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1、高二上学期期末考试（理科数学）第 1 页，共 4 页哈工大附中 20212022 学年度第一学期期末考试试题高二 理科数学哈工大附中 20212022 学年度第一学期期末考试试题高二 理科数学时间：120 分钟 分值：150 分 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知复数13i1 iz，则z的虚部为（）A1B2C2D12已知直线10 xay 和直线410axy 互相平行，则a等于（）A2B2C2D03设,m n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，且,mn，则下列命题正确的是（）若/,/mn，则/若m，则若/，则
2、/,/mn若，则,mnABCD4已知双曲线C：22221xyab（0,0ab）的离心率为5，则C的渐近线方程为（）A2yx B2yx C12yx Dyx 5已知函数2()e(1)xf xx，则曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（）A12B23C1D26若方程22191xykk表示椭圆C，则下面结论正确的是（）A1,9kB椭圆C的焦距为2 2C若椭圆C的焦点在x轴上，则1,5kD若椭圆C的焦点在x轴上，则5,9k7已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F，准线为l，过点 F 斜率为3的直线l与抛物线 C 交于点 M（M 在 x 轴的上方），过 M 作M
3、Nl于点 N，连接NF交抛物线 C 于点 Q，则|NQQF（）A3B2C3D28若点 P 是曲线2lnyxx上任意一点，则点 P 到直线1yx的最小距离为（）A0B24C12D22高二上学期期末考试（理科数学）第 2 页，共 4 页二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分）9函数 yf x的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的（）A1,3为函数 yf x的单调递增区间B3,5为函数 yf x的单调递减区间C函数 yf x在5x 处取得极小值D函数 yf x在0 x 处取
4、得极大值10已知曲线C：22142xymm，则（）A2m 时，则C的焦点是10,2F，20,2FB当6m 时，则C的渐近线方程为2yx C当C表示双曲线时，则m的取值范围为2m D存在m，使C表示圆11已知圆22:4O xy和圆22:4240M xyxy相交于AB两点，下列说法正确的为（）A两圆有两条公切线B直线AB的方程为24yxC线段AB的长为65D圆O上点E，圆M上点F，EF的最大值为5312已知椭圆C：221169xy上有一点P，1F2F分别为左右焦点，12FPF，12PFF的面积为S，则下列选项正确的是（）A若S9，则90B若3S，则满足题意的点P有四个C椭圆C内接矩形周长的最大值为
5、 20D若12PFF为钝角三角形，则9 70,4S三、填空题（本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分）13椭圆C：22132yx的离心率为_.14已知两点4,9A和6,3B，则以AB为直径的圆的标准方程是_.15已知00,M xy是抛物线24yx上一点，F是抛物线的焦点，若点1,0P 满足0MF MP，则0 x的取值范围是_.16已知函数1ln,1()11,122x xf xxx，若12xx，且12122,2f xf xxxa恒成立，则实数 a 的取值范围为_高二上学期期末考试（理科数学）第 3 页，共 4 页四、解答题（本大题共 6 小题,共 70 分，解答应写出文字说明，说明过程
6、或演算步骤）17（本题满分 10 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，已知3 cossinbCcB.（1）求角C；（2）若2b，ABC的面积为2 3，求c.18（本题满分 12 分）已知圆C：22(3)(4)36xym，其中mR（1）如果圆C与圆221xy外切，求m的值；（2）如果直线30 xy与圆C相交所得的弦长为4 5，求m的值19（本题满分 12 分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年 4 月 23 日为世界读书日某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了 100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟
7、）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示（1）根据频率分布直方图，估计这 100 位年轻人每天阅读时间的平均数x（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（2）采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组50,60，60,70和80,90的年轻人中抽取 5 人，再从中任选 2 人进行调查，求其中至少有 1 人每天阅读时间位于80,90的概率高二上学期期末考试（理科数学）第 4 页，共 4 页20（本题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，60ABC，E为BC的中点，F为PC的中点（1）求证：平面AEF 平面PAD；（2）若2PAAB，
8、求平面 AEF 与平面 CEF 夹角的余弦值21（本题满分 12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab的中心是坐标原点O，左右焦点分别为12,F F，设P是椭圆C上一点，满足2PFx轴，212PF，椭圆C的离心率为32（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C左焦点1F且不与x轴重合的直线l与椭圆相交于,A B两点，求2ABF内切圆半径的最大值.22（本题满分 12 分）已知函数 21ln2f xxaxx，aR.（1）当1a 时，求函数 fx在1x 处的切线方程；（2）讨论函数 fx的单调性；（3）当函数 fx有两个极值点1x，2x，且12xx.证明：12421 3ln2f xf x.试卷
9、第 1页，共 14页哈工大附中哈工大附中 2021202120222022 学年度第一学期期末学年度第一学期期末考试考试试题试题高二高二 理科数学理科数学【参考答案】【参考答案】1C【分析】利用复数的除法运算化简z，再由共轭复数的定义即可得z，进而可得虚部.【详解】1 3i1 i1 3i24i12i1 i1 i1 i2z ，所以12iz ，z的虚部为2，故选：C.2C【分析】根据题意可得1141aa，即可求出.【详解】显然0a 时，两直线不平行，不符合，则1141aa，解得2a .经检验满足题意故选：C.3C【分析】面面平行需要满足面内两条相交直线分别平行另外一个平面;面内的一条直线垂直另外一
10、个平面，则线面垂直;面面平行，面内的直线平行另外一个平面；面面垂直面内的直线垂直于两个平面的交线，则线面垂直.【详解】面面平行需要满足面内两条相交直线分别平行另外一个平面,m n不在同一平内，有可能平行，所以不正确;面内的一条直线垂直另外一个平面，则线面垂直，所以命题正确;面面平行，面内的直线平行另外一个平面，所以命题正确；面面垂直面内的直线垂直于两个平面的交线，则线面垂直，没出与交线垂直，所以命题不正确.故选：C.4A【分析】试卷第 2页，共 14页先根据双曲线的离心率得到2ba，然后由22220 xyab，得byxa，即为所求的渐近线方程，进而可得结果【详解】双曲线的离心率2215cbea
11、a，2ba又由22220 xyab，得byxa，即双曲线22221xyab（0,0ab）的渐近线方程为byxa，双曲线的渐近线方程为2yx 故选：A5B【分析】根据导数的几何意义，求出切线方程，求出切线和横截距 a 和纵截距 b，面积为12ab【详解】由题意可得 02e21xffxx，所以 03f，则所求切线方程为32yx 令0 x，得2y；令0y，得23x故所求三角形的面积为1222233 故选：B6C试卷第 3页，共 14页【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答.【详解】因方程表示椭圆，则有90k，10k ，且91kk，即1,55,9k，A 错误；焦点在x轴上时，91
12、0kk，解得1,5k，D 错误，C 正确；焦点在x轴上时，则291102ckkk，焦点在y轴上时，219210ckkk，B 错误.故选：C7D【分析】设出直线MF，与抛物线联立，可求出M点坐标，在利用抛物线的定义可得2MpMNNFMFx，再利用抛物线的对称性求出FQ，则|NQQF可求.【详解】如图：相关交点如图所示，由抛物线2:2(0)C ypx p，得(,0)2pF，则:3()2pMF yx，与抛物线22ypx联立得22122030 xpxp，即6230 xpxp，解得3,26MAppxx,60MNlMFx60NMF，又MNMF则NMF为等边三角形试卷第 4页，共 14页22MpMNNFMF
13、xp，60OFANFO，由抛物线的对称性可得6QApxx，24,6233ppppQFNQNFQF|2|NQQF故选：D.8D【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线1yx平行的切线方程的切线坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离【详解】点P是曲线2lnyxx上的任意一点，设1,2(0)P x yyxxx，令121yxx，解得x 1 或12x （舍去），1x，曲线上与直线1yx平行的切线的切点为1,1P，点P到直线1yx的最小距离min1 1 1222d.故选：D.9ABC【分析】利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案【详解】由题意，函数()yf
14、x的导函数的图象可知：当1x时，()0fx，函数()f x单调递减；当13x 时，()0fx，函数()f x单调递增；当35x 时，()0fx，函数()f x单调递减；当5x时，()0fx，函数()f x单调递增；所以函数 f(x)单调递减区间为：()1，(3)5，递增区间为(13)，(5)，且函数()f x在1x和5x取得极小值，在3x取得极大值.故选：ABC试卷第 5页，共 14页10ABD【分析】AB 选项，代入m的值，分别得出是什么类型的曲线，进而作出判断；C 选项，要想使曲线C表示双曲线要满足420mm；D 选项，求出曲线C表示圆时 m 的值.【详解】当2m 时，曲线C：22124x
15、y，是焦点在 y 轴上的椭圆，且2422c，所以交点坐标为10,2F，20,2F，A 正确；当6m 时，曲线C：22182yx，是焦点在在 y 轴上的双曲线，则C的渐近线为2yx，B 正确；当C表示双曲线时，要满足：420mm，解得：4m 或2m ，C 错误；当42mm，即1m 时，223xy，表示圆，D 正确故选：ABD11ABD【分析】由给定条件判断圆 O 与圆 M 的位置关系，再逐项分析、推理、计算即可作答.【详解】圆22:4O xy的圆心(0,0)O，半径12r，圆22:(2)(1)1Mxy的圆心(2,1)M，21r，22|(2)15OM，显然有1212|rrOMrr，于是得圆 O 与
16、圆 M 相交，圆 O 与圆 M 有两条公切线，A 正确；由222244240 xyxyxy得：4280 xy，则直线AB的方程为24yx，B 正确；圆心 O 到直线AB：240 xy的距离2244 552(1)d ，则222214 54 5|22 2()55ABrd=-=-=-=-=，C 不正确；12|53EFEOOFEOOMMFrOMr，当且仅当点 E，O，M，F 四点共线时取“=”，如图，试卷第 6页，共 14页因此，当点 E，F 分别是直线 OM 与圆 O 交点E，与圆 M 交点F时，max|53EF，D 正确.故选：ABD12BCD【分析】由题可得4,3ab，7c，设11(,)P x
17、y，结合选项利用面积公式可得1y可判断 ABD，设椭圆C内接矩形的一个顶点为(4cos,3sin)(0)2，利用辅助角公式可得周长的范围可判断 C.【详解】椭圆C：221169xy，4,3ab，7c，12128,2 7PFPFFF，设11(,)P x y，则12112SFFy，13y，若S9，则19 737y，所以12PFF不存在，故 A 错误；若3S，则113 73 7,77yy，可得14 427x ，故满足题意的点P有四个，故 B 正确；设椭圆C内接矩形的一个顶点为(4cos,3sin)(0)2，则椭圆C内接矩形周长为4(4cos3sin)20sin(),其中43sin,cos55，由02
18、得(,)2，椭圆C内接矩形周长的范围为(20sin(),20sin22，即(12,20，故 C 正确；由上知不可能为钝角，由对称性不妨设12PF F是钝角，先考虑临界情况，当12PF F为直角时，易得194y，此时12119 724SFFy，当12PFF为钝角三角形时，194y，所以9 70,4S，故 D 正确.故选：BCD试卷第 7页，共 14页1333#【分析】根据椭圆的几何性质求解即可【详解】椭圆为22132yx，3321ac，33cea故答案为：3314225610 xx【分析】根据AB的中点是圆心，2AB是半径，即可写出圆的标准方程.【详解】因为4,9A和6,3B，故可得AB中点为5
19、,6，又22643 92 10AB，故所求圆的半径为10，则所求圆的标准方程是：225610 xx.故答案为：225610 xx.150,52【分析】根据抛物线的解析式，得出焦点坐标1,0F，且由题意可知200040yxx，进而根据向量的坐标运算求出00001,1,MFxyMPxy ，再根据向量的数量积求得200410MF MPxx，从而可求出0 x的取值范围.【详解】解：由题可知，抛物线24yx的焦点坐标1,0F，且1,0P，由于00,M xy是抛物线24yx上一点，则200040yxx，试卷第 8页，共 14页00001,1,MFxyMPxy ，2222000000011141MF MPx
20、xyxyxx ，0MF MP，200410 xx 且00 x，解得：0052x，所以0 x的取值范围是0,52.故答案为：0,52.161 2ln2a 【分析】由题意得到121xx，由12()()2f xf x，得到121 2lnxx，所以12221 2lnxxxx，构造函数()12ln(1)g xxx x，利用导数求出()g x的最小值即可.【详解】由题可知当1x时，函数()f x单调递增，min()(1)1f xf，当1x 时，()1f x，设12xx，则必有121xx，所以1212121113()1(lnln2222)2f xf xxxxx，所以121 2lnxx，所以12221 2ln
21、xxxx，设()12ln(1)g xxx x，则22()1xg xxx，则12x时，()0g x，函数()g x单调递减，当2x 时，()0g x，函数()g x单调递增，所以min()(2)g xg 1 2ln2232ln2，所以12xx的最小值为32ln2.所以122xxa恒成立，即122axx，所以1 2ln2a .故答案为：1 2ln2a 【点睛】本题主要考查利用导数解决双变量问题，将一个变量由另一个变量表示，构造新的函数即可求解，注意变量的范围，考查学生分析转化能力，属于中档题.试卷第 9页，共 14页17（1）3C（2）2 3c【分析】（1）由正弦定理边角互化得3sincossin
22、sinBCCB，进而得tan3C，在求解即可得答案；（2）由面积公式得8ab，进而根据题意得2b，4a，再根据余弦定理求解即可.（1）解：因为3 cossinbCcB，所以3sincossinsinBCCB，因为0,sin0BB，所以3cossinCC，即tan3C，因为0,C，所以3C.（2）解：因为ABC的面积为2 3，3C，所以13sin2 324SabCab，即8ab，因为2b，所以4a，所以2222201cos2162abccCab，解得2 3c.所以2 3c.18（1）20（2）8【分析】（1）两圆外切，则两圆的圆心距等于两圆半径之和，列出方程，进行求解；（2）先用点到直线距离公式
23、，求出圆C的圆心到直线30 xy的距离，再用垂径定理列出方程，求出m的值.（1）圆C的圆心为3,4，半径为36m，若圆C与圆221xy外切，故两圆的圆心距等于两圆半径之和，试卷第 10页，共 14页故2234136m，解得：20m（2）圆C的圆心到直线30 xy的距离为3432 21 1d，由垂径定理得：2224 5236md，解得：8m 19（1）74；（2）710.【分析】（1）由频率之和为 1 求参数 a，再根据直方图求均值.（2）由分层抽样的比例可得抽取的 5 人中50,60，60,70和80,90分别为：1 人，2 人，2 人，再应用列举法求古典概型的概率即可.（1）根据频率分布直方
24、图得：0.0050.0120.045101a0.02a，根据频率分布直方图得：55 0.01 65 0.0275 0.04585 0.0295 0.00510 x 74，（2）由50,60，60,70和80,90的频率之比为：122，故抽取的 5 人中50,60，60,70和80,90分别为：1 人，2 人，2 人，记50,60的 1 人为a，60,70的 2 人为b，c，80,90的 2 人为A，B故随机抽取 2 人共有,a b，,a c，,a A，,a B，,b c，,b A，,b B，,c A，,c B，,A B10 种，其中至少有 1 人每天阅读时间位于80,90的包含 7 种，故概率
25、710P 20（1）证明见解析（2）10535【分析】试卷第 11页，共 14页（1）通过证明AEAD和PAAE得AE平面PAD，再利用面面垂直判定定理求解；（2）建立空间直角坐标系求两个平面的法向量代入二面角公式求解.（1）因为底面ABCD是菱形，60ABC，所以ABC为等边三角形，所以AE平分BAC，所以6018060902EAD，所以AEAD，又因为PA平面ABCD，所以PAAE，且PAADA，所以AE平面PAD，又AE 平面AEF，所以平面AEF 平面PAD；（2）据题意，建立空间直角坐标系如图所示：因为2PAAB，所以0,0,0,3,0,0,0,0,2,3,1,0,AEPC所以3 1
26、,122F，设平面AEF一个法向量为1111,nx y z，平面EFC一个法向量为2222,nxyzu u r，因为3 13,0,122AEAF ，0，1100AE nAF n ，所以111130320 xxyz，取12y，所以11z ，所以10,2,1n，又因为3 10,1,122ECEF 0，2200EC nEF n ，所以2222031022yxyz，取22x，则23z，所以22,0,3n u u r，所以1212123105cos,3557n nn nn n ，由图形知，二面角为钝角，故二面角夹角的余弦值为10535试卷第 12页，共 14页21（1）2214xy（2）12【分析】（1
27、）利用P是椭圆C上一点，满足2PFx轴，21|2PF，离心率为32列出方程组，求出a，b即可得到椭圆方程（2）由（1）可知28ABFC，设直线l为3xmy，11,A x y，22,B xy，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可得到12yy，从而得到2121212ABFSFFyy!，再根据2182ABFSR，即可得到22431mRm，再利用基本不等式求出最值即可；（1）解：由题意P是椭圆C上一点，满足2PFx轴，21|2PF，离心率为32所以22223212cabacab，解得213abc所以2214xy（2）解：由（1）可知13,0F，222112248ABFCABAFBFAFBFAFB
28、Fa，设直线l为3xmy，由22314xmyxy，消去x得2242 310mymy，设11,A x y，22,B xy，则试卷第 13页，共 14页1222 34myym，12214y ym所以2221212122224442 34414mmyyyyymmym所以21221221244 31ABFSFFyymm，令内切圆的半径为R，则2182ABFSR，即22431mRm，令21tm，则233331232 3ttRtt，当且仅当3tt，3t，即2m 时等号成立，所以当2m 时，R取得最大值12；22（1）2230 xy（2）答案见解析（3）证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可
29、；（2）根据一元二次方程根的判别式，结合导数的性质进行分类讨论求解即可；（3）根据极值的定义，给合（2）的结论，构造新函数，再利用导数的性质，新函数的单调性进行证明即可.（1）当1a 时，21ln2fxxxx.11fxxx .11f，111221f .11122302yxxy.fx在1x 处的切线方程2230 xy.（2）fx的定义域0,.211xaxfxxaxx ；当240a 时，即22a，试卷第 14页，共 14页 0fx，此时 fx在0,单调递减；当240a 时，即2a 或2a ，（i）当2a 时，fx在240,2aa，24,2aa单调递减，fx在2244,22aaaa单调递增.（ii）
30、当2a 时，fx在0,单调递减；综上所述，当2a时，fx在0,单调递减；当2a 时，fx在240,2aa，24,2aa单调递减，fx在2244,22aaaa单调递增.（3）由（2）知，当2a 时，fx有两个极值点1x，2x，且满足：12121xxaxx，由题意知，1201xx.221211122211424ln2ln22fxfxxaxxxaxx22111222244ln22lnxaxxxaxx 221112122122244ln22lnxxxxxxxxxx 2222226ln2xxx令 2226ln21g xxxxx.则 2332122462xxxgxxxxx.g x在1,2单调递增，在2,单调递减.22max2226ln221 3ln22g xg.即 124213ln2f xf x.