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1、高等数学（第三版）教案第四章全4.1.1微分方程及其通解与特解教学目标：（1）感知并了解微分方程的概念。（2）理解微分方程的阶、通解、特解、初始条件等概念；教学重点：微分方程的基本概念教学难点：微分方程的通解、特解等概念的理解。授课时数： 1课时教学过程过程备注引言 介绍本章学习的主要内容。教师讲授5知识回顾已知曲线经过点（1，3），曲线上任意点M（x，y）处切线的斜率为2x，求曲线的方程设曲线方程为根据导数的几何意义，有 积分得 其中C是任意常数由于曲线经过点（1，3），故，解得所以曲线的方程的方程为 引导学生回答10新知识上面的问题中所建立方程的特点是，方程中含有未知函数的导数（或微分），
2、其解是函数像这样，含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程.未知函数为一元函数的方程叫做常微分方程本章内只讨论常微分方程如，出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶上述五个方程中，和是二阶微分方程，其余三个是一阶微分方程如果将一个函数代入微分方程，使其成为恒等式，那么，这个函数叫做这个微分方程的解由于，故是微分方程的解但是C是任意常数，表示的不只是一个函数，从几何意义上看， 表示一族抛物线（图41）因为已知曲线过点（1，3），即曲线满足条件将条件代入中，得到C =2故微分方程满足条件的解为实际上，曲线是抛物线族中通过点 的一条（图41）图4
3、1若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数（如），这样的解叫做微分方程的通解在通解中，利用给定的条件，确定出任意常数的值的解（如）叫做微分方程的特解，所给定的条件（如）叫做初始条件一阶微分方程的初始条件一般记成的形式，如二阶微分方程的初始条件一般记成，的形式教师讲授与学生回答相结合25知识巩固例1 求微分方程满足初始条件，的特解解 将微分方程，两边积分，得， （1）两边再一次积分，得 （2） 将初始条件，代入方程（1）和方程（2），得解得因此，微分方程满足初始条件的特解为说明 型的微分方程，都可以采用方程两边同时积分的手段求解教师讲授301.试写出下列各微分方程的
4、阶数.(1)； (2)；(3)； (4)2.求微分方程，的特解.学生课上完成42小结 新知识：常微分方程的基本概念。 45作业 1.复习微分方程的基本概念；2.完成高等数学习题集“”。4.1.2 可分离变量的微分方程教学目标：（1）掌握可分离变量微分方程的特点；（2）会求可分离变量微分方程的通解和特解。教学重点：可分离变量微分方程的解法。教学难点：可分离变量微分方程的特点。授课时数： 1课时.教学过程过程备注探究微分方程可以用方程两边同时积分的手段求解那么微分方程如何求解呢？由于方程右边同时含有x和y，故无法积分，为了达到两边可以两边同时积分的目的，可以把写成的形式，将方程恒等变形为 这种变形
5、的作用是分离变量教师讲授5新知识形如 (4.1)的一阶微分方程叫做可分离变量的微分方程.其中，都是连续函数这类微分方程可以通过下面的步骤求解（分离变量法）：(1)将方程分离变量；(2)两边积分；(3)分别计算两边的积分，整理化简可以得到微分方程的通解教师讲授10知识巩固例2 解微分方程.解 分离变量得 ，两边积分得 记，则，所以 即，记则原方程的通解为.说明 （1）微分方程的通解也可以表示为隐函数的形式.如上面的通解可以写作.（2）为了简单起见，在本章中可以直接将写成，将写成，从而省略记的过程；将直接写成，从而省略记的过程.例3 解微分方程，.解 分离变量得 ，两边积分得 ，代入初始条件时，得
6、. 故微分方程的特解为 .例4 解微分方程 .解 分离变量得 ，两边积分得 故微分方程的通解为.例5 求微分方程满足初始条件的特解.解 分离变量得 ，两边积分得 .代入初始条件时，得.故满足初始条件的微分方程的特解为教师讲授 在教师引领下共同完成30练习4.1.21.求解微分方程 . 2.求解微分方程学生课上完成42小结 新知识：可分离变量微分方程的特点和解法。45作业 1.梳理可分离变量微分方程的特点和求解过程；2.完成高等数学习题集“”4.2.1 一阶线性齐次微分方程教学目标：（1）理解一阶线性微分方程的概念。（2）学会一阶线性齐次微分方程的解法。教学重点：一阶线性齐次微分方程的解法。教学
7、难点：一阶线性微分方程的概念的理解。授课时数： 1课时.教学过程过程备注新知识形如 （4.2）的方程叫做一阶线性微分方程.其中，是x的已知函数，叫做方程的自由项. 当，方程（4.2）为一阶线性齐次微分方程；当，方程（4.2）为一阶线性非齐次微分方程.教师讲授5探究一阶线性齐次微分方程为 变形为 这是可分离变量的微分方程，分离变量得，两边积分得 .所以一阶线性齐次微分方程的通解为. (4.3)教师讲授与学生回答相结合10新知识解一阶线性齐次微分方程可以采用分离变量法，也可以采用公式法，直接应用通解公式（4.3）教师总结13知识巩固例1 解微分方程.解1 （分离变量法）分离变量，得 ，两边积分，得
8、 故微分方程的通解为解2（公式法）利用公式（4.3），这里所以故微分方程的通解为例2 解微分方程.解 微分方程变形为 ，所以，.利用公式（4.3），得， 故微分方程的通解为在教师引领下完成28练习4.2.1解下列微分方程1. ； 2. .学生课上完成40小结 新知识：一阶线性微分方程的概念，一阶线性齐次微分方程的解法。 45作业 完成高等数学习题集“”。 4.2.2一阶线性非齐次微分方程教学目标： （1）记住一阶线性非齐次微分方程的特点；（2）学会一阶线性非齐次微分方程的解法。教学重点：一阶线性非齐次微分方程的解法。教学难点：正确区别可分离变量微分方程和一阶线性非齐次微分方程。授课时数： 1课
9、时.教学过程过程备注探究下面研究一阶非齐次线性微分方程 （2）的通解.首先求出方程（2）所对应的一阶线性齐次微分方程的通解 .设方程（2）的通解为，其中是x的待定函数，则，于是有 ，即 ，两边积分得 .故所求通解为.因此，一阶线性非齐次微分方程的通解为. (4.4)教师讲授10新知识探究过程中的解微分方程的方法叫做常数变易法.利用常数变易法解一阶线性非齐次微分方程的步骤是：（1）将方程化成的形式；（2）求出对应齐次方程的通解；（3）设方程的通解为，代入方程，确定也可以直接应用公式(4.4)求解，这种方法称为应用公式法教师总结15知识巩固例2 解微分方程.解1 (常数变易法)方程对应的齐次方程是
10、 ，其通解为 .设函数是已知非齐次微分方程的通解，则，代入原方程有，即 .积分得 ，所以微分方程的通解为解2 (应用公式法)这里，因此 ，所以原方程的通解是.例3 解微分方程. .解 应用公式求解，这里，故 .所以方程的通解为. 例4 求微分方程满足初始条件的解.解 方程可以化为 应用公式求解这里，故 .代入初始条件得.故满足初始条件的特解是.在教师引领下完成30练习4.2.2求解下列微分方程1. ； 2. ； 3. .学生课上完成42小结 新知识：一阶线性非齐次微分方程的特点和解法。45作业 1.分析一阶线性微分方程与可分离变量微分方程的区别;2. 完成高等数学习题集“”。4.3.1二阶常系
11、数线性齐次微分方程教学目标：（1）了解二阶常系数线性微分方程及解的结构；（2）理解二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式，会求二阶常系数线性齐次微分方程的通解和特解。教学重点：二阶常系数线性齐次微分方程及其通解。教学难点：二阶常系数线性齐次微分方程通解结构的理解。授课时数：1课时.教学过程过程备注新知识二阶微分方程比较复杂，我们只研究二阶线性常系数微分方程，即形如 (4.5)和 . (4.6)的方程，其中，均为常数方程(4.5)叫做二阶常系数线性齐次微分方程；方程(4.6)叫做二阶常系数线性非齐次微分方程.在实际应用中，特别是在电学、力学及工程学中，很多实际应用问题的数学模型都是二阶常系数线性微
12、分方程.关于二阶常系数线性微分方程解的结构有如下的三个结论：结论1 若是方程的两个解，则对任意两个常数、，仍是该方程的解.结论2 若是二阶线性齐次方程的两个特解，且不等于常数，则是该方程的通解，其中，是任意常数.结论3若Y是方程的通解，是的一个特解.则是二阶线性非齐次微分方程的通解.教师讲授10探究由前面的结论1和结论2知道，解微分方程的关键是找到其两个特解和，且不等于常数考虑到指数函数的各阶导数之间只相差一个常数，方程的解有可能具有指数函数的形式不妨沿着这个发现做探究设(是常数)是方程的解，则，代入方程中，得 ，于是有 . (4.7)如果是方程(4.7)的根，那么函数就是方程的解.这样就建立
13、了微分方程与代数方程之间的关联教师讲授与学生回答相结合15新知识方程叫做微分方程的特征方程.特征方程的根叫做特征根.特征方程是关于的一元二次方程.根据特征根的不同情况，可以得到微分方程的相应通解（表41）.表41 方程的特征根与通解特征方程特征根，方程的通解，由此得到，解二阶常系数线性齐次微分方程(其中，均为常数)的步骤为：(1) 写出特征方程；(2) 求出特征方程的两个根，；(3) 根据表（41)写出方程的通解.教师讲授20知识巩固例1 解微分方程.解 特征方程为 ，特征根为 ，故方程的通解为.例2 解微分方程.解 特征方程为 ，此时判别式 ，故方程没有实数根，利用求根公式有，即特征根为 ，
14、.故方程通解是.例3 求微分方程满足初始条件，的特解.解 特征方程为 ，特征根为 ，故方程通解为 （1）又 （2）将初始条件，代入（1）、（2）得，所以，方程满足初始条件的特解为.在教师引领下完成30练习4.3.11. 求下列微分方程的通解（1）； （2）.2. 求微分方程满足初始条件的特解.学生课上完成40小结新知识：二阶常系数线性微分方程及解的结构，二阶常系数线性齐次微分方程的通解。45作业 1. 梳理节知识内容;2. 完成高等数学习题集“作业”。4.3.2二阶常系数线性非齐次微分方程教学目标：（1）了解二阶常系数线性非齐次微分方程及解的构成；（2）学会求、的二阶常系数线性非齐次微分方程的
15、特解和通解。教学重点：二阶常系数线性非齐次微分方程通解。教学难点：根据的不同形式设出二阶常系数线性非齐次微分方程一个特解的过程。授课时数： 2课时.教学过程过程备注1.的情形新知识下面研究微分方程 (4.8)其中是的次多项式，是常数.可以证明，方程（4.8）具有形如的特解，其中是与同次多项式，而的值与有关，如表4-2所示 表4-2的形式的值特解的形式不是特征根是特征单根是特征双根这样，解微分方程（4.8）的步骤为（1）求出方程的通解；（2）根据表42设方程（4.8）特解，代入（4.8）确定，从而得到特解；（3）根据定理3写出方程的通解教师讲授10知识巩固例4 解微分方程.解对应的齐次方程为，其
16、特征方程为，解得特征根为 ，.所以的通解为.由于，不是特征根，故设.于是，.代入原方程，整理得.比较两边同次幂的系数得，即，因此 .所以原方程的通解为.例5 解微分方程.解 对应的齐次方程为，其特征方程为.解得特征根为.所以，齐次方程的通解为.由知， ，.由于是特征重根.故设于是 ，.将，代入原方程，整理得，比较两边的同次幂系数得 ，即，.于是 .所以原方程的通解为.例6 求微分方程满足初始条件，的特解.解 对应的齐次方程为，其特征方程为.解得特征根为，故齐次方程的通解为.这里，.由于不是特征根，故设，于是，.将，代入原方程得.比较两边的同次幂系数得，即，.于是 .所以原方程的通解为.由初始条
17、件，得，.所以原方程满足初始条件的特解是.在教师引领下共同完成302.或的情形新知识可以证明，微分方程或的特解的形式为， （4.9）其中与是同次多项式，的取值与有关，如表4-3所示.表4-3的形式的值特解的形式或不是特征根当是特征根这样，解微分方程（4.9）的步骤为（1）求出方程的通解；（2）根据表42设方程（4.9）特解，代入（4.9）确定，与，从而得到特解；（3）根据定理3写出方程的通解教师讲授40知识巩固例7 解微分方程.解 对应的齐次方程为，其特征方程为.解得特征根为，故.因为，即不是特征根，所以.因此设微分方程的特解，于是，代入原方程得.比较上式两边同类项的系数，得解得，故原微分方程
18、的一个特解.所以原微分方程的通解为.例8 求微分方程的通解.解 对应的齐次方程为，其特征方程，解得特征根.故对应的齐次方程的通解，这里不是特征方程的特征根，所以，设该微分方程的特解为 ，于是， ，代入原方程,得 ,比较上式两边同类项的系数，得 解得， ， ， 这里原微分方程的一个特解为，所以原微分方程的通解为在教师引领下共同完成55链接软件软件matlab广泛应用于工程技术中的各种微分方程求解问题解常微分方程经常使用的命令是“s=dsolve(方程1, 方程2,初始条件1，初始条件2 ,自变量)，详见实验4.利用软件解例9的步骤为输入：s=dsolve(D2y+y=x*cos(2*x),x) %解微分方程显示：s=sin(x)*C2+cos(x)*C1+4/9*sin(2*x)-1/3*x*cos(2*x)即教师讲授65解下列微分方程.(1)； （2）在教师引领下完成85小结 新知识：两种常见的二阶常系数非齐次线性微分方程的通解和特解。90作业 1. 梳理本节知识内容;2. 完成高等数学习题集“作业”。