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1、重庆七中高重庆七中高 2023 级高二（上）第一次月考级高二（上）第一次月考试题数学试题数学一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，合计 40 分）1经过两点 A(1,13)和 B(1,31)的直线 l 的倾斜角是（）A30B60C120D1502在空间直角坐标系中，点1,2,3A关于平面xOz的对称点为 B，关于x轴的对称点为 C，则 B、C 间的距离为（）A4B2 5C6D2 133圆 x2y24y10 的圆心和半径分别为（）A（0，2），5B（0，2），5C（2，0），5D（2，2），54已知向量(1a，2x，2)，(0b，1，2)，(1c，0，0)，若a，b，c共面，则x等于（）A1
2、B1C1 或1D1 或 05数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线 已知ABC 的顶点 A（4，0），B（0，2），且 ACBC，则ABC 的欧拉线方程为（）A2x+y30B2xy30Cx2y+30Dx2y306如图，ABCDEFGH 是棱长为 1 的正方体，若 P 在正方体内部且满足312423APABADAE ，则 P 到 AB 的距离为（）A34B45C56D357过圆4222yx外一点 P(m,n)，作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，m,n 满足的关系式为（）A4
3、222nmB4222nmC8222nmD8222nm8在棱长为 1 的正四面体ABCD中，点M满足1AMxAByACxy AD ，点N满足1DNDADB ，当AMDN、最短时，AM MN （）A13B13C23D23二、多选题（共 4 小题，每小题 5 分，合计 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有错的选得 0 分）9已知直线，则下列结论正确的是（）A直线 l 的倾斜角是B直线 l 在 y 轴上的截距为 1C过与直线 l 平行的直线方程是D若直线则10给出下列命题，其中为假命题的是（）A已知n为平面的一个法向量，m为直线l的一个方向向
4、量，若nm，则/lB已知n为平面的一个法向量，m为直线l的一个方向向量，若2,3n m，则l与所成角为6C若两个不同的平面，的法向量分别为u，v，且(1,2,2)u，(2,4,4)v ，则/D已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数,x y z使得pxaybzc11圆 C：x2y24x6y30，直线 l：3x4y70，点 P 在圆 C 上，点 Q 在直线 l上，则下列结论正确的是（）A直线 l 与圆 C 相交B|PQ|的最小值是 1C从 Q 点向圆 C 引切线，切线长的最小值是 3D直线 yk(x2)4 与曲线241xy有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是43
5、,125(12如图，边长为 1 的正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面互相垂直，动点 M，N 分别在正方形对角线 AC 和 BF 上移动，且02CMBNaa则下列结论中正确的有（）A当12a 时，ME 与 CN 相交BMN始终与平面 BCE 平行C异面直线 AC与 BF 所成的角为45D当22a 时，MN 的长最小，最小为22三、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，合计 20 分）13圆1)4()3(22yx关于点(1,2)的对称圆的方程是14一个向量p在基底,a b c下的坐标为(1，2，3)，则p在基底,ab ab c下的坐标为15已知直线 l：x2y40 与圆：x2+
6、y24 交于 A，B 两点，过 A，B 分别做 l 的垂线与x 轴交于 C，D 两点，则|CD|16在边长为 2 的菱形 ABCD 中，2BAC，沿对角线 AC 将ACD 折起，使 AB 与CD 成3角，则此时 B、D 两点之间的距离为四、解答题（共 6 小题，合计 70 分，其中第 17 题 10 分，其余各题每题 12 分解答时需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（1）已知直线 l1：ax3y10，l2：2x(a1)y10，若 l1l2，求 a 的值；（2）已知直线 l 的方程为01243yx，直线 l 与 l 垂直，且 l 与两坐标轴围成的三角形面积为 4，求直线 l 的方程1
7、8已知平行六面体1111ABCDABC D，11ADAAAB，1160A ABDABDAA ，1113ACNC，12D BMB，设ABa，ADb，1AAc；（1）试用a、b、c表示MN；（2）求MN的长度19求满足下列条件的圆的标准方程：（1）圆心为 C(0,2)，且被直线 2xy30 截得的弦长为4 5；（2）过点 A(1,3)，B(3,1)，且圆心在直线 x2y10 上20如图，在直四棱柱1111ABCDABC D中，90ABCBAD，14A DA A，2ABBC，M为1AC的中点，点N在线段AD上（1）当1AN 时，求异面直线MN和1AB所成角的余弦值；（2）当AN为何值时，直线AN与平
8、面1ABC所成角的正弦值为4 515？21已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴正半轴上，直线 3x4y40 与圆 C 相切（1）求圆 C 的方程；（2）若过点(0,3)的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2)，且 x1x2y1y23，求AOB 的面积22如图，四棱锥PABCD的底面 ABCD 是等腰梯形，/ABCD，1BCCD，2AB PBC是等边三角形，平面PBC 平面 ABCD，点 M 在棱 PC 上（1）当 M 为棱 PC 中点时，求证：APBM；（2）是否存在点 M 使得平面 DMB 与平面 CMB 的夹角的余弦值为34，若存在，求 CM 的长；若不
9、存在，请说明理由重庆七中高重庆七中高 2023 级高二（上）第一次月考级高二（上）第一次月考试题试题数学答案数学答案及解析及解析一、单选题：BCACBCDA5 解：线段 AB 的中点为（2，1），线段 AB 的垂直平分线为：y2（x2）+1，即 2xy30，ACBC，三角形的外心、重心、垂心依次位于 AB 的垂直平分线上，因此ABC 的欧拉线方程为 2xy30，故选：B7 提示：点 P 与圆心、两切点构成了正方形，点 P 到圆心的距离等于2r8 解：1AMxAByACxy AD ，1DNDADB ，AMADx ABADy ACAD ，DNDBDADB ，即:DMxDByDC ，BNBA；M平面
10、BCD，N直线AB，所以当AM、DN最短时，AM 平面BCD，DNAB，M为BCD的中心，N为线段AB的中点，如图：又正四面体的棱长为 1，63AM，AM 平面BCD，2cos60AM ABAMABAM ，AM MN AMANAM 12AMABAM 212AM AMAM 212AM 161293 故选：A二、多选题：BCADBCDBD12 解：如图建立空间坐标系，则1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,1,0ACFE,因为CMBNa，所以,0,1,02222aaaaMN，若 ME 与 CN 相交，则四点共面又 M、C、E 在平面 ACE所以当且仅当 N 在平面 ACE 时，ME 与 CN 相
11、交，此时22a，故 A 错误；平面 BCE 的法向量为1,0,0,0,122aaBAMN ，此时0BA MN ，MN 始终与平面 BCE 平行，故 B 正确；1,0,1,1,1,0,ACBF 设异面直线 AC 与 BF 所成的角为，所以11cos222AG BFAGBF ，所以异面直线 AC 与 BF 所成的角为 60故 C 错误D 正确三、填空题：13、(x1)2(y8)2114、31(,3)2215、4 或16、216 解：由题意，圆心到直线的距离 d，|AB|2，直线 l：l：x2y40，设其倾斜角为，则 tan，cos，则|CD|故答案为：2四、解答题：17 解：（1）l1l2，a(a
12、1)6，解得：a3 或 2经检验：a3 符合题意（2）由题意，设 l 的方程为：4x3yC0，令 x0 得：3Cy；令 y0 得：4Cx；l 与两坐标轴围成的三角形面积为 4，4|)4(3|21CC，解得：64C直线 l 的方程为：06434 yx18 解：（1）1111111112122323MNMDD AA ND BADACD DDBADABAD 112111223662cabbababc（2）111662MNabc，11ADAAAB，1160A ABDABDAA ，所以111 122a ba cb c 2222111111111662363641866MNabcabca ba cb c
13、22MN的长度为22MN 19 解：（1）圆心到直线的距离为：5)1(2|320|22d设圆的半径为 r，弦长为 l，由勾股定理得：54122ldr故所求圆的标准方程为：x2(y2)225（2）过 AB 的直线方程为 yx2，A、B 的中点为(1,1)，AB 的垂直平分线为 yx，由210yxxy 解得11xy ，即圆心坐标为(1,1)，半径为221 1134r ，所求圆的标准方程为：(x1)2(y1)21620 解：因为1111ABCDABC D是直四棱柱，所以1AA 平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，所以1AAAB，1AAAD.因为90BAD，所以1AA，AB，AD两两互相垂直.如图
14、，分别以AB，AD，1AA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则由224ADABBC，14AA，可得(0,0,0)A，(2,0,0)B，(2,2,0)C，1(0,0,4)A.因为 M为1AC的中点，所以(1,1,2)M.设ANa，所以(0,0)(04)Naa.（1）当1AN 时，(0,1,0)N.此时，所以(1,02)MN ，1(2,0,4)AB，于是11163cos,5|5 2 5MN ABMN ABMNAB .所以异面直线 MN和1AB所成角的余弦值为35.（2）由题意，则(1,1,2)MNa ，(0,2,0)BC ，1(2,0,4)AB.设平面1ABC的法向量为(,)nx y z，
15、则100n BCn AB ，即0,240.yxz，令2x，解得0y，1z，所以(2,0,1)n是平面1ABC的一个法向量.因为直线 MN与平面1ABC所成角的正弦值为4 515，所以2|22|4 5cos,15|5(1)5MN nMN nMNna ，解得3a 或1（舍去），所以3AN.21 解：(1)设圆心 C 的坐标为(a,0)(a0)，则圆 C 的方程为(x-a)2+y2=4.因为圆 C 与直线 3x-4y+4=0 相切，所以22|34|3(4)a =2，解得 a=2 或 a=-143(舍),所以圆 C 的方程为(x-2)2+y2=4.(2)依题意设直线 l 的方程为 y=kx-3，由22
16、3,(2)4ykxxy得(1+k2)x2-(4+6k)x+9=0,因为 l 与圆 C 相交于不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2)，所以=-(4+6k)2-4(1+k2)90，且 x1+x2=2461kk，x1x2=291k，所以 y1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2x1x2-3k(x1+x2)+9=2291kk-2212181kkk+9，又因为 x1x2+y1y2=3，所以291k+2291kk-2212181kkk+9=3，整理得 k2+4k-5=0，解得 k=1 或 k=-5(不满足0，舍去).所以直线 l 的方程为 y=x-3.所以圆心 C 到 l 的距离 d=|23|2=22，则|AB|=22222()2=14，又AOB 的底边 AB 上的高 h=32=3 22.所以 SAOB=12|AB|h=12143 22=3 72.22 解：（1）证明：连结AC，由题意，底面ABCD是等腰梯形且2,1ABBCCD，则3ABC，由余弦定理知3AC，222ACBCAB，,2ACBACBC平面PBC平面ABCD，平面PBC 平面ABCDBC，AC平面PBC，BM 平面PBC，ACBM，M为棱PC中点，且PBC是等边三角形，BMPC，又PCACC，BM平面APC，APBM.（2）