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1、数字电子技术 第二章逻辑代数基础第1页，本讲稿共70页逻辑代数运算法则逻辑代数运算法则基本逻辑关系基本逻辑关系基本运算规则基本运算规则基本代数规律基本代数规律吸收规则吸收规则摩根摩根定理定理反演定理反演定理逻辑函数的化简逻辑函数的化简公式法公式法图形法图形法逻辑函数表示法逻辑函数表示法2.1 概述概述第2页，本讲稿共70页逻辑电路逻辑代数研究工具逻辑函数逻辑状态二值变量2.2 逻辑代数中的常用运算逻辑代数中的常用运算依据：1.逻辑变量只取：0、1两种状态。2.与、或、非是三种最基本的逻辑运算。与普通代数运算法则类似的：分分配律配律、结合、结合律律、交换、交换律律等。与普通代数运算法则不同的：A
2、A=AA+A=A A=A (还原律）第3页，本讲稿共70页一一、“与与”逻辑逻辑A、B、C条件都具备时，事件条件都具备时，事件F才发生。才发生。EFABC&ABCF逻辑符号逻辑符号2.2.1 基本逻辑运算基本逻辑运算逻辑符号逻辑符号 逻逻 辑辑 式式 真真 值值 表表第4页，本讲稿共70页F=A B C逻辑式逻辑式逻辑乘法逻辑乘法逻辑与逻辑与AFBC00001000010011000010101001101111真值表真值表第5页，本讲稿共70页二、二、“或或”逻辑逻辑A、B、C只有一个条件具备时，事件只有一个条件具备时，事件F就就发生。发生。1ABCF逻辑符号逻辑符号AEFBC第6页，本讲稿
3、共70页F=A+B+C逻辑式逻辑式逻辑加法逻辑加法逻辑或逻辑或AFBC00001001010111010011101101111111真值表真值表第7页，本讲稿共70页三、三、“非非”逻辑逻辑A条件具备时条件具备时，事件，事件F不发生；不发生；A不具备时，不具备时，事件事件F发生。发生。逻辑符号逻辑符号AEFRAF第8页，本讲稿共70页逻辑式逻辑式逻辑非逻辑非逻辑反逻辑反真值表真值表AF0110第9页，本讲稿共70页2.2.2 复合逻辑运算复合逻辑运算“与与”、“或或”、“非非”是三种基本的逻是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示。们
4、为基础表示。与非与非与非与非：条件A、B、C都具备，则F不发生。&ABCF第10页，本讲稿共70页或非或非或非或非：条件A、B、C任一具备，则F不发生。1ABCF异或异或：条件A、B一个具备，另一个不具备则F发生。=1ABCF第11页，本讲稿共70页一、常量间的运算一、常量间的运算 由三种基本逻辑关系由三种基本逻辑关系(与、或、非与、或、非），可），可得逻辑运算结果：得逻辑运算结果：0 0=0 1=1 0=01 1=10+0=00+1=1+0=1+1=12.3 逻辑代数中的基本定律和常用公式逻辑代数中的基本定律和常用公式2.3.1 逻辑代数中的基本定律逻辑代数中的基本定律第12页，本讲稿共70
5、页二、基本定律二、基本定律A+0=A A 0=0A+1=1A 1=A第13页，本讲稿共70页三、三、基本代数规律基本代数规律交换律交换律结合律结合律分配律分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA (B C)=(A B)CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)普通代数不适用第14页，本讲稿共70页四、四、吸收规则吸收规则吸收：多余（吸收：多余（冗余冗余）项，多余（）项，多余（冗余冗余）因子被取消、去）因子被取消、去掉掉 被消化了。被消化了。1.1.原变量的吸收：原变量的吸收：A+AB=AA+AB=A证明：证明：左式左式=A(1+B)
6、=A(1+B)原式成立原式成立口诀：口诀：长中含短长中含短,留下短。留下短。长项长项短项短项 =A=A =右式右式1 1|第15页，本讲稿共70页2.反变量的吸收：反变量的吸收：A+A B=A+B 证明：证明：=右式右式口诀：口诀：长中含反长中含反,去掉反。去掉反。原原(反反)变量变量反反(原原)变量变量添冗余项添冗余项 1|第16页，本讲稿共70页3.3.混合变量的吸收：混合变量的吸收：证明：证明：添冗余因子添冗余因子A B+A C+BC=AB+AC A B+A C+BC=AB+AC 互互为为反反变量变量=右式右式口诀：口诀：正负相对正负相对,余全完。余全完。（消（消冗余项）冗余项）添加添加
7、第17页，本讲稿共70页五、德五、德 摩根定理摩根定理（De De Morgan)Morgan)证明：证明：穷举法穷举法推广到多变量：推广到多变量：说明：变量的说明：变量的与非与非（或非或非）运算等）运算等于变量的于变量的非或非或（非与非与）运算。）运算。第18页，本讲稿共70页可以用列真值表的方法证明：可以用列真值表的方法证明：第19页，本讲稿共70页六六、反演定理、反演定理 +变量与常数均取反变量与常数均取反（求反运算）（求反运算）互补运算互补运算1.1.运算顺序：先括号运算顺序：先括号 再乘法再乘法 后加法。后加法。2.2.不是一个变量上的反号不动。不是一个变量上的反号不动。注意注意:用
8、处：用处：实现互补运算（求反运算）。实现互补运算（求反运算）。新表达式：新表达式：显然：显然：(变换时变换时,原函数运算的先后顺序不变原函数运算的先后顺序不变)(反函数反函数)将函数式将函数式F F中所有的中所有的第20页，本讲稿共70页例例1：与或式与或式注意括号注意括号注意注意括号括号第21页，本讲稿共70页例例2：与或式与或式反号不动反号不动反号不动反号不动第22页，本讲稿共70页1 1、真值表真值表真值表真值表：将输入、输出的所有将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。可能状态一一对应地列出。设设A、B、C为输入变为输入变量，量，F为输出变量。为输出变量。2.4 逻辑函数及其表示方法
9、逻辑函数及其表示方法n n个变量可有个变量可有2 2n n个组个组合，按二进制顺序，输合，按二进制顺序，输出与输入状态一一对应，出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。列出所有可能的状态。列出所有可能的状态。列出所有可能的状态。真值表真值表真值表真值表、函数式、函数式、函数式、函数式、卡诺图、卡诺图、卡诺图、卡诺图、逻辑图逻辑图逻辑图逻辑图第23页，本讲稿共70页2 2、逻辑函数式逻辑函数式:把输入、输出关系写成与、把输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，常用或、非等逻辑运算的组合式，常用“与或与或”的形式。的形式。如：如：最小项最小项:乘积项中包含所有输入变量的原乘积项中包含所有
10、输入变量的原变量或反变量。变量或反变量。逻辑相邻逻辑相邻:两个最小项中只有一个变量以原、两个最小项中只有一个变量以原、反状态相区别。反状态相区别。第24页，本讲稿共70页逻辑相邻逻辑相邻逻辑相邻的项可以逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子合并，消去一个因子第25页，本讲稿共70页3、逻辑图：逻辑图：把相应的逻辑关系用逻把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示。辑符号和连线表示。&AB&CD 1FF=AB+CD第26页，本讲稿共70页2.4.2 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式一、一、逻辑函数的最小项及其性质逻辑函数的最小项及其性质二、二、逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式第27
11、页，本讲稿共70页一、一、逻辑函数的最小项及其性质逻辑函数的最小项及其性质（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。函数的一个标准积项，通常称为最小项。3个变量A、B、C可组成8个最小项：第28页，本讲稿共70页（2）最小项的表示方法：通常用符号）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示来表示最小项。下标最小项。下标i的确定：把最小项中的原变
12、量记为的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标十进制数，就是这个最小项的下标i。3个变量个变量A、B、C的的8个最小项可以分个最小项可以分别表示为：别表示为：第29页，本讲稿共70页（3）最小项的性质：）最小项的性质：任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。全部最小项的和必为全部最小项的和必为1。ABCABC任意两个不同的最小项的乘积必为任意两个不同的最小项的
13、乘积必为0。第30页，本讲稿共70页2 2、逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。第31页，本讲稿共70页如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。项相加，便是函数的最小项表达式。m1ABCm5ABCm3ABCm2ABC第32页，本讲稿共70页2.5 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法2.5.1 逻辑函数的最简表达式逻辑函数的最简表达式1 1、最简与或表达式最简与或表达式乘积项最少、并且每个乘积项中的变
14、量也最少的与或表达式。最简与或表达式最简与或表达式第33页，本讲稿共70页2.5 逻辑函数的表达式逻辑函数的表达式一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非式、与非-与非表达式、或非与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式或非表达式、与或非表达式5种表示形式。种表示形式。第34页，本讲稿共70页2.5.2 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法1 1、并项法、并项法利用公式利用公式1 1，将两项合并为一项，并消去一，将两项合并为一项，并消去一个变量个变量。若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项
15、可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。运用摩根定律运用分配律运用分配律运用分配律运用分配律第35页，本讲稿共70页2 2、吸收法、吸收法如如果果乘乘积积项项是是另另外外一一个个乘乘积积项项的的因因子子，则则这这另另外外一一个个乘乘积积项项是是多多余余的的。运用摩根定律运用摩根定律（）利用公式，消去多余的项。（）利用公式，消去多余的项。（）利用公式，消去多余的变量。（）利用公式，消去多余的变量。如如果果一一个个乘乘积积项项的的反反是是另另一一个个乘乘积积项项的的因因子子，则则这这个个因因子子是是多多余余的的。第36页，本讲稿共70页、配项法、配项法（）利用公式（），为某一项配上其（）利用公式（
16、），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。所缺的变量，以便用其它方法进行化简。（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。第37页，本讲稿共70页、消去冗余项法、消去冗余项法 利用冗余律，利用冗余律，将冗余项消去。将冗余项消去。第38页，本讲稿共70页2.6.1 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数2.6 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法第39页，本讲稿共70页卡诺图：卡诺图：卡诺图：卡诺图：将将n个输入变量的全部最小项用小方块个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将阵列图表示，并且
17、将逻辑相邻逻辑相邻的最小项放在的最小项放在相相邻邻的几何位置上。的几何位置上。AB0101ABC0001111001两变量卡诺图两变量卡诺图三变量卡诺图三变量卡诺图第40页，本讲稿共70页ABCD0001111000011110四变量卡诺图四变量卡诺图单元编号单元编号0010，对，对应于最小应于最小项：项：ABCD=0100时函时函数取值数取值函数取函数取0、1均可，为任均可，为任意状态。意状态。只有一只有一项不同项不同第41页，本讲稿共70页为了方便，有时用二进制对为了方便，有时用二进制对应的十进制表示单元编号。应的十进制表示单元编号。ABC0001111001F(A,B,C)=(1,2,4
18、,7)1,2,4,7单元取单元取1,其它取其它取0ABCD0001111000011110第42页，本讲稿共70页2.6.2 2.6.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简图形化简法图形化简法卡诺图法步骤卡诺图法步骤:一、布阵（画法规则）一、布阵（画法规则）二、填项二、填项(用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数)三、勾圈化简三、勾圈化简(用卡诺图用卡诺图化简化简)三三步步曲曲第43页，本讲稿共70页一、布阵（画法规则）一、布阵（画法规则）卡诺图卡诺图:是与真值表关系相对应，按是与真值表关系相对应，按一定规则一定规则画出来的方块图。画出来的方块图。n n个变量个变量:N=2N=2n n 项项 n=
19、3:N=8n=3:N=8 n=4:N=16n=4:N=16最小项：构成逻辑函数的基本单元。最小项：构成逻辑函数的基本单元。卡诺图卡诺图小方块小方块真真值值表表第44页，本讲稿共70页1.1.N=2N=2n n 格（格（n n 5 5）:最小项最小项2.2.循环码编排循环码编排循环邻接循环邻接上下封闭上下封闭A BA BC DC D0 00 00 10 11 11 11 01 00 00 00 10 11 11 1 1 01 00000000011111111 00000000 00000101 00001111 00001010 01010000 01010101 01011111 01011
20、010 11110000 11110101 11111111 11111010 10100000 10100101 10101111 10101010相邻两项相邻两项只只有一个变量有一个变量取值不同取值不同 最小项最小项编号方式一：编号方式一：布布阵阵第45页，本讲稿共70页 最小项最小项编号方式二：编号方式二：变量变量取值取值 0 反反变量变量取值取值 1 原原变量变量A BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ABDC第46页，本讲稿共70页A BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ABDC 最小项最小项编号方式三：编号方式三：按十进制数编号：按十进制
21、数编号：m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m8 m9 m11 m10 m12 m13 m15 m14高位高位低位低位m0 m15第47页，本讲稿共70页布阵布阵:1.1.N=2N=2n n 格格（n n 5 5）:最小项最小项2.2.循环码编排循环码编排最小项编号最小项编号 方式方式:1)0000 11113)3)m m0 0 m m1515例例:四变量四变量 卡诺图卡诺图2)2)ABCD ABCD第48页，本讲稿共70页二、填项二、填项用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数填填F=1F=1项项1.1.最小项直接填入；最小项直接填入；2.2.刷项（填公因子所包含的项）；刷项（填
22、公因子所包含的项）；3.3.按按（m m0 0,m m1515)编号填入。编号填入。按按F=1F=1与或式与或式填项填项第49页，本讲稿共70页例例1:A BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ABDC1直接填入直接填入1公因子公因子:有重复有重复“1”者，只填一个者，只填一个“1”。第50页，本讲稿共70页A BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ABDC1111公因子公因子:BD 有重复有重复“1”者，只填一个者，只填一个“1”。刷项：刷项：填公因子包填公因子包含的项含的项例例1:第51页，本讲稿共70页A BC D0 00 11 11 00 00
23、11 1 1 0ABDC1111 1 1 1 11 1 1 1有重复有重复“1”者，只填一个者，只填一个“1”。刷项：刷项：填公因子填公因子包含的项包含的项例例1:第52页，本讲稿共70页A BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ABDC1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1F=1的项全部填完以后的项全部填完以后,填项结束填项结束;不填者自动为不填者自动为“0”。例例1:第53页，本讲稿共70页三、勾圈化简三、勾圈化简1.圈最少圈最少,圈内圈内“1”最多最多,但为但为2 n n个个(n0(n0);2.2.2 n n个个“1”被圈被圈消消n n个变量个变量;3.3.所有
24、所有“1”圈圈过，化简结束。过，化简结束。用卡诺图用卡诺图化简化简方法：方法：可得最简与或式可得最简与或式第54页，本讲稿共70页A BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ABDC1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1D保留公因子：保留公因子：消消取值不同取值不同的变量：的变量：B保留公因子：保留公因子：合理重叠（合理重叠（“1”1”可以重复使用）。可以重复使用）。例例1:第55页，本讲稿共70页也可以取也可以取F=0的项化简的项化简:A BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 01 1 1 11 1 1 1 1 1 1 10000第56页，本讲稿共7
25、0页BA BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ACD 1 1 1 111填项：填项：第57页，本讲稿共70页BA BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ACD 1 1 1 1111 11F=1的项全部填完以后的项全部填完以后,填项结束。填项结束。第58页，本讲稿共70页BA BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ACD 1 1 1 1111 11冗冗余项余项勾圈化简勾圈化简第59页，本讲稿共70页例：用公式化简法得到下式，是否为最简式例：用公式化简法得到下式，是否为最简式?ABC0100 01 11 101 11 1BC填填项项第6
26、0页，本讲稿共70页ABC0100 01 11 101 11 111BCF=1F=1全部全部填完填完,填填项结项结束束第61页，本讲稿共70页ABC0100 01 11 101 11 111勾圈勾圈化简化简圈最少圈最少,圈内圈内“1”最多最多,但为但为2 n n个个第62页，本讲稿共70页ABC0100 01 11 10 1 11 111 圈最少圈最少,圈圈内内“1”最多最多,但为但为2 n n个个第63页，本讲稿共70页ABC0100 01 11 101 11 111ABC0100 01 11 101 11 111说明：化简结果不唯一。说明：化简结果不唯一。第64页，本讲稿共70页BA BC
27、 D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ACD111111111111F4(A,B,C,D)=m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)第65页，本讲稿共70页BA BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ACD111111111111 F4(A,B,C,D)=m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)第66页，本讲稿共70页B ABCD0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ACD111111111111BABCD0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ACD111111111111圈最少圈最少,圈内
28、圈内“1”最多最多,但为但为2 n n个个化简化简结果不唯一。结果不唯一。说明一：说明一：说明二：说明二：第67页，本讲稿共70页小结：小结：逻辑代数：数字电路分析和设计的理论工具。逻辑代数：数字电路分析和设计的理论工具。一一、逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法（五种五种）：）：真值表，逻辑式，卡诺图，逻辑图，波形图。真值表，逻辑式，卡诺图，逻辑图，波形图。第68页，本讲稿共70页二、逻辑代数：二、逻辑代数：1.1.基本运算法则：基本运算法则：结合律结合律、交换、交换律律、分配律等；分配律等；2.2.几种形式的吸收律：几种形式的吸收律：原变量、原变量、反变量、反变量、混合变量；混合变量；3.3.几个定理：几个定理：德德 摩根定理摩根定理、反演定理。反演定理。第69页，本讲稿共70页三、三、化简：两种方法化简：两种方法1.1.公式法公式法布尔代数；布尔代数；2.2.图形法图形法卡诺图卡诺图(n(n 4)4)：三步：布阵、填项三步：布阵、填项、勾圈化简；勾圈化简；具有约束的逻辑函数的化简。具有约束的逻辑函数的化简。三、三、化简：两种方法化简：两种方法第70页，本讲稿共70页