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1、挑战挑战 2022 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题专题 11 二次函数与角综合问题二次函数与角综合问题二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型：1.特殊角问题：（1）利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系（2）遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到 45构造等腰直角三角形，遇到 30、60构造等边三角形，遇到 90构造直角三角形2.角的数量关系问题（1）等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决（2）二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答（3）角的和差问题3.角的最值问题：
2、利用辅助圆等知识来解答【例 1】（2021兰州）如图 1，二次函数 ya（x+3）（x4）的图象交坐标轴于点 A，B（0，2），点 P为 x 轴上一动点（1）求二次函数 ya（x+3）（x4）的表达式；（2）过点 P 作 PQx 轴分别交线段 AB，抛物线于点 Q，C，连接 AC当 OP1 时，求ACQ 的面积；（3）如图 2，将线段 PB 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段 PD当点 D 在抛物线上时，求点 D 的坐标；点 E（2，）在抛物线上，连接 PE，当 PE 平分BPD 时，直接写出点 P 的坐标【分析】（1）将 B（0，2）代入 ya（x+3）（x4），即可求解；（2）先求直线 A
3、B 的解析式为 yx2，则 Q（1，），C（1，2），可求 SACQSACPSAPQ；（3）设 P（t，0），过点 D 作 x 轴垂线交于点 N，可证明PNDBOP（AAS），则 D（t+2，t），将 D 点代入抛物线解析式得t（t+2+3）（t+24），求德 D（3，1）或 D（8，10）；分两种情况讨论：当 PEy 轴时，OBP45，则 P（2，0）；当 PE 不平行 y 轴时，过 B 点作 BGPB 交 PE 于点 G，过 G 点作 FGy 轴，交于点 F，可证明BPOGBF（AAS），则 E 点与 G 点重合，求得 P（，0）【解答】解：（1）将 B（0，2）代入 ya（x+3）（x4
4、），a，y（x+3）（x4）x2x2；（2）令 y0，则（x+3）（x4）0，x3 或 x4，A（4，0），设直线 AB 的解析式为 ykx+b，yx2，OP1，P（1，0），PQx 轴，Q（1，），C（1，2），AP3，SACQSACPSAPQ323；（3）设 P（t，0），如图 2，过点 D 作 x 轴垂线交于点 N，BPD90，OPB+NPD90，OPB+OBP90，NPDOBP，BPPD，PNDBOP（AAS），OPND，BOPN，D（t+2，t），t（t+2+3）（t+24），解得 t1 或 t10，D（3，1）或 D（8，10）；如图 3，PE 平分BPD，BPEEPD，BPD90
5、，BPE45，当 PEy 轴时，OBP45，P（2，0）；如图 4，过 B 点作 BGPB 交 PE 于点 G，过 G 点作 FGy 轴，交于点 F，PBF+FBG90，FBG+FGB90，PBFFGB，BPG45，BPBG，BPOGBF（AAS），BFOP，FGOB，OB2，FG2，E（2，）E 点与 G 点重合，POBF2，P（，0）；综上所述：P 点的坐标为（2，0）或（，0）【例 2】（2021贵港）如图，已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴相交于 A（3，0），B 两点，与 y 轴相交于点C（0，2），对称轴是直线 x1，连接 AC（1）求该抛物线的表达式；（2）若过点 B 的
6、直线 l 与抛物线相交于另一点 D，当ABDBAC 时，求直线 l 的表达式；（3）在（2）的条件下，当点 D 在 x 轴下方时，连接 AD，此时在 y 轴左侧的抛物线上存在点 P，使 SBDPSABD请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标【分析】（1）先根据对称轴得出 b2a，再由点 C 的坐标求出 c2，最后将点 A 的坐标代入抛物线解析式求解，即可得出结论；（2）分两种情况，、当点 D 在 x 轴上方时，先判断出 AEBE，进而得出点 E 在直线 x1 上，再求出点 E 的坐标，最后用待定系数法求出直线 l 的解析式；、当点 D 在 x 轴下方时，判断出 BDAC，即可得出结论；（3）先
7、求出点 D 的坐标，进而求出ABD 的面积，得出PBD 的面积，设 P（m，m2m+2）（m0），过 P 作 y 轴的平行线交直线 BD 于 F，得出 F（m，m），进而表示出 PF，最后用面积建立方程求解，即可得出结论【解答】解：（1）抛物线的对称轴为 x1，1，b2a，点 C 的坐标为（0，2），c2，抛物线的解析式为 yax2+2ax+2，点 A（3，0）在抛物线上，9a6a+20，a，b2a，抛物线的解析式为 yx2x+2；（2）、当点 D 在 x 轴上方时，如图 1，记 BD 与 AC 的交点为点 E，ABDBAC，AEBE，直线 x1 垂直平分 AB，点 E 在直线 x1 上，点
8、A（3，0），C（0，2），直线 AC 的解析式为 yx+2，当 x1 时，y，点 E（1，），点 A（3，0）点 B 关于 x1 对称，B（1，0），直线 BD 的解析式为 yx+，即直线 l 的解析式为 yx+；、当点 D 在 x 轴下方时，如图 2，ABDBAC，BDAC，由知，直线 AC 的解析式为 yx+2，直线 BD 的解析式为 yx，即直线 l 的解析式为 yx；综上，直线 l 的解析式为 yx+或 yx；（3）由（2）知，直线 BD 的解析式为 yx，抛物线的解析式为 yx2x+2，或，D（4，），SABDAB|yD|4，SBDPSABD，SBDP10，点 P 在 y 轴左侧的
9、抛物线上，设 P（m，m2m+2）（m0），过 P 作 y 轴的平行线交直线 BD 于 F，F（m，m），PF|m2m+2（m）|m2+2m|，SBDPPF（xBxD）|m2+2m|510，m5 或 m2（舍）或 m1 或 m2，P（5，8）或（1，）或（2，2）【例 3】（2021罗湖区校级模拟）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（3，0）、B，与 y 轴交于点 C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点 P，使 SBCP2SBCO，求点 P 的坐标；（3）如图 2，直线 yx+3 交抛物线于第一象限的点 M，若 N 是抛物线 yx2+bx+c 上一点，且MA
10、NOCB，求点 N 的坐标【分析】（1）直接将 A、C 两点坐标代入到解析式中，解方程组，可以求得抛物线解析式；（2）由于 B、C 坐标已知，且均在坐标轴上，直接求出BCO 面积，从而求得BCP 面积为 3，由于 B、C 两点坐标已知，过 P 作 BC 的平行线与抛物线相交，此平行线上任意一点与 B 和 C 两点所构成的三角形面积均等于 3，所以我们找到此线与 x 轴交点 M（此处也可以选择与 y 轴交点），由MBC 面积为 3，可以求得 M 点坐标，再由直线 BC 解析式，可以求得直线 PM 的解析式，联立直线 PM 与抛物线解析式，即可解决；（3）利用BCO，可以求得 tanBCO，从而得
11、到 tanMAN，接联立抛物线与直线 yx+3，可以求得交点 A、M 坐标，则 N 的位置可以分为在 AM 上方和 AM 下方，利用 M 为直角顶点，AM 为直角边，构造一线三等角相似，从而求得直线 AN 的解析式，联立 AN 与抛物线解析式，从而求得交点 N 的坐标【解答】解：（1）将 C（0，3）代入到抛物线解析式中得，c3，将 B（3，0）代入到抛物线解析式中得，93b30，b2，抛物线解析式为：yx2+2x3；（2）令 y0，则 x2+2x30，解得 x13，x21，B（1，0），SBCP2SBCO，SBCP3，如图 1，过 P 作 PMBC 交 x 轴于 M，连接 MC，则 SMBC
12、SBCP3，MB2，M（1，0），设直线 BC 为 yk1x3，代入点 B（1，0）得，k13，直线 BC 为：y3x3，则直线 PM 设为：y3x+b，代入点 M（1，0）得，b3，直线 PM 为：y3x+3，联立，解得，P（3，12）或（2，3）；（3）直线 yx+3 交抛物线于第一象限的点 M，联立，解得，A（3，0），M（2，5），在 RtOBC 中，tanOCB，如图 2，当 N 在 AM 下方时，过 A 作 y 轴平行线，过 M 作 x 轴平行线，两线交于点 G过 M 作 MQAM 交 AN 于 Q，过 Q 作 y 轴平行线交 GM 于 H，AGMMHQ90，AMG+GAM90，又
13、 AMMQ，AMQ90，AMG+HMQ90，GAMHMQ，又AGMMHQ90，AGMMHQ，A（3，0），M（2，5），AG5，GM5，MHHQ，Q（），设直线 AQ 为：yk2（x+3），代入点 Q，得，直线 AQ 为，联立，化简得，2x2+3x90，解得 x或3，当 x时，y，N（），当 N 在 AM 上方时，同理可得，N（3，12），N（）或（3，12）【例 4】（2021溧阳市一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，经过点 C 的直线 l 与该抛物线交于另一点 D，并且直线 lx轴，点 P（m，y1）为该
14、抛物线上一个动点，点 Q（m，y2）为直线 l 上一个动点（1）当 m0，且 y1y2时，连接 AQ，BD，说明：四边形 ABDQ 是平行四边形；（2）当 m0，连接 AQ，线段 AQ 与线段 OC 交于点 E，OEEC，且 OEEC2，连接 PQ，求线段 PQ的长；（3）连接 AC，PC，试探究：是否存在点 P，使得PCQ 与BAC 互为余角？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）求出点 D（3，3），求出 CQ2，DQ5，则 ABDQ，由平行四边形的判定可得出答案；（2）证明AOEQCE，得出，求出 QC2，则可得出答案；（3）分两种不同的情况：当点 P 在直线 l
15、 上方时，当点 P 在直线 l 下方时，由直角三角形的性质得出 tanPCQtanACO，列出方程求出答案即可【解答】解：（1）证明：当 y0 时，x30，解得 x11，x24，A（1，0），B（4，0），AB5当 x0 时，y3，C（0，3）直线 lx 轴，直线 l 的解析式为 y3x33，解得 x30，x43，D（3，3），CD3点 Q（m，y2）在直线 l 上，y23y1，y1，m0，点 P（m，y1）在该抛物线上，解得 m2 或 m5（舍去）直线 lx 轴，CQ2，DQ5，ABDQ，ABDQ，四边形 ABDQ 是平行四边形（2）P，Q 两点的横坐标都是 m，直线 lx 轴，PQ|y1y
16、2|m|，设 OEn，则 EC3n，n（3n）2，解得 n1 或 n2OEEC，OE1，EC2直线 lx 轴，OAECQE，AOEQCE，AOEQCE，QC2，m0，m2，PQ；（3）存在假设存在点 P，使得PCQ 与BAC 互为余角，即PCQ+BAC90BAC+ACO90，PCQACOOA1，OC3，tanPCQtanACO，连接 PQ直线 lx 轴，直线 PQy 轴，PCQ 是直角三角形，且CQP90tanPCQ，当点 P 在直线 l 上方时，PQy1y2m，（i）若点 P 在 y 轴左侧，则 m0，QCmm（m），解得 m10（舍去），m2（舍去）（ii）若点 P 在 y 轴右侧，则 m
17、0，QCmmm，解得 m30（舍去），m4y1y2，y1，；当点 P 在直线 l 下方时，m0，QCm，PQy2y1m，mm，解得 m50（舍去），m6，y2y1，y1，综上，存在点，使得PCQ 与BAC 互为余角【例 5】（2020十堰）已知抛物线 yax22ax+c 过点 A（1，0）和 C（0，3），与 x 轴交于另一点 B，顶点为 D（1）求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标；（2）如图 1，E 为线段 BC 上方的抛物线上一点，EFBC，垂足为 F，EMx 轴，垂足为 M，交 BC 于点 G当 BGCF 时，求EFG 的面积；（3）如图 2，AC 与 BD 的延长线交于点 H，在
18、x 轴上方的抛物线上是否存在点 P，使OPBAHB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求出 a 的值即可得到解析式，进而得到顶点 D 坐标；（2）先求出 BC 的解析式 yx+3，再设直线 EF 的解析式为 yx+b，设点 E 的坐标为（m，m2+2m+3），联立方程求出点 F，G 的坐标，根据 BG2CF2列出关于 m 的方程并求解，然后求得 G 的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；（3）过点 A 作 ANHB，先求得直线 BD，AN 的解析式，得到 H，N 的坐标，进而得到H45，设点 P（n，n2+2n+3），过点 P 作 PRx 轴于点 R，
19、在 x 轴上作点 S 使得 RSPR，证明OPSOBP，根据相似三角形对应边成比例得到关于 n 的方程，求解后即可得到点 P 的坐标【解析】（1）把点 A（1，0），C（0，3）代入 yax22ax+c 中，?洘?洘 x 暽 x 暽，解得?暽?x 暽，yx2+2x+3，当?暽?暽?时，y4，D（1，4）；（2）如图 1，抛物线 yx2+2x+3，令 y0，x1，或 x3，B（3，0）设 BC 的解析式为 ykx+b（k0），将点 C（0，3），B（3，0）代入，得?暽 晦洘?暽，解得晦 暽?暽，yx+3EFCB设直线 EF 的解析式为 yx+b，设点 E 的坐标为（m，m2+2m+3），将点
20、E 坐标代入 yx+b 中，得 bm2+m+3，yxm2+m+3，联立得?暽?洘?暽?洘?洘?暽?暽?洘?洘?，?洘?洘?把 xm 代入 yx+3，得 ym+3，G（m，m+3）BGCFBG2CF2，即?洘?暽?洘?解得 m2 或 m3点 E 是 BC 上方抛物线上的点，m3，（舍去）点 E（2，3），F（1，2），G（2，1），?暽?洘?暽，?緰 暽?洘?暽，?緰暽?暽?；（3）如图 2，过点 A 作 ANHB 于 N，点 D（1，4），B（3，0），yDB2x+6点 A（1，0），点 C（0，3），yAC3x+3，联立得?暽?洘?暽?洘?，?暽?暽?，?，?设?暽?洘?，把（1，0）代入，
21、得 b暽?，?暽?洘?，联立得?暽?洘?暽?洘?，?暽?暽?，?，?，?暽?洘?洘?暽?洘?，?暽?洘?，ANHNH45设点 P（n，n2+2n+3）过点 P 作 PRx 轴于点 R，在 x 轴上作点 S 使得 RSPR，RSP45且点 S 的坐标为（n2+3n+3，0）若OPBAHB45在OPS 和OPB 中，POSPOB，OSPOPB，OPSOBP?暽?OP2OBOSn2+（n+1）2（n3）23（n2+3n+3）n0 或?暽?或 n3（舍去）P1（0，3），?洘?，?洘?，?，?【例 6】（2020包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y暽?x22x 经过坐标原点，与 x 轴正半轴交于
22、点A，该抛物线的顶点为 M，直线 y暽?x+b 经过点 A，与 y 轴交于点 B，连接 OM（1）求 b 的值及点 M 的坐标；（2）将直线 AB 向下平移，得到过点 M 的直线 ymx+n，且与 x 轴负半轴交于点 C，取点 D（2，0），连接 DM，求证：ADMACM45；（3）点 E 是线段 AB 上一动点，点 F 是线段 OA 上一动点，连接 EF，线段 EF 的延长线与线段 OM 交于点 G当BEF2BAO 时，是否存在点 E，使得 3GF4EF？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可（2）证明：如图 1 中，设平移后的直线的解析式为
23、 y暽?x+n把点 M 的坐标代入求出 n，过点 D（2，0）作 DHMC 于 H，则直线 DH 的解析式为 y2x4，构建方程组求出点 H 的坐标，证明 DHHM，推出DMC45可得结论（3）如图 2 中，过点 G 作 GHOA 于 H，过点 E 作 EKOA 于 K证明EFABAO，由题意EFAGFH，tanBAO暽?暽?暽?，推出 tanGFHtanEFK暽?，由 GHEK，推出緰?暽緰?暽?，设 GH4k，EK3k，构建方程求出 k 即可解决问题【解析】（1）解：对于抛物线 y暽?x22x，令 y0，得到?x22x0，解得 x0 或 6，A（6，0），直线 y暽?x+b 经过点 A，0
24、3+b，b3，y暽?x22x暽?（x3）23，M（3，3）（2）证明：如图 1 中，设平移后的直线的解析式 y暽?x+n平移后的直线经过 M（3，3），3暽洘n，n暽，平移后的直线的解析式为 y暽?x，过点 D（2，0）作 DHMC 于 H，则直线 DH 的解析式为 y2x4，由?暽?暽?，解得?暽?暽，H（1，2），D（2，0），M（3，3），DH暽洘?暽?，HM暽?洘 暽?，DHHMDMC45，ADMDMC+ACM，ADMACM45（3）解：如图 2 中，过点 G 作 GHOA 于 H，过点 E 作 EKOA 于 KBEF2BAO，BEFBAO+EFA，EFABAO，EFAGFH，tanB
25、AO暽?暽?暽?，tanGFHtanEFK暽?，GHEK，緰?暽緰?暽?，设 GH4k，EK3k，则 OHHG4k，FH8k，FKAK6k，OFAF12k3，k暽?，OF3，FKAK暽，EK暽?，OK暽?，E（?，?）【题组一】【题组一】1（2021海陵区一模）如图，点 C（0，）（a0）是 y 轴负半轴上的一点，经过点 C 作直线，与抛物线yax2交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），连接 OA、OB，设点 A 的横坐标为 m（m0）（1）若点 A 的坐标为（4，2），求点 C 的坐标；（2）若 AC：BC1：2，m1，求 a 的值，并证明：AOB90；（3）若 AC：BC1：k（
26、k1），问“AOB90”这一结论还成立吗？试说明理由【分析】（1）将 A（4，2）代入抛物线 yax2中，求得 a 的值，则 C 点坐标可得；（2）过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 A 作 AFBE 于 F，交 y 轴于 G，则AGy 轴，由 m1，可得点 A（1，a），则 ODAG1，OGADa；利用ACGABF，可得，求得 OEGF2，则 B（2，4a），BE4a，进而可得 BFBEEFBEOG3a，因为点 C（0，），所以 OC，可得 CG+a，利用ACGABF，可得，将 CG，BF的值代入即可求得 a 的值；利用勾股定理的逆定理可证明：AOB90
27、（3）“AOB90”这一结论还成立；理由与（2）的过程相同【解答】解：（1）将 A（4，2）代入抛物线 yax2中得：16a2解得：a点 C 的坐标（0，8）（2）过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 A 作 AFBE 于 F，交 y 轴于 G，则AGy 轴，如图，m1，A（1，a）ODAG1，OGADEFaAC：BC1：2，AC：AB1：3CGBF，ACGABFAF3GFAFAG2B（2，4a）BE4a，BFBEEF3aC（0，）（a0），OCCGOCOG+aACGABF，解得：aa0，aOA2AD2+OD21+a2，BO2BE2+OE24+16a2，OA
28、2+OB25+17a213.5又 AB2AF2+BF29+9a213.5，OA2+OB2AB2AOB90（3）过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 A 作 AFBE 于 F，交 y 轴于 G，则AGy 轴，如图，点 A 的横坐标为 m（m0），A（m，am2）ODAGm，OGADEFam2AC：BC1：k（k1），AC：AB1：（k+1）CGBF，ACGABFAF（1+k）mOEGFAFAGkmB（km，k2m2a）BEk2m2a，BFBEEFk2m2a+am2C（0，）（a0），OCCGOCOG+am2ACGABF，解得：OA2AD2+OD2m2+a2m4
29、，BO2BE2+OE2k2m2+k4m4a2，OA2+OB2又 AB2AF2+BF2（kmm）2+（k2m2a+am2）2k2m2+2km2+m2+k4m4a22k2m4a2+a2m42，OA2+OB2AB2AOB90“AOB90”这一结论还成立2（2021郫都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c 的图象与轴交于 A（1，0），B（4，0），与 y 轴交于点 C（0，3），连接 AC、BC（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图 1，点 D 是抛物线上位于第四象限内的一点，连接 AD，点 E 是 AD 的中点，连接 BE、CE，求BCE 面积的最小值；（3）如图 2，点
30、P 是抛物线上位于第四象限内的一点，点 Q 在 y 轴上，PBQOBC，是否存在这样的点 P、Q 使 BPBQ，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用交点式设该抛物线的函数表达式为 ya(x+1)(x4)，将 C（0，3）代入，即可求出答案；（2）运用待定系数法求得直线 BC 的解析式为 yx3，过点 E 作 EMy 轴，交 BC 于 M，设 D(t，t2t3)，得出 SBCEEMOB2(t2t+)(t2)2+，运用二次函数求最值方法即可得出答案；（3）在 BC 上截取 BEBO4，过点 E 作 EGOC 交 x 轴于 G，作 EFBC 交 y 轴于 F，交抛物线于
31、 P，通过BEGBCO，得出 EG，BG，进而求得 E(，)，再利用ECFOCB，求出 F(0，)，运用待定系数法求出直线 EF 的解析式为 yx，进而联立方程组可求得答案【解答】解：（1）抛物线 yax2+bx+c 的图象与轴交于 A（1，0），B（4，0），设该抛物线的函数表达式为 ya(x+1)(x4)，将 C（0，3）代入，得：4a3，解得：a，y(x+1)(x4)x2x3，该抛物线的函数表达式为 yx2x3；（2）设直线 BC 的解析式为 ykx+n，B（4，0），C（0，3），解得：，直线 BC 的解析式为 yx3，过点 E 作 EMy 轴，交 BC 于 M，设 D(t，t2t3)
32、，点 E 是 AD 的中点，E(，t2t)，M(，)，EMt2tt2t+，SBCEEMOB2(t2t+)(t2)2+，0，当 t2 时，SBCE取得最小值；（3）存在，P(，)，Q(0，)如图 2，在 BC 上截取 BEBO4，过点 E 作 EGOC 交 x 轴于 G，作 EFBC 交 y 轴于 F，交抛物线于 P，B（4，0），C（0，3），OB4，OC3，CEBCBE1，BOC90，BC5，EGOC，BEGBCO，EG，BG，OGOBBG4，E(，)，EFBC，CEFCOB90，ECFOCB，ECFOCB，即，CF，OFOCCF3，F(0，)，设直线 EF 的解析式为 yk1x+n1，E(
33、，)，F(0，)，解得：，直线 EF 的解析式为 yx，联立方程组，得：，解得：（舍去），P(，)，在 RtBPE 中，PE，PBQOBC，PBE+CBQCBQ+QBO，PBEQBO，BEBO4，PEBQOB90，PEBQOB（SAS），BPBQ，OQPE，Q(0，)，存在，P(，)，Q(0，)3（2021新洲区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+（a2）x+2a 与 x 轴交于 A，B 两点（A 在B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C（1）若 AB5，求抛物线的解析式；（2）若经过点 C 和定点 M 的直线与该抛物线交于另一点 D，且 SACMSADM（“S”表示面积）求定点 M
34、 的坐标；连接 BD 交 y 轴于点 E，连接 AE，若AEOBDC，求 a 的值【分析】（1）令 yx2+（a2）x+2a0，解得 xa 或2，故点 A、B 的坐标分别为（2,0）、（a，0），则 ABa（2）5，即可求解；（2）SACMSADM，则点 M 是 CD 的中点，由中点公式得，点 M 的坐标为（t，），即可求解；在BEH 中，由直线 BD 的表达式知，tanHBN2，则 sinHBN，cosHBN，则 BNBHcosHBNBH，HNBHsinHBNBH，则 ENBENBaBH，tanHENtanAEO，BH，即可求解【解答】解：（1）令 yx2+（a2）x+2a0，解得 xa 或
35、2，故点 A、B 的坐标分别为（2,0）、（a，0），则 ABa（2）5，解得：a3，则抛物线的表达式为 yx2+x+6；（2）SACMSADM，而上述两个三角形的高相等，则 CMDM，即点 M 是 CD 的中点，由抛物线的表达式知，点 C 的坐标为（0,2a），设点 D 的坐标为（t，t2+（a2）t+2a），由中点公式得，点 M 的坐标为（t，），设 yt2t+a（t+2），当 t4 时，y 为定值4，即点 M 的坐标为（2，4）；由点 M、C（0,2a）的坐标，由中点公式得：点 D 的坐标为（4，82a），由 B、D 的坐标得，直线 BD 的表达式为 y2（xa），当 x0 时，y2（x
36、a）2a，即点 E 的坐标为（0，2a），则 OE2a，则 tanAEO；由点 B、E 的坐标得，BEa，过点 E 作 EHCD 交 x 轴于点 H，则HEBCDB，由点 C、D 的坐标得，直线 CD 的表达式为：y（a+2）（x+2），则直线 EH 的表达式为 y（a+2）x2a，令 y（a+2）x2a0，解得 x，则点 H（,0），则 BHa，在BEH 中，过点 H 作 HNBD 于点 N，由直线 BD 的表达式知，tanHBN2，则 sinHBN，cosHBN，则 BNBHcosHBNBH，HNBHsinHBNBH，则 ENBENBaBH，tanHENtanAEO，BH，解得 a1（舍去
37、负值），故 a1+4（2021东港区校级二模）如图，已知点 A（1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线 yax2+bx+c 上（1）求抛物线解析式；（2）在直线 BC 上方的抛物线上有一点 P，求PBC 面积的最大值及此时点 P 的坐标（3）在对称轴上求一点 M，使得 BMCM 最大；（4）在 x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 Q，使BQCBAC？若存在，求出 Q 点坐标；若不存在说明理由【分析】（1）用待定系数法解抛物线解析式为：y；（2）连接 PO，作POB 的高 PE，CPO 的高 PD，设点 P 坐标为（m，+1），用 m 的代数式表示出 SPBCSPCO+SPBOSC
38、BO+，即可求解；（3）由抛物线的解析式得，对称轴为直线 x1，作点 C 关于直线 x1 的对称点 C，则 MCMC，在MCB 中，BMCMBC，当 M，C，B 三点共线时，BMCMBC，此 BMCM 最小，由 B（3，0）和点 C（2，1）求直线 BC 的关系式为：yx+3，即可求解；（4）存在一点 Q，使BQCBAC，理由：作ABC 的外接圆D，交直线 x1 于点 Q，根据同弧所对圆周角相等，得BQCBAC，理由 K 型全等即可求得圆心坐标和半径，即可求解【解答】解：（1）把点 A（1，0），B（3，0），C（0，1）代入抛物线 yax2+bx+c，得，解得，抛物线解析式为：y；（2）连接
39、 PO，作POB 的高 PE，CPO 的高 PD，设点 P 坐标为（m，+1），SPBCSPCO+SPBOSCBO+当 m时，PBC 面积的最大，最大值为，此时点 P 坐标为（，）；（3）由抛物线的解析式得，对称轴为直线 x1，作点 C 关于直线 x1 的对称点 C，则 MCMC，点 C坐标为（2，1）在MCB 中，BMCMBC，当 M，C，B 三点共线时，BMCMBC，此 BMCM 最小，设 BC的函数解析式为：ykx+n，把 B（3，0）和点 C（2，1）代入得，解得，直线 bc的关系式为：yx+3，当 x1 时，y4，BMCM 最大时，点 M 坐标为（1，2）；（4）存在一点 Q，使BQ
40、CBAC，理由：作ABC 的外接圆D，交直线 x1 于点 Q，根据同弧所对圆周角相等，得BQCBAC，AB 的垂直平分线是直线 x1，圆心在直线 x1 上，在 RtCAO 中，AOCO，CAO45，CDB90，过点 C 作 CFDQ 于点 F，易证CFDDHB（AAS），CFDH1，半径 CD，点 Q 坐标为（1，1）【题组二】【题组二】5（2021郑州模拟）如图，已知直线 BC 的解析式为 yx+3，与 x 轴，y 轴交于点 B，C 抛物线 yax2+bx+3过 A（1，0），B，C 三点，D 点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，连接 BD，CD（1）求二次函数及直线 CD
41、 的解析式；（2）点 P 是线段 CD 上一点（不与点 C，D 重合），当BCP 的面积为时，求点 P 的坐标（3）点 F 是抛物线上一点，过点 F 作 FGCD 交直线 CD 于点 G，当CFGEDB 时，请直接写出点 F 的坐标【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由BCP 的面积PH（xBxC）2m（30），即可求解；（3）分类讨论，画出图形，利用数形结合的方法，由三角形相似求出点 F 的坐标，进而求解【解答】解：（1）对于 yx+3，令 yx+30，解得 x3，令 x0，则 y3，故点 B、C 的坐标分别为（0，3）、（3，0），由题意把点 A（1，0）、B（3，0）代入 yax2
42、+bx+3 得：，解得，此抛物线解析式为：yx2+2x+3；（2）由抛物线的表达式知，点 D 的坐标为（1，4），由点 C、D 的坐标得，直线 CD 的表达式为 yx+3，过点 P 作 PHy 轴交 BC 于点 H，设点 P 的坐标为（m，m+3），则点 H（m，m+3），则 PH2m，则BCP 的面积PH（xBxC）2m（30），解得 m，故点 P 的坐标为（，）；（3）抛物线 y（x3）（x+1）x2+2x+3 与与 y 轴交于点 C，C 点坐标为（0，3），顶点（1，4），E（1，0）tanBDE当点 M 在对称轴的右侧时（I）当点 G 在射线 CD 上时，如图 2，过点 G 作 y 轴
43、的垂线，垂足为 R，过点 F 作 GR 的垂线，垂足为 H，则CGR，FGH 均为等腰直角三角形CFGBDE，tanCFGtanBDECGR，FGH 相似比为 1：2设 CRa，则 RGa，FHGH2a，F（3a，3+a2a），即 F（3a，3a），将点 F 的坐标代入抛物线的解析式得：（3a）2+23a+33a，解得：a0（舍去）或 a；此时 F（，）（II）若点 G 在射线 DC 上，如图 3，过点 N 作 x 轴的垂线 l，分别过点 F、C 作 RG 的垂线，垂足为 H、R，则CGR，FGH 均为等腰直角三角形，CFGBDE，tanCFGtanBDE，CGR 与FGH 相似比为 1：2设
44、 CNa，则 GRa，GH2a，F（a，3a2a），即 F（a，33a），将点 F 的坐标代入抛物线的解析式得：a2+2a+333a，解得：a0（舍去）或 a5，此时 F（5，12）当点 F 在对称轴左侧时CFGBDE45，FCG45，抛物线左侧任意一点 K，都有KCG45，点 F 不存在综上可知，F（，）或（5，12）6（2021宝安区模拟）如图，二次函数 yax2+5ax+7 与 x 轴交于 A、C 两点，与 y 轴交于 B 点，若 OB：OC7：2点 P 是抛物线第二象限内的一个动点连接 PC 交 y 轴于点 D，连接 PB（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，设 P 点横坐标为 t，
45、PBD 的面积为 S，求 S 与 t 的关系式；（3）如图 2，作 PEx 轴于 E，连接 ED，点 F 为 ED 上一个动点，连接 AF 交 PE 于点 G，若 2GAO+EDO90，DF2EG，求 P 点坐标【分析】（1）根据 B 点坐标可求出 C 点坐标，将 C 点坐标代入解析式即可求 a 值确定函数解析式；（2）作 PHx 轴于 H，证CDOCPH，得线段比例关系，根据 P 点在抛物线上写出 P 点的坐标，再用含有 t 的代数式计算 OD 的长度，根据面积公式计算出 S 的函数解析式即可；（3）设 EGy，则 DF2y，延长 EA 至 K，使 AK2y，证AGEKDO，得线段比例关系，
46、分别用含 t 和 y 的代数式表示出各线段，再利用勾股定理列出 t 和 y 的另一关系式解方程组即可【解答】解析：（1）B 点是二次函数 yax2+5ax+7 与 y 轴交点，当 x0 时，y7，B（0，7），OB7，OB：OC7：2，OC2，C（2，0），把 C 点坐标代入解析式得 4a+10a+70，解得：a，函数解析式为：；（2）如图 1，作 PHx 轴于 H，CODCHP90，PCAPCA，CDOCPH，P 点在抛物线（t+7）（t2）上，P（），CH2t，PH，ODt+7，BDOBOD7（t+7）t，SBDOH（t）（t）t2；（3）EDO+DEO90，EDO+2GAO90，DEO2
47、GAO，GAOGFE，A 点是抛物线与 x 轴的交点坐标，A（7，0），AEEF7+t，OD7+t，即 AEEFOD，设 EGy，则 DF2y，延长 EA 至 K，使 AK2y，则 EKDE，AFE 和KED 为同顶角的等腰三角形，FAEDKE，又GEADOK90，AGEKDO，在 RtEDO 中，OE2+OD2DE2，（t）2+（7+t）2（2y+7+t）2，即 t24y（7+t）+4y2，联立得，t10（舍去），t24，P（4，9）7（2021渭滨区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 yax22x+c 与 x 轴交于点A（1，0），点 B（3，0），与 y 轴相交于
48、点 C（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）已知点 C 关于抛物线对称轴的对称点为点 N，连接 BC，BN，点 H 在 x 轴上，当HCBNBC时，求满足条件的点 H 的坐标【分析】（1）利用待定系数法将 A，B 的坐标代入抛物线解析式即可求出 a 和 c，再运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标；（2）如图，连接 CN，分两种情况：当 BNCH1时，H1CBNBC，根据平行四边形性质即可求出答案，当H2CBNBC 时，利用待定系数法求得直线 BN 解析式为 y3x+9，设 BN 和 CH2的交点 M（m，3m+9），由 BMCM，即 BM2CM2，建立方程求解得出 M（，），再
49、求出直线 MC 的解析式是：yx+3，即可得出 H2（9，0）【解答】解：（1）把 A（1，0），B（3，0）代入抛物线 yax22x+c 中，得，解得：，抛物线的表达式为：yx22x+3；yx22x+3y（x+1）2+4，顶点坐标为（1，4）；（2）如图，连接 CN，由对称得：N（2，3），分以下两种情况：当 BNCH1时，H1CBNBC，CNAB，四边形 CNBH1是平行四边形，H1（1，0）；当H2CBNBC 时，令 x0，得 y3，C（0，3），设直线 BN 解析式为 ykx+b，B（3，0），N（2，3），解得：，直线 BN 解析式为 y3x+9，设 BN 和 CH2的交点 M（m，
50、3m+9），H2CBNBC，BMCM，即 BM2CM2，（3m+9）2+（m+3）2m2+（33m9）2，解得：，M（，），设直线 MC 的解析式为 ymx+n，M（，），C（0，3），解得：，直线 MC 的解析式是：yx+3，令 y0，得x+30，解得：x9，H2（9，0）；综上所述，满足条件的点 H 的坐标是（1，0）或（9，0）8（2021山西模拟）综合与探究：如图，已知抛物线与 x 轴相交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的右侧），且与 y 轴交于点 C（1）求 A，B，C 三点的坐标；（2）如图 1，若 M（m，y1），N（n，y2）是第四象限内抛物线上的两个动点，且 mn，m+n