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1、云南省昆明市云南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期适应性月考卷（三）云南省昆明市云南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期适应性月考卷（三）数学参考答案第 1 页（共 11 页）数学参考答案 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D C B C B【解析】1复数13i(13i)(2i)17i17i2i(2i)(2i)555z 的虚部为75，故选A 2因为ABA，所以BA则由|04Bxx，可得30264mm，13m ，故选D 3 因为()f x
2、 为幂函数，所以设()f xx，则231(8)2824f，所以23，23，则2331(4)416f，故选B 4因为(158160)0.2PX，所以(162)0.20.50.7P X，则随机抽取该地区1000名成年女性，其中身高不超过162cm的人数服从(1000 0.7)YB，所以()700E Ynp，故选D 5因为1101011056()105()5()02aaSaaaa ，所以560aa，又37520aaa，所以50a，所以60a，则max5()nSS，故选C 6 将M方程与抛物线方程联立，得224160(*)yyr，设1122()()A xyB xy，则由M与 抛 物 线 有 四 个 不
3、 同 的 交 点 可 得(*)有 两 个 不 等 的 正 根，得2212212164(16)448040160rryyy yr，即2(12 16)r，由 抛 物 线 定 义 可 得2121212|(1)(1)()121(5 9)FA FByyy yyyr，故选 B 725(2)xx表示 5 个2(2)xx相乘，含4x 的项可以是在 5 个2(2)xx中选 3 个 2，2个2x相乘得到，也可以是在 5 个2(2)xx中选 2 个 2，2 个x，1 个2x相乘得到，也 数学参考答案第 2 页（共 11 页）可 以 是 在 5 个2(2)xx中 选 1 个 2，4 个x相 乘 得 到，所 以 含4x
4、的 项 为3322222221444445535C 2()C 2 C()C 2801201030 xxxxxxxx，故选 C 8如图 1，取BD的中点M，连接AMCM，由2 3ABADBD，可 得ABD为 正 三 角 形，且32 332AMCM，所 以2232(2 6)1cos23 33AMC ，则21sin13AMC 2 23以M为原点，MC为x轴，过点M且与平面BCD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系如图 2，则(3 0)C，cos|1AxAMC MA ，sin|AyAMC MA2 2，所以(1 2 2)A，设O为三棱锥ABCD的外接球球心，则O在平面BCD的 投 影 必 为BCD的 外
5、心，则 设(1)Oh，由222|ROAOC可得22222(2 2)2hh，解得2h，所以22|6ROC由张衡的结论，25168，所以10，则三棱锥ABCD的外接球表面积为2424 10R，故选B 二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 BD BC ABD ABC【解析】9选择自由行的游客人数为381957，其小于40岁的概率是382573，故A错误；选择自由行中小于40岁和不小于40岁的人数比为2:1，则按年龄分层抽样抽取的6人中，有4人小于40岁，
6、有2人不小于40岁，设事件A为2人均小于40岁，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为2426C631()11C155P A ，故B正确；因为24.0876.635，所以可推断旅行方式与年龄没有关联，但对零假设犯错误的概率是不可知的，故C错误；因为24.0873.841，所以推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05，故D正确，故选BD 图 1 图 2 数学参考答案第 3 页（共 11 页）102221()(1)1Oxmym：，2222(1)(2)4Oxymm：，则1(1)O m，211rm，2(1 2)Om，22|rm，则0m，A错误（若(11)，在1O内，则221(1)220m，
7、即0m）；当1m时，1(11)O，12r，2(1 2)O，22r，所 以12|3OO (22 22)，所以两圆相交，共两条公切线，B正确；12OO，得(22)(24)10mxm y，即(24)(221)0mxyxy，令2402210 xyxy，解得1316xy，所以定点为1136，C 正确；公共弦所在直线的斜率为2224mm，令221242mm，无解，所以 D 错误，故选 BC 11因为()f x经过点508，所以55 2sin088f，又58在()f x 的单调递减区 间 内，所 以5 2()8kkZ；又 因 为()f x经 过 点514，所 以55 2sin144f，5 2sin42，又5
8、4x 是()1f x 在58x 时最小的解，所以5 92()44kkZ联立、，可得5 584，即2，代入，可得2()4kk Z，又|2，所以4，则()2sin 24f xx()f x的最小正周期为22，A 正确()f x向左平移38个单位后得到的新函数是3()2sin 22sin 22cos2842f xxxx，为偶函数，B 正确 设()1f x在(0)m，上的 6 个根从小到大依次为126xxx，令242x，则38x，根据()f x的对称性，可得12328xx，则由()f x的周期性可得342xx38T118，563192288xxT，所 以61311193328884iix，C错 误 作
9、与240lxy：平行的直线，使其与5()04f xx，有公共点，则在运动的过程中，只有当直线与5()04f xx，相切时，直线与l存在最小距离，也是点M到直线 数学参考答案第 4 页（共 11 页）240 xy的最小距离，令()2 2cos 224fxx，则22 44xk()kZ，解得xk()kZ或()4xkkZ，又504x，所以5044x，（舍去），又(0)1f，令1(01)M，14f，214M，则由14|14|255 可得1M到直线l的距离大于2M到直线l的距离，所以M到直线240 xy的距离最小时，M的横坐标为4，D正确，故选ABD 12由为黄金分割双曲线可得accac，即22aacc(
10、*)，对(*)两边同除以2a可得210ee，则512e，A正 确；对(*)继 续 变 形 得222accab，222222222222|2()3ABBFabcbaccaca，22|()AFac 222223aaccca，ABBF，由射影定理（即三角形相似）可得B正确；设11()P xy，22()Q xy，00()M xy，将P Q，坐标代入双曲线方程，作差后整理可得2202122105112PQOMyyybkkexxxa ，故C正确；设直线OPykx：，代入双曲线方程222222b xa ya b，可得222222a bxba k，则2222222a b kyba k，222222222(1)
11、|a bkOPxyba k，将k换 成1k即 得2|OQ222222(1)a bkb ka，则22222222222211()(1)|(1)bakbaOPOQa bka b与a，b的值有关，故D错误，故选ABC 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16 答案(2 0)，1yx 120 4(21)【解析】13不妨设a，b起点都在原点，设aOA，则A为(2 9)，点OA，分别在b所在直线x轴上的投影为点O和点(2 0)A，所以a在b上的投影向量为(2 0)OA，14因为()ln1fxx，所以(1)1f，又(1)0f，所以()lnf xxx在1x处的切线方程为0
12、1yx，即1yx 数学参考答案第 5 页（共 11 页）15 设该四位数为1234a a a a，则1*aN，(2 3 4)iaiN，且1234aaaa8 令11aa，1(2 3 4)iiaai，则*(1 2 3 4)iai，且123411aaaa所以该问题相当于把11个完全相同的小球放入4个不用的盒子，且每个盒子至少放一个小球，采用隔板法：在11个小球的10个空隙中选择3个插入隔板，所以共有310C120种放法 16设2220 xyr，则221xyrr，则点xyrr，在单位圆上，根据三角函数的定义，可设cosxr，sinyr，则cossinxryr，则由222xyxyxyyx可得22222c
13、ossin12sincos2sincos(cossin)sincossincosrrr，则222sin2cos2sin2rr，所以2(cos2sin2)r2sin2，则222222111sin2(cos2sin2)sin2 cos2sin 2sin4sin 2222r44sin4cos412sin 414，又2sin 41(0214，所以当且仅当sin 414，即162k时，2min44(21)21r 四、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）解：（1）1(24681012)76x，624.84y，24.844.146y，61217.28iiix y，
14、621364iix，1221666217.2824.84743.40.62364649706iiiiix yx ybxx，（4分）4.140.6270.2aybx，y关于x的线性回归方程为0.620.2yx（6分）（2）令0.620.22.90yx，解得5x，则该样本中所含的还原糖大约相当于5mL的标准葡萄糖溶液.（10分）数学参考答案第 6 页（共 11 页）18（本小题满分12分）解：（1）A B C，成等差数列，2ACB，（1分）又ACB，3B，23AC，又2AC，1 272 234312A，1 22323412C，（3分）2317sinsin2223132 314312:sin:sin
15、231231sinsin1234222a cAC 23 （5分）（2）由题意可得，22aabacabb，即22baac，（6分）由余弦定理结合（1）可得22221cos2222acbcaccaBacaca，2ca，（8分）由正弦定理可得sin2sinCA，又23ABCC，2sin2sin3cossin3CCCC，（10分）cos0C，又(0)C，2C，ABC为直角三角形.（12分）19（本小题满分12分）解：（1）由题意，当*nN时，13111(1)4224nnnnPPPP ，（2分）数学参考答案第 7 页（共 11 页）则12111234643nnnPPP，（4分）又121315P，23nP
16、是首项为115，公比为14的等比数列，12113154nnP ，11121543nnP (*)nN.（6分）（2）记iA为第i次射击击中目标，则由题意可得13()5P A，213(|)4P AA，211(|)2P AA，X可取到的值为0 2 4，且 12211121(0)()(|)()255P XP A AP AA P A，212121121112137(2)()()(|)()(|)()254520P XP A AP A AP AA P AP AA P A，12211339(4)()(|)()4520P XP A AP AA P A，则X的分布列为：X 0 2 4 P 15 720 920 （
17、10分）1795()024520202E X.（12分）20（本小题满分12分）（1）证明：平面DAB平面ABC，平面ABC 平面ABDAB，ABBD，且BD平面ABD，BD平面ABC，又AC平面ABC，BDAC，又BP平面ACD，AC平面ACD，BPAC，且BPBDB，BP BD，平面BCD，数学参考答案第 8 页（共 11 页）AC平面BCD，又BC平面BCD，ACBC.（4分）（2）解：法一（几何法）：DEDFDADC，EFAC，如图3，过点B作直线l平行于AC，则lACEF，则l同时在平面EFB与平面ABC内，是两平面的交线，又由（1）AC平面BCD，可得ACFB，ACBC，BCl且F
18、Bl，由二面角的平面角的定义可得FBC是平面EFB与平面ABC所成角，（8分）设2ABBD，则2BCAC，过点F作FMBC于点M，则122FMFCFMBDCD，且2BMDFBMBCDC，3cos3FBC，231322tan2323FMFBCBM，解得12.（12分）法二（向量法）：如图4，以点C为原点，分别以CB，CA，过点C且与平面ABC垂直的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设2ABBD，则2ACBC，(0 0 0)C，(02 0)A，(2 0 0)B，(2 0 2)D，则(222)DA ，(2 02)DC，(0 02)DB，（6分）图 3 图 4 数学参考答案第 9 页（共 11
19、 页）由DEDFDADC，可得(222)DEDA ，(202)DFDC，(020)EFDFDE，(2222)EBDBDE ，（8分）设1111()nxyz，为平面EFB的法向量，则11112022(22)0yxyz，可得一组解为12 01n，（10分）取平面ABC的法向量2(0 0 1)n，则1212212|31|cos|3|21nnnnnn ，令01m，则2132mm，化简得2232mm，即1m，12.（12 分）21（本小题满分 12 分）（1）解：设点()N xy，()G xy，则由点 G 与 P，Q 两点的距离之和为42|33PQ，可得点 G 的轨迹是以 P，Q 为焦点且长轴长为43的
20、椭圆，其轨迹方程为229314xy 由0GNGPGQ，可得33xyxy，代入点 G 的轨迹方程，可得：229314 33xy，即22143xyC：（4 分）（第一问也可以利用几何法：由条件可知 G 为NPQ的重心，延长 PG，QG，必分别交NQ，NP 的中点（分别设为 H，I），取1(1 0)F ，2(1 0)F，则12|2|NFNFHP 12332|2|2|3(|)4|22IQGPGQGPGQFF，由椭圆定义可得C的方程）（2）证明：设点00()M xy，则00(1)1yMEyxx：，即000(1)0y xxyy，00(2)2yMAyxx：，令4x，得0062yyx，00642yRx，（6
21、分）数学参考答案第 10 页（共 11 页）过 R 作直线 ME 的垂线，垂足为点 T，则要证 ER 为MES的角平分线，只需证|RTRS，又000000000222222000000006(1)42|3(4)|(123)|(1)(2)(1)(2)(1)yxyyxyxxyRTyxxyxxyx，006|2RyRSyx，（8 分）00y，|RTRS，当且仅当0220042(1)xyx，即222000(4)4(1)xyx时，又00()xy，在C上，则2200143xy，即22004123yx，代入上式可得22200000168123484xxxxx恒成立，ER为MES的角平分线得证（12 分）（第（
22、2）问也可利用二倍角公式，证明221REMEREkkk）22（本小题满分 12 分）解：（1）()e2xfxa，当0a时，()0fx在R上恒成立，()f x 在R上单调递减；（2 分）当0a 时，()fx在R上单调递增，且当()0fx时，2lnxa，当2lnxa，时，()0fx，()f x 单调递减；当2lnxa，时，()0fx，()f x 单调递增.（4 分）（2）55()e()e(e21)044xxxF xf xaxaa，若0a，55(0)12151044Faaaa ，与()0F x 在R上恒成立矛盾，0a，（6 分）数学参考答案第 11 页（共 11 页）则()e(e21e2)e(2 e
23、23)xxxxxF xaxaax，令()2 e23xh xax，则由0a可知()h x 在R上单调递减，又当0 x时，e1x，2 e2xaa，232(23)302ahaa，又(0)230ha，02302ax，使得000()2 e230 xh xax，（8 分）0023e02xxa，0a，0032302xx，且当0()xx，时，()0()0()h xF xF x，单调递增；当0()xx，时，()0()0()h xF xF x，单调递减，0000max000232355()()e(e21)214224xxxxF xF xaxaxaaaa 220000011(23)(42)(23)5(448)044xxxxxaa，（10分）又0a，2004480 xx，解得033 2 1222x ，令23()2exxm x，则22321()2e2exxxxm x在322，上恒大于0，()m x在322，上单调递增，2min21e(2)2e2am（12分）