 交于点 E，与 x 轴交于点 F，由对称性知，对称轴 l 经过点 P，且 lCD，AB，AFBF，CPD120，PCPD，C
24、（0，4），PCDPDC30，设 PEm，则 PAPC2m，CEm，PF4m，二次函数 yax24x+4 图象的对称轴 l 为，即，在 RtPAF 中，PA2PF2+AF2，即，化简，得，解得，【题组一】【题组一】1（2020雨花区校级一模）如图 1，已知抛物线 yax212ax+32a（a0）与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B的左侧），与 y 轴交于点 C（1）连接 BC，若ABC30，求 a 的值（2）如图 2，已知 M 为ABC 的外心，试判断弦 AB 的弦心距 d 是否有最小值，若有，求出此时 a 的值，若没有，请说明理由；（3）如图 3，已知动点 P（t，t）在第一象限，t 为
25、常数问：是否存在一点 P，使得APB 达到最大，若存在，求出此时APB 的正弦值，若不存在，也请说明理由【分析】（1）令 y0，求得抛物线与 x 轴的交点 A、B 的坐标，令 x0，用 a 表示 C 点的坐标，再由三角函数列出 a 的方程，便可求得 a 的值；（2）过 M 点作 MHAB 于点 H，连接 MA、MC，用 d 表示出 M 的坐标，根据 MAMC，列出 a、d 的关系式，再通过关系式求得结果；（3）取 AB 的中点 T，过 T 作 MTAB，以 M 为圆心，MA 为半径作M，MT 与直线 yx 交于点 S，P为直线 yx 上异于 P 的任意一点，连接 AP，交M 于点 K，连接 B
26、K，MP，AP，BP，MB，MA，当P 为直线 yx 与M 的切点时，APB 达到最大，利用圆圆周角性质和解直角三角形的知识求得结果便可【解答】解：（1）连接 BC，令 y0，得 yax212ax+32a0，解得，x4 或 8，A（4，0），B（8，0），令 x0，得 yax212ax+32a32a，C（0，32a），又ABC30，tanABC?，解得，a?；（2）过 M 点作 MHAB 于点 H，连接 MA、MC，如图 2，AHBH?2，OH6，设 M（6，d），MAMC，4+d236+（d32a）2，得 2ad32a2+1，d16a?，当 4?时，有?最小?，即当 a?时，有?最小?；（3
27、）P（t，t），点 P 在直线 yx 上，如图 3，取 AB 的中点 T，过 T 作 MTAB，以 M 为圆心，MA 为半径作M，MT 与直线 yx 交于点 S，P为直线 yx 上异于 P 的任意一点，连接 AP，交M 于点 K，连接 BK，MP，AP，BP，MB，MA，当M 与直线 yx 相切时，有APBAKBAPB，APB 最大，此时相切点为 P，设 M（6，d），而 T（6，0），S（6，6），PSM90SOT45，又 MPMB?，MS?，MS+MTST6，?，解得，d2（负根舍去），经检验，d2 是原方程的解，也符合题意，M（6，2），MB2?，AMB2APB，MTAB，MAMB，AM
28、TBMT?AMBAPB，sinAPBsinBMT?【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，解直角三角形，圆周角定理和圆与直线切线性质，难度较大，第（3）题的关键是构造辅助圆确定当APB 达到最大时的 P 点位置2（2020汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接 BC 并延长（1）求抛物线的解析式；（2）点 M 是直线 BC 在第一象限部分上的一个动点，过 M 作 MNy 轴交抛物线于点 N1求线段 MN 的最大值；2当 MN 取最大值时，在线段 MN 右侧的抛物线上有一个动点
29、P，连接 PM、PN，当PMN 的外接圆圆心 Q 在PMN 的边上时，求点 P 的坐标【分析】（1）将三个已知点坐标代入抛物线的解析式中列出方程组求得 a、b、c，便可得抛物线的解析式；（2）1用待定系数法求出直线 BC 的解析式，再设 M 的横坐标为 t，用 t 表示 MN 的距离，再根据二次函数的性质求得 MN 的最大值；2分三种情况：当PMN90时；当PNM90时；当MPN90时分别求出符合条件的 P点坐标便可【解答】解：（1）把 A、B、C 三点的坐标代入抛物线 yax2+bx+c（a0）中，得?香?香?，解得，?香?，抛物线的解析式为：yx24x+3；（2）1设直线 BC 的解析式为
30、 ymx+n（m0），则?，解得，?，直线 BC 的解析式为：yx+3，设 M（t，t+3）（0t3），则 N（t，t24t+3），MNt2+3t?，当 t?时，MN 的值最大，其最大值为?；2PMN 的外接圆圆心 Q 在PMN 的边上，PMN 为直角三角形，由 1知，当 MN 取最大值时，M（?，?），N（?，?），当PMN90时，PMx 轴，则 P 点与 M 点的纵坐标相等，P 点的纵坐标为?，当 y?时，yx24x+3?，解得，x?，或 x?（舍去），P（?，?）；当PNM90时，PNx 轴，则 P 点与 N 点的纵坐标相等，P 点的纵坐标为?，当 y?时，yx24x+3?，解得，x?，
31、或 x?（舍去），P（?，?）；当MPN90时，则 MN 为PMN 的外接圆的直径，PMN 的外接圆的圆心 Q 为 MN 的中点，Q（?，?），半径为?領?，过 Q 作 QKx 轴，与在 MN 右边的抛物线图象交于点 K，如图，令 y?，得 yx24x+3?，解得，x?（舍），或 x?，K（?，?），QK?，即 K 点在以 MN 为直径的Q 外，设抛物线 yx24x+3 的顶点为点 L，则 l（2，1），连接 LK，如图，则 L 到 QK 的距离为?，LK?，设 Q 点到 LK 的距离为 h，则?，?領?，直线 LK 下方的抛物线与Q 没有公共点，抛物线中 NL 部分（除 N 点外）在过 N
32、点与 x 轴平行的直线下方，抛物线中 NL 部分（除 N 点外）与Q 没有公共点，抛物线 K 点右边部分，在过 K 点与 y 轴平行的直线的右边，抛物线 K 点右边部分与Q 没有公共点，综上，Q 与 MN 右边的抛物线没有交点，在线段 MN 右侧的抛物线上不存在点 P，使PMN 的外接圆圆心 Q 在 MN 边上；综上，点 P 的坐标为（?，?）或（?，?）【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的最值的应用，直角三角形的存在性质的探究，圆的性质，第（2）题的 1题关键是把 MN 表示成 t 二次函数，用二次函数求最值的方法解决问题；第（2）2小题关键是分情况讨论难度较大3
33、（2020望城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y?x2bx+c 交 x 轴于点 A，B，点 B 的坐标为（4，0），与 y 轴于交于点 C（0，2）（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点 D，若点 D 的横坐标为 5，求点 D 的坐标及ADB 的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴 l 交 x 轴于点 H，ABD 的外接圆圆心为 M（如图 1），求点 M 的坐标及M 的半径；过点 B 作M 的切线交于点 P（如图 2），设 Q 为M 上一动点，则在点运动过程中?的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由【分析】（1）c2，将点 B 的坐标代入抛物线表达式得：0
34、?4b2，解得：b?，即可求解；（2）SABD?領?，则 BN?，sinBDH?，即可求解；（3）ADB45，则AMB2ADB90，MAMB，MHAB，AHBHHM?，点 M 的坐标为（?，?）M 的半径为?；PHHB5，则?，?，故HMQQMP，则?，即可求解【解答】解：（1）c2，将点 B 的坐标代入抛物线表达式得：0?4b2，解得：b?，抛物线的解析式为 y?x2?x2；（2）当 x5 时，y?x2?x23，故 D 的坐标为（5，3），令 y0，则 x4（舍去）或1，故点 A（1，0），如图，连结 BD，作 BNAD 于 N，A（1，0），B（4，0），C（0，2），AD3?，BD?，S
35、ABD?領?，BN?，sinBDH?，BDH45；（3）如图，连接 MA，MB，ADB45，AMB2ADB90，MAMB，MHAB，AHBHHM?，点 M 的坐标为（?，?）M 的半径为?；如图，连接 MQ，MB，过点 B 作M 的切线交 1 于点 P，MBP90，MBO45，PBH45，PHHB5，?，?，HMQQMP，HMQQMP，?，在点 Q 运动过程中?的值不变，其值为?【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质 圆的基本性质解决（3）问的关键是构造相似三角形实现比的转换4（2020天桥区二模）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0），与
36、x 轴交于 A（4，0）、O 两点，点 D（2，2）为抛物线的顶点（1）求该抛物线的解析式；（2）点 E 为 AO 的中点，以点 E 为圆心、以 1 为半径作E，交 x 轴于 B、C 两点，点 M 为E 上一点射线 BM 交抛物线于点 P，设点 P 的横坐标为 m，当 tanMBC2 时，求 m 的值；如图 2，连接 OM，取 OM 的中点 N，连接 DN，则线段 DN 的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出 DN 的最值；若不存在，请说明理由【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：ya（x2）22，将点 A 的坐标代入上式，即可求解；（2）分点 P 在 x 轴下方、点 P 在 x 轴上方
37、两种情况，分别求解即可；（3）证明 BN 是OEM 的中位线，故 BN?EM?，而 BD?，而 BDBNNDBD+BN，即可求解【解答】解：（1）由抛物线顶点式表达式得：ya（x2）22，将点 A 的坐标代入上式并解得：a?，故抛物线的表达式为：y?（x2）22?x22x；（2）点 E 是 OA 的中点，则点 E（2，0），圆的半径为 1，则点 B（1，0），当点 P 在 x 轴下方时，如图 1，tanMBC2，故设直线 BP 的表达式为：y2x+s，将点 B（1，0）的坐标代入上式并解得：s2，故直线 BP 的表达式为：y2x+2，联立并解得：x2（舍去2），故 m2；当点 P 在 x 轴上
38、方时，同理可得：m42?（舍去 42?）；故 m2 或 4+2?；（3）存在，理由：连接 BN、BD、EM，则 BN 是OEM 的中位线，故 BN?EM?，而 BD?，在BND 中，BDBNNDBD+BN，即?0.5ND?0.5，故线段 DN 的长度最小值和最大值分别为?0.5 和?0.5【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、中位线的性质等，综合性强，难度适中【题组二】5（2021乐山模拟）如图，抛物线 yax2+bx+2 与直线 AB 相交于 A（1，0），B（3，2），与 x 轴交于另一点 C（1）求抛物线的解析式；（2）在 y 上是否存在一点 E，使四
39、边形 ABCE 为矩形，若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以 C 为圆心，1 为半径作O，D 为O 上一动点，求 DA+DB 的最小值【分析】（1）把 A（1，0）、B（3，2）代入 yax2+bx+2，列方程组求 a、b 的值；（2）作 AEAB 交 y 轴于点 E，连结 CE，作 BFx 轴于点 F，证明ABC90及BCFEAO，从而证明四边形 ABCE 是矩形且求出点 E 的坐标；（3）在（2）的基础上，作 FLBC 于点 L，证明FCLBCF 及DCLBCD，得到 LDDB，再根据 DA+LDAL，求出 AL 的长即为所求的最小值【解答】解：（1）把 A（1，0
40、）、B（3，2）代入 yax2+bx+2，得，解得，抛物线的解析式为 yx2+x+2（2）存在如图 1，作 AEAB 交 y 轴于点 E，连结 CE；作 BFx 轴于点 F，则 F（3，0）当 y0 时，由x2+x+20，得 x11，x24，C（4，0），CFAO1，AF3（1）4；又BF2，BFCAFB90，BFCAFB，CBFBAF，ABCCBF+ABFBAF+ABF90，BCAE，BCF90BACEAO，BFCEOA90，BCFEAO（ASA），BCEA，四边形 ABCE 是矩形；OEFB2，E（0，2）（3）如图 2，作 FLBC 于点 L，连结 AL、CD.由（2）得BFC90，BF
41、2，CF1，CFCD，CBFLCBFC90，FCLBCF（公共角），FCLBCF，DCLBCD（公共角），DCLBCD，LDDB；DA+LDAL，当 DA+LDAL，即点 D 落在线段 AL 上时，DA+DBDA+LDAL 最小CLCF，BL，BL2（）2，又AB222+4220，AL，DA+DB 的最小值为6（2021河北区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+3 的对称轴是直线 x2，与 x轴相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（）求抛物线的解析式及顶点坐标；（）M 为第一象限内抛物线上的一个点，过点 M 作 MNx 轴于点 N，交 BC
42、于点 D，连接 CM，当线段 CMCD 时，求点 M 的坐标；（）以原点 O 为圆心，AO 长为半径作O，点 P 为O 上的一点，连接 BP，CP，求 2PC+3PB 的最小值【分析】（）由 x2，解得 b1，即可求解；（）当线段 CMCD 时，则点 C 在 MD 的中垂线上，即 yC（yM+yD），即可求解；（）在 OC 上取点 G，使，即，则POGCOP，故 2PC+3PB2（PB+PC）2（BP+PG），故当 B、P、G 三点共线时，2PC+3PB 最小，最小值为 3BG，进而求解【解答】解：（）对称轴是直线 x2，故 x2，解得 b1，故抛物线的表达式为 yx2+x+3（x2）2+4，
43、抛物线的顶点为（2，4）；（）对于 yx2+x+3，令 yx2+x+30，解得 x6 或2，令 x0，则 y3，故点 A、B、C 的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，3），设直线 BC 的表达式为 ymx+n，则，解得，故直线 BC 的表达式为 yx+3，设点 M 的坐标为（x，x2+x+3），则点 D 的坐标为（x，x+3），当线段 CMCD 时，则点 C 在 MD 的中垂线上，即 yC（yM+yD），即 3（x2+x+3x+3），解得 x0（舍去）或 2，故点 M 的坐标为（2，4）；（）在 OC 上取点 G，使，即，则 OG，则点 G（0，），GOPCOP，POGCOP，故 PGP
44、C，则 2PC+3PB3（PB+PC）3（BP+PG），故当 B、P、G 三点共线时，2PC+3PB 最小，最小值为 3BG，则 2PC+3PB 的最小值 3BG327（2021长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点为 M，经过 C（1，1），且与 x 轴正半轴交于 A，B 两点（1）如图 1，连接 OC，将线段 OC 绕点 O 顺时针旋转，使得 C 落在 y 轴的负半轴上，求点 C 的路径长；（2）如图 2，延长线段 OC 至 N，使得 ON，若OBNONA，且，求抛物线的解析式；（3）如图 3，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线，与 y 轴交于
45、（0，5），经过点 C 的直线 l：ykx+m（k0）与抛物线交于点 C、D，若在 x 轴上存在 P1、P2，使CP1DCP2D90，求 k 的取值范围【分析】（1）由点 C 的路径长，即可求解；（2）证明ONAOBN，则 OAOBON23，即，得到 c3a，而 a+b+c1，tanABM，得到（14a）24a3a13，即可求解；（3）由点 D、C 的坐标得到 kt4，若在 x 轴上有且仅有一点 P，使CPD90，则过 CD 中点的圆 R 与 x 轴相切，设切点为 P，得到（1）2+（1）2（）2，求出 t3+，进而求解【解答】解：（1）点 C 的路径长；（2）ONAOBN，AONNOB，ON
46、AOBN，即 OAOBON23，即，故 c3a，a+b+c1，在ABM 中，tanABM，b24ac13，即（14a）24a3a13，解得 a1（舍去）或 3，抛物线的表达式为 y3x211x+9；（3）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为：yx25x+5；设点 D（t，n），nt25t+5，而点 C（1，1），将点 D、C 的坐标代入函数表达式得，则 kt4，若在 x 轴上有且仅有一点 P，使CPD90，则过 CD 中点的圆 R 与 x 轴相切，设切点为 P，则点 H（，），则 HPHC，即（1）2+（1）2（）2，化简得：3t218t+190，解得：t3+（不合题意的值已舍去），kt4若在
47、 x 轴上存在 P1、P2，使CP1DCP2D90，则以 DC 为直径的圆 H 和 x 轴相交，0k8（2020东海县二模）如图，AOB 的三个顶点 A、O、B 分别落在抛物线 C1：yx2+x 上，点 A 的坐标为（4，m），点 B 的坐标为（n，2）（点 A 在点 B 的左侧）（1）则 m4，n1（2）将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90得到AOB，抛物线 C2：yax2+bx+4 经过 A、B两点，延长OB交抛物线 C2于点 C，连接 AC设OAC 的外接圆为M求圆心 M 的坐标；试直接写出OAC 的外接圆M 与抛物线 C2的交点坐标（A、C 除外）【分析】（1）把 x4 代入抛物线 C
48、1解析式求得 y 即得到点 A 坐标；把 y2 代入抛物线 C1解析式，解方程并判断大于4 的解为点 B 横坐标（2）根据旋转 90的性质特点可求点 A、B坐标（过点作 x 轴垂线，构造全等得到对应边相等）及OA的长，用待定系数法求抛物线 F2的解析式，求出直线 OC 的解析式，构建方程组确定点 C 的坐标，求出线段 OA，线段 AC 的垂直平分线的解析式，构建方程组解决问题即可设M 与抛物线 C2的交点为 P（m，m23m+4）根据 PMOM，构建方程求解即可【解答】解：（1）当 x4 时，y（4）2+（4）4，点 A 坐标为（4，4），当 y2 时，x2+x2，解得：x11，x26，点 A
49、 在点 B 的左侧，点 B 坐标为（1，2），m4，n1故答案为4，1（2）如图 1，过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 B作 BGx 轴于点 GBEOOGB90，OE1，BE2，将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90得到AOB，OBOB，BOB90，BOE+BOGBOE+OBE90，BOGOBE，在BOG 与OBE 中，BOGOBE（AAS），OGBE2，BGOE1，点 B在第四象限，B（2，1），同理可求得：A（4，4），OAOA4，抛物线 F2：yax2+bx+4 经过点 A、B，解得：，抛物线 F2解析式为：yx23x+4，直线 OB的解析式为 yx，由，解得或，点 C（8，4），A
50、（4，4），ACx 轴，线段 OA的垂直平分线的解析式为 yx4，线段 AC 的垂直平分线为 x6，直线 yx4 与 x6 的交点为（6，2），OAC 的外接圆的圆心 M 的坐标为（6，2）设M 与抛物线 C2的交点为 P（m，m23m+4）则有（m6）2+（m23m+2）262+22，解得 m0 或 12 或 4 或 8，A、C 除外，P（0，4），或（12，4）9（2019鄂尔多斯）如图，抛物线 yax2+bx2（a0）与 x 轴交于 A（3，0），B（1，0）两点，与 y轴交于点 C，直线 yx 与该抛物线交于 E，F 两点（1）求抛物线的解析式（2）P 是直线 EF 下方抛物线上的一个