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1、20222022 年江苏省连云港市中考数学真题年江苏省连云港市中考数学真题一一、选择题选择题（本大题共有本大题共有 8 小题小题，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.3 的倒数是（）A.3B.3C.13D.132.下列图案中，是轴对称图形的是（）A.B.C.D.3.2021 年 12 月 9 日，“天宫课堂”正式开课，我国航天员在中国空间站首次进行太空授课，本次授课结束时，网络在线观看人数累计超过 14600000 人次把“1460
2、0000”用科学记数法表示为（）A.80.14610B.71.46 10C.614.610D.5146 104.在体育测试中，7 名女生仰卧起坐的成绩如下（次/分钟）：38，42，42，45，43，45，45，则这组数据的众数是（）A.38B.42C.43D.455.函数1yx中自变量x的取值范围是（）A.1xB.0 x C.0 x D.1x 6.ABC的三边长分别为 2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为 12，则DEF的周长是（）A.54B.36C.27D.217.如图，有一个半径为 2 的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过 9 点和 11 点的位置作一条线段，则钟面
3、中阴影部分的面积为（）A.2332B.233C.42 33D.4338.如图，将矩形 ABCD 沿着 GE、EC、GF 翻折，使得点 A、B、D 恰好都落在点 O 处，且点 G、O、C 在同一条直线上，同时点 E、O、F 在另一条直线上小炜同学得出以下结论：GFEC；AB=4 35AD；GE=6DF；OC=22OF；COFCEG其中正确的是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置小题，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）上）9.计算：23aa_10.已知A 的补角是 60，则A_11.写出一
4、个在 1 到 3 之间的无理数：_12.若关于x的一元二次方程2100mxnxm 的一个解是1x，则mn的值是_13.如图，AB是O的直径，AC是O的切线，A为切点，连接BC，与O交于点D，连接OD若82AOD，则C_14.如图，在6 6正方形网格中，ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A _15.如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.22.25yxx 运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是_m16.如图，在ABCD中，150ABC利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BF，使BEBF；分别以E、F为
5、圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在CBA内交于点G；作射线BG交DC于点H若3 1AD，则BH的长为_三三、解答题解答题（本大题共本大题共 11 小题小题，请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤）17.计算：01(10)1620222 18.解不等式 2x1312x，并把它的解集在数轴上表示出来19.化简：221311xxxx20.为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A乒乓球，B 排球，C 篮球，D 跳绳为了解学生最喜欢哪一种运动项目
6、，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表问卷情况统计表：运动项目人数A 乒乓球mB 排球10C 篮球80D 跳绳70（1）本次调查的样本容量是_，统计表中 m=_；（2）在扇形统计图中，“B 排球”对应的圆心角的度数是_；（3）若该校共有 2000 名学生，请你估计该校最喜欢“A 乒乓球”的学生人数21.“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3 种手势中的 1 种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出 3 种手势中的 1 种（
7、1）甲每次做出“石头”手势的概率为_；（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率22.我国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品每人出 8 钱，剩余 3 钱；每人出 7钱，还缺 4 钱问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格23.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数0yaxb a的图像与反比例函数0kykx的图像交于P、Q两点点4 3P,，点Q的纵坐标为2（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）求POQ的面积24.我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔阿育王塔，
8、是苏北地区现存最高和最古老的宝塔小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角45CAE，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角53CBE，10mAB；小亮在点G处竖立标杆FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，1.5mFG，2mGD （注：结果精确到0.01m，参考数据：sin530.799，cos530.602，tan531.327）（1）求阿育王塔的高度CE；（2）求小亮与阿育王塔之间的距离ED25.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DEAD，且BEDC（1）求证：四边形DBCE为菱形；（2）若DBC是边长为
9、 2 的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PMPN的最小值26.已知二次函数2(2)4yxmx m，其中2m（1）当该函数的图像经过原点0,0O，求此时函数图像的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数2(2)4yxmx m的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线2yx 上运动，平移后所得函数的图像与y轴的负半轴的交点为B，求AOB面积的最大值27.【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图 1 所示的方式摆放其中90ACBDEB，30B，3BEAC【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点 B 按顺
10、时针方向旋转（1）如图 2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离（3）连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图 1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图 3），求点G所经过的路径长（4）如图 4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是_20222022 年江苏省连云港市中考数学真题（解析）年江苏省连云港市中考数学真题（解析）一一、选择题选择题（本大题共有本大题共有 8 小题小题，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的
11、，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.3 的倒数是（）A.3B.3C.13D.13【答案】D【解析】【分析】根据倒数的定义，即可计算出结果【详解】解：3 的倒数是13；故选：D【点睛】本题考查了倒数的定义：乘积是 1 的两数互为倒数2.下列图案中，是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形【详解】A.是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；B.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；C.不是
12、轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选 A【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合3.2021 年 12 月 9 日，“天宫课堂”正式开课，我国航天员在中国空间站首次进行太空授课，本次授课结束时，网络在线观看人数累计超过 14600000 人次把“14600000”用科学记数法表示为（）A.80.14610B.71.46 10C.614.610D.5146 10【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表现形式为10na 的形式，其中110a，n 为整数，确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，
13、小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 10 时，n是正数，当原数绝对值小于 1 时 n 是负数；由此进行求解即可得到答案【详解】解：714600000=1.4610故选：B【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的具体要求4.在体育测试中，7 名女生仰卧起坐的成绩如下（次/分钟）：38，42，42，45，43，45，45，则这组数据的众数是（）A.38B.42C.43D.45【答案】D【解析】【分析】根据众数的定义即可求解【详解】解：45 出现了 3 次，出现次数最多，众数为 45故选 D【点睛】本题考查了求众数，掌握众数的
14、定义是解题的关键众数：在一组数据中出现次数最多的数5.函数1yx中自变量x的取值范围是（）A.1xB.0 x C.0 x D.1x【答案】A【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解【详解】解：10 x，1x故选 A【点睛】本题考查了求函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键6.ABC的三边长分别为 2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为 12，则DEF的周长是（）A.54B.36C.27D.21【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：ABC 与DEF 相似，ABC 的最长边为 4，DEF 的最长
15、边为 12，两个相似三角形的相似比为 1:3，DEF 的周长与ABC 的周长比为 3:1，DEF 的周长为 3（2+3+4）=27，故选：C【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键7.如图，有一个半径为 2 的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过 9 点和 11 点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）A.2332B.233C.42 33D.433【答案】B【解析】【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可【详解】解：如图，过点 OC 作 ODAB 于点 D，AOB=236012=60，O
16、AB 是等边三角形，AOD=BOD=30，OA=OB=AB=2，AD=BD=12AB=1，OD=223AOAD，阴影部分的面积为26021223336023，故选：B【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键8.如图，将矩形 ABCD 沿着 GE、EC、GF 翻折，使得点 A、B、D 恰好都落在点 O 处，且点 G、O、C 在同一条直线上，同时点 E、O、F 在另一条直线上小炜同学得出以下结论：GFEC；AB=4 35AD；GE=6DF；OC=22OF；COFCEG其中正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由折
17、叠的性质知FGE=90，GEC=90，点 G 为 AD 的中点，点 E 为 AB 的中点，设 AD=BC=2a，AB=CD=2b，在 RtCDG 中，由勾股定理求得 b=2a，然后利用勾股定理再求得 DF=FO=2a，据此求解即可【详解】解：根据折叠的性质知DGF=OGF，AGE=OGE，FGE=OGF+OGE=12(DGO+AGO)=90，同理GEC=90，GFEC；故正确；根据折叠的性质知 DG=GO，GA=GO，DG=GO=GA，即点 G 为 AD 的中点，同理可得点 E 为 AB 的中点，设 AD=BC=2a，AB=CD=2b，则 DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=O
18、E=b，GC=3a，在 RtCDG 中，CG2=DG2+CD2，即(3a)2=a2+(2b)2，b=2a，AB=22a=2AD，故不正确；设 DF=FO=x，则 FC=2b-x，在 RtCOF 中，CF2=OF2+OC2，即(2b-x)2=x2+(2a)2，x=22bab=2a，即 DF=FO=2a，GE=223aba，362GEaaDF，GE=6DF；故正确；22 22OCaaOF，OC=22OF；故正确；FCO 与GCE 不一定相等，COFCEG 不成立，故不正确；综上，正确的有，故选：B【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称的性质用含
19、x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置小题，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）上）9.计算：23aa_【答案】5a【解析】【分析】直接运用合并同类项法则进行计算即可得到答案【详解】解：23aa(23)a5a故答案为：5a【点睛】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键10.已知A 的补角是 60，则A_【答案】120【解析】【分析】如果两个角的和等于 180，就说这两个角互为补角由此定义即可求解【详解】
20、解：A 的补角是 60，A=180-60=120，故答案为：120【点睛】本题考查补角的定义，熟练掌握两个角互为补角的定义是解题的关键11.写出一个在 1 到 3 之间的无理数：_【答案】2(答案不唯一)【解析】【分析】由于 12=1，32=9，所以只需写出被开方数在 1 和 9 之间的，且不是完全平方数的数即可求解【详解】解：1 和 3 之间的无理数如2故答案为：2(答案不唯一)【点睛】本题主要考查常见无理数的定义和性质，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分12.若关于x的一元二次方程2100mxnxm 的一个解是1x，则mn的值是_【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义把1
21、x 代入到2100mxnxm 进行求解即可【详解】解：关于 x 的一元二次方程2100mxnxm 的一个解是1x，10mn，1mn，故答案为：1【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键13.如图，AB是O的直径，AC是O的切线，A为切点，连接BC，与O交于点D，连接OD若82AOD，则C_【答案】49【解析】【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得B=12AOD=41，根据 AC 是O 的切线得到BAC=90，即可求出答案【详解】解：AOD=82，B=12AOD=41，AC 为圆的切线，A 为切点，BAC=90，C=90-41=49故
22、答案为 49【点睛】此题考查圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形两锐角互余，正确理解圆周角定理及切线的性质定理是解题的关键14.如图，在6 6正方形网格中，ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A _【答案】45【解析】【分析】如图所示，过点 C 作 CEAB 于 E，先求出 CE，AE 的长，从而利用勾股定理求出 AC 的长，由此求解即可【详解】解：如图所示，过点 C 作 CEAB 于 E，由题意得43CEAE，225ACAECE，4sin=5CEAAC，故答案为：45【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理与网格问题正确作出辅助线，构造直角三角形是解题
23、的关键15.如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.22.25yxx 运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是_m【答案】4【解析】【分析】将3.05y 代入20.22.25yxx 中可求出 x，结合图形可知4x，即可求出 OH【详解】解：当3.05y 时，20.22.25 3.05xx=，解得：1x 或4x，结合图形可知：4OHm，故答案为：4【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定 x 的值16.如图，在ABCD中，150ABC利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BF，使BEBF；分别以E、F为圆心
24、，大于12EF的长为半径作弧，两弧在CBA内交于点G；作射线BG交DC于点H若3 1AD，则BH的长为_【答案】2【解析】【分析】如图所示，过点 H 作 HMBC 于 M，由作图方法可知，BH 平分ABC，即可证明CBH=CHB，得到31CHBC，从而求出 HM，CM 的长，进而求出 BM 的长，即可利用勾股定理求出 BH 的长【详解】解：如图所示，过点 H 作 HMBC 于 M，由作图方法可知，BH 平分ABC，ABH=CBH，四边形 ABCD 是平行四边形，31BCADABCD，CHB=ABH，C=180-ABC=30，CBH=CHB，31CHBC，13122HMCH，22332CMCHC
25、M，312BMBCCM，222BHHMBM，故答案为：2【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出 CH 的长是解题的关键三三、解答题解答题（本大题共本大题共 11 小题小题，请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤）17.计算：01(10)1620222【答案】2【解析】【分析】根据有理数的乘法，二次根式的性质，零指数的计算法则求解即可【详解】解：原式541=2【点睛】本题主要考查了有理数的乘法
26、，二次根式的性质，零指数，熟知相关计算法则是解题的关键18.解不等式 2x1312x，并把它的解集在数轴上表示出来【答案】不等式的解集为 x1，在数轴上表示见解析.【解析】【详解】试题分析：根据不等式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来试题解析：去分母，得：4x23x1，移项，得：4x3x21，合并同类项，得：x1，将不等式解集表示在数轴上如图：19.化简：221311xxxx【答案】11xx【解析】【分析】根据异分母分式的加法计算法则求解即可【详解】解：原式2221311xxxxx22131
27、xxxx 22211xxx22(1)1xx2(1)=(1)(1)xxx11xx【点睛】本题主要考查了异分母分式的加法，熟知相关计算法则是解题的关键20.为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A乒乓球，B 排球，C 篮球，D 跳绳为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表问卷情况统计表：运动项目人数A 乒乓球mB 排球10C 篮球80D 跳绳70（1）本次调查的样本容量是_，统计表中 m=_；（2）在扇形统计图中，“B 排球”对应的圆心角的度数是_；（3）若该校共有 200
28、0 名学生，请你估计该校最喜欢“A 乒乓球”的学生人数【答案】（1）200，40（2）18（3）约为 400 人【解析】【分析】（1）从两个统计图中可知，“C 篮球”的人数 80 人，占调查人数的 40%，可求出本次调查的样本容量，进而求出 m 的值；（2）“B 排球”的人数 10 人，据此可求得相应的圆心角；（3）用总人数乘以“A 乒乓球”的学生所占的百分比即可【小问 1 详解】解：本次调查的样本容量是：8040%=200（人），m=200-10-80-70=40；故答案为：200，40；【小问 2 详解】解：扇形统计图中 B 部分扇形所对应的圆心角是 36010200=18，故答案为：18
29、；【小问 3 详解】解：402000400200（人），估计该校最喜欢“A 乒乓球”的学生人数约为 400 人【点睛】此题考查统计表、扇形统计图的结合，从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的前提21.“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3 种手势中的 1 种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出 3 种手势中的 1 种（1）甲每次做出“石头”手势的概率为_；（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率【答案】（1）13（2）见解析，23【解析】【分析】（1）
30、根据概率计算公式求解即可；（2）先画树状图得出所有的等可能性的结果数，然后找到乙不输的结果数，最后利用概率计算公式求解即可【小问 1 详解】解：甲每次做出的手势只有“石头”、“剪子”、“布”其中的一种，甲每次做出“石头”手势的概率为13；【小问 2 详解】解：树状图如图所示：甲、乙两人同时做出手势共有 9 种等可能结果，其中乙不输的共有 6 种，P（乙不输）6293答：乙不输的概率是23【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，利用列表法或树状图法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键22.我国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”其
31、大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品每人出 8 钱，剩余 3 钱；每人出 7钱，还缺 4 钱问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格【答案】有 7 人，物品价格是 53 钱【解析】【分析】设人数为x人，根据“物品价格=8人数-多余钱数=7人数+缺少的钱数”可得方程，求解方程即可【详解】解：设人数为x人，由题意得8374xx，解得7x 所以物品价格是8 7353答：有 7 人，物品价格是 53 钱【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系23.如图，在平面
32、直角坐标系xOy中，一次函数0yaxb a的图像与反比例函数0kykx的图像交于P、Q两点点4 3P,，点Q的纵坐标为2（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）求POQ的面积【答案】（1）12yx，112yx（2）5【解析】【分析】（1）通过点 P 坐标求出反比例函数解析式，再通过解析式求出点 Q 坐标，从而解出 PQ 一次函数解析式；（2）令 PQ 与y轴的交点为 M，则三角形 POQ 的面积为 OM 乘以点 P 横坐标除以 2 加上 OM 乘以点 Q 横坐标除以 2 即可【小问 1 详解】将4 3P,代入kyx，解得12k ，反比例函数表达式为12yx 当2y 时，代入12yx，解得6
33、x，即6,2Q将4 3P,、6,2Q代入0yaxb a，得4362abab，解得121ab 一次函数表达式为112yx【小问 2 详解】设一次函数的图像与y轴交点为M，将0 x 代入112yx，得1y，即0,1M4 3P,，6,2Q，0,1M，111416522POQPOMQOMSSS 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、求一次函数和反比例函数围成的三角形面积，掌握拆分法是解本题关键24.我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角45CAE，再沿正对阿
34、育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角53CBE，10mAB；小亮在点G处竖立标杆FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，1.5mFG，2mGD （注：结果精确到0.01m，参考数据：sin530.799，cos530.602，tan531.327）（1）求阿育王塔的高度CE；（2）求小亮与阿育王塔之间的距离ED【答案】（1）40.58m（2）54.11m【解析】【分析】（1）在Rt CEB中，由tan 5310CECEBECE，解方程即可求解（2）证明RtFGDRtCED，根据相似三角形的性质即可求解【小问 1 详解】在Rt CAE中，45CAE，CEAE10AB，1010
35、BEAECE在Rt CEB中，由tan 5310CECEBECE，得tan5310CECE，解得40.58CE 经检验40.58CE 是方程的解答：阿育王塔的高度约为40.58m【小问 2 详解】由题意知RtFGDRtCED，FGGDCEED，即1.5240.58ED，54.11ED 经检验54.11ED 是方程的解答：小亮与阿育王塔之间的距离约为54.11m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键25.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DEAD，且BEDC（1）求证：四边形DBCE为菱形；（2）若DBC是边长为 2 的等边三角形，点P
36、、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PMPN的最小值【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形的性质和DEAD证明四边形DBCE为平行四边形，再根据BEDC，即可得证；（2）先根据菱形对称性得，得到PMPNPMPN，进一步说明PMPN的最小值即为菱形的高，再利用三角函数即可求解【小问 1 详解】证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，DEAD，DEBC，又点E在AD的延长线上，DEBC，四边形DBCE为平行四边形，又BEDC，四边形DBCE为菱形【小问 2 详解】解：如图，由菱形对称性得，点N关于BE的对称点N在DE上，PMPN
37、PMPN，当P、M、N共线时，PMPNPMPNMN，过点D作DHBC，垂足为H，DEBC，MN的最小值即为平行线间的距离DH的长，DBC是边长为 2 的等边三角形，在Rt DBH中，60DBC，2DB，sinDHDBCDB，3sin232DHDBDBC，PMPN的最小值为3【点睛】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，运用了转化的思想方法将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键26.已知二次函数2(2)4yxmx m，其中2m（1）当该函数的图像经过原点0,0O，求此时函数图像的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数2(2)4yxmx m的顶点在第三
38、象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线2yx 上运动，平移后所得函数的图像与y轴的负半轴的交点为B，求AOB面积的最大值【答案】（1）1,1A（2）见解析（3）最大值为98【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为22820,24mmm，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于 0 即可；（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为2yxbxc，则其顶点坐标为24,24bcb，然后求出点B 的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线2yx 上推出2284bbc，过点A作AHO
39、B，垂足为H，可以推出219=(1)88AOBSb,由此即可求解【小问 1 详解】解：将0,0O代入2(2)4yxmx m，解得4m 由2m，则4m 符合题意，222(1)1yxxx，1,1A【小问 2 详解】解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为22820,24mmm2m，20m，20m，202m228201(4)11 044mmm ，二次函数2(2)4yxmx m的顶点在第三象限【小问 3 详解】解：设平移后图像对应的二次函数表达式为2yxbxc，则其顶点坐标为24,24bcb当0 x 时，yc，0,Bc将24,24bcb代入2yx，解得2284bbc0,Bc在y轴的负半轴上，0c 2284
40、bbOBc 过点A作AHOB，垂足为H，1,1A，1AH 在AOB中，211281224AOBbbSOB AH 211184bb 219(1)88b,当1b 时，此时0c，AOB面积有最大值，最大值为98【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键27.【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图 1 所示的方式摆放其中90ACBDEB，30B，3BEAC【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点 B 按顺时针方向旋转（1）如图 2，当点E落在边AB上时，延长
41、DE交BC于点F，求BF的长（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离（3）连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图 1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图 3），求点G所经过的路径长（4）如图 4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是_【答案】（1）2 3（2）6 1（3）5 36（4）7 34【解析】【分析】（1）在 RtBEF 中，根据余弦的定义求解即可；（2）分点E在BC上方和下方两种情况讨论求解即可；（3）取BC的中点O，连接GO，从而求出 OG=3，得出点G在以O为圆心，3为半径的圆上，然后根据弧长公式即可求解；（4）
42、由（3）知，点G在以O为圆心，3为半径的圆上，过 O 作 OHAB 于 H，当 G 在 OH 的反向延长线上时，GH 最大，即点G到直线AB的距离的最大，在 RtBOH 中求出 OH，进而可求 GH.【小问 1 详解】解：由题意得，90BEFBED，在RtBEF中，30ABC，3BE，cosBEABCBF32 3coscos30BEBFABC【小问 2 详解】当点E在BC上方时，如图一，过点D作DHBC，垂足为H，在ABC中，90ACB，30ABC，3AC，tanACABCBC，33 3tantan 30ACBCABC在BDE中，90DEB，30DBEABC，3BE，tanDEDBEBE，ta
43、n303DEBE点C、E、D在同一直线上，且90DEB，18090CEBDEB又在CBE中，90CEB，3 3BC，3BE，223 2CEBCBE，3 23CD CE DE在BCD中，1122BCDSCD BEBC DH，61CD BEDHBC当点E在BC下方时，如图二，在BCE中，90CEB，3BE，3 3BC，223 2CEBCBE3 23CD CE DE过点D作DMBC，垂足为M在BDC中，1122BDCSBC DMCD BE，6 1DM综上，点D到直线BC的距离为6 1【小问 3 详解】解：如图三，取BC的中点O，连接GO，则132GOBD点G在以O为圆心，3为半径的圆上当三角板DEB
44、绕点 B 顺时针由初始位置旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150所对的圆弧，圆弧长为1505 3233606点G所经过的路径长为5 36【小问 4 详解】解：由（3）知，点G在以O为圆心，3为半径的圆上，如图四，过 O 作 OHAB 于 H，当 G 在 OH 的反向延长线上时，GH 最大，即点G到直线AB的距离的最大，在 RtBOH 中，BHO=90，OBH=30，13 322BOBC，3 33 3sinsin3024OHBOOBH，3 37 3344GHOGOH，即点G到直线AB的距离的最大值为7 34.【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，解直角三角形等知识，分点E在BC上方和下方是解第（2）的关键，确定点 G 的运动轨迹是解第（3）（4）的关键.