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1、分析力学基础第1页，共39页，编辑于2022年，星期五自由度和广义坐标是分析力学最基本的概念自由度和广义坐标是分析力学最基本的概念.虚虚位移原理的广义坐标描述便是位移原理的广义坐标描述便是:对应于各广义坐对应于各广义坐标的广义力分别为零是系统静止平衡的充要条件标的广义力分别为零是系统静止平衡的充要条件.虚位移原理也称静力学普遍方程虚位移原理也称静力学普遍方程.虚位移原理与达虚位移原理与达朗伯原理的结合便得到动力学普遍方程朗伯原理的结合便得到动力学普遍方程.动力学动力学普遍方程的广义坐标表达可得到拉格朗日方程普遍方程的广义坐标表达可得到拉格朗日方程.确切地说是第二类拉格朗日方程确切地说是第二类拉
2、格朗日方程.它是完整约束下它是完整约束下的质点系统的运动微分方程的质点系统的运动微分方程通式通式.第2页，共39页，编辑于2022年，星期五3 1 自由度与广义坐标自由度与广义坐标1.自由度自由度:独立的虚位移的个数独立的虚位移的个数.2.广义坐标广义坐标:确定质点系空间位置的独立变量确定质点系空间位置的独立变量.:在完整约束下在完整约束下,自由度的个数与广义坐标的个数相等自由度的个数与广义坐标的个数相等.完整约束下完整约束下,若系统有若系统有n 个质点个质点,s 个约束方程个约束方程,则自由度则自由度N=3n s 用直角坐标系下的投影表达为用直角坐标系下的投影表达为:第3页，共39页，编辑于
3、2022年，星期五3.广义力广义力.广义力的定义须用数学式表达广义力的定义须用数学式表达.这里要说的是这里要说的是:广义力是质点系中一群力和广义力是质点系中一群力和力偶的组合力偶的组合.它是分析力学中的一个基本概念它是分析力学中的一个基本概念.它与广义坐标直接相关它与广义坐标直接相关,不同不同的的广义坐标对应着不同的广义力的的广义坐标对应着不同的广义力.称称Qk 为系统对应于广义坐标为系统对应于广义坐标qk 的广义力的广义力.(k=1、2、3N)对于完整的理想约束下的力学系统对于完整的理想约束下的力学系统,质点系的虚功表达可作如下的演变质点系的虚功表达可作如下的演变:上式中令上式中令广义力的求
4、法广义力的求法:(1)在直角坐标系下在直角坐标系下(2)虚功法虚功法:(k=1、2、3N)则则第4页，共39页，编辑于2022年，星期五xyabAOB例一例一 (参见参见 书上书上 例例17 6 )双摆杆系统如图示双摆杆系统如图示.OA=a,AB=b,受已知力如图示受已知力如图示.选广义坐标选广义坐标1 和和 2,试求广义力试求广义力.解解:第5页，共39页，编辑于2022年，星期五xyabAOBxyabAOB第6页，共39页，编辑于2022年，星期五3 2 以广义坐标表示的质点系的平衡条件以广义坐标表示的质点系的平衡条件由虚位移原理由虚位移原理:及及Qk 为系统对应于广义坐标为系统对应于广义
5、坐标qk 的广义力的广义力.(k=1、2、3N)上式中令上式中令所以所以,由于各广义坐标是互相独立的由于各广义坐标是互相独立的,而虚位移是不能为零的而虚位移是不能为零的.因而有因而有:即是即是:如果质点系统平衡如果质点系统平衡,则各广义坐标对应的广义力分别为零则各广义坐标对应的广义力分别为零.第7页，共39页，编辑于2022年，星期五例二例二.平行四杆机构平行四杆机构,尺寸尺寸a、b、l 及力及力P、F 均为已知均为已知.求求:平衡时平衡时 =?=?lPablFxyACDB解解:这是一个双自由度的力学系统这是一个双自由度的力学系统.选广义坐选广义坐标标、.(、分别为与水平线的夹角分别为与水平线
6、的夹角).由本题由本题的特点的特点,建立直角坐标系建立直角坐标系,求出有关的虚位移求出有关的虚位移.(不作功不作功的虚位移不必求出的虚位移不必求出).由由、的独立性及的独立性及 0 、0 必有必有:第8页，共39页，编辑于2022年，星期五lPablFxyACDB注意前面这两行虚位移原理方程的展开式注意前面这两行虚位移原理方程的展开式:广义力广义力Q 广义力广义力Q 即是即是:上式是两个自由度力学系统的虚位移原理用广义坐标的表达式上式是两个自由度力学系统的虚位移原理用广义坐标的表达式.如果一个有如果一个有N个自由度的力学系统个自由度的力学系统,则虚位移原理的广义坐标的表达式为则虚位移原理的广义
7、坐标的表达式为:对比例题的结果对比例题的结果,不难理解这样一个结论不难理解这样一个结论:对于完整理想约束的力学系统对于完整理想约束的力学系统,其静止平衡的充要条其静止平衡的充要条件是件是:对应于每一个广义坐标的广义力分别为零对应于每一个广义坐标的广义力分别为零.如果广义力不为零如果广义力不为零,质点系必然运动质点系必然运动.描述其运动描述其运动,我们可用后面将要讲到的我们可用后面将要讲到的 拉格朗日方程拉格朗日方程.第9页，共39页，编辑于2022年，星期五 解解:系统有两个自由度系统有两个自由度,选广义坐标选广义坐标 x1 和和x2 .习题选解习题选解:习习 17 15(P275)图示系统中
8、图示系统中,重物重物P3,倾角倾角 ,皆为已知皆为已知.不计摩不计摩 擦擦,忽略滑轮和绳子的质量忽略滑轮和绳子的质量.求平衡时求平衡时,重物重物P1 和和P2 的大小的大小.x1x2x3P1P3P2第10页，共39页，编辑于2022年，星期五习习 17 17 (P276)杆系在铅垂面内平衡杆系在铅垂面内平衡,AB=BC=l,CD=DE,且且AB,CE 为水为水 平平,CB为铅垂为铅垂.均质杆均质杆CE 与刚度为与刚度为 k1 的弹簧相连的弹簧相连,重为重为P 的均质杆的均质杆AB 的左端的左端A 处装有一刚度为处装有一刚度为 k2 的螺旋弹簧的螺旋弹簧.BC 杆上作用有线性分布载荷杆上作用有线
9、性分布载荷,其最大的集度为其最大的集度为q.BC 杆的重量不计杆的重量不计.求求此时水平弹簧的变形量此时水平弹簧的变形量 和和 螺旋弹簧的扭转角螺旋弹簧的扭转角 .解解:两个自由度两个自由度.选广义坐标选广义坐标 (螺旋弹簧的扭转角螺旋弹簧的扭转角)和和 (线弹簧的伸长量线弹簧的伸长量)ABCEDk1k2qP由广义坐标的虚位移原理由广义坐标的虚位移原理:对本题有对本题有:第11页，共39页，编辑于2022年，星期五由质点系的达朗伯原理由质点系的达朗伯原理:由虚位移原理由虚位移原理:在理想约束下在理想约束下:即是即是:(1)式称为动力学普遍方程式称为动力学普遍方程.若用直角坐标分量来表达则为若用
10、直角坐标分量来表达则为:3 3 动力学普遍方程动力学普遍方程(2)第12页，共39页，编辑于2022年，星期五例一例一:(书上书上 例例18 2)两个半径为两个半径为r 的均质轮质量皆为的均质轮质量皆为m1,对轮心的转动惯量各对轮心的转动惯量各为为J.连连杆的质量为杆的质量为m2,其两端与两轮的轮心以铰链相连其两端与两轮的轮心以铰链相连.设圆轮在倾角为设圆轮在倾角为 的斜面上作纯的斜面上作纯滚动滚动,求轮心的加速度求轮心的加速度.m2gm1gm1g解解:设轮心的加速度为设轮心的加速度为a.系统的运动分析系统的运动分析及达朗伯惯性力简化如图所示及达朗伯惯性力简化如图所示.a x由动力学普遍方程由
11、动力学普遍方程:第13页，共39页，编辑于2022年，星期五例二例二(书上例书上例 18 3)图中二均质圆柱轮质量皆为图中二均质圆柱轮质量皆为m,半径皆为半径皆为r.轮轮I 绕绕O 轴转动轴转动,轮轮II 上上绕有细绳且细绳缠于轮绕有细绳且细绳缠于轮I 上上.二轮在同一平面内运动二轮在同一平面内运动.若细绳的直线部分为铅垂时若细绳的直线部分为铅垂时,求轮求轮II 的中心的中心C 的加速度的加速度.IIIOCmg解解:运动分析及达朗伯惯性力简化如图运动分析及达朗伯惯性力简化如图.根据动力学普遍定理根据动力学普遍定理,则有则有:代入上式中可得代入上式中可得:(接后页接后页)第14页，共39页，编辑
12、于2022年，星期五IIIOCmg第15页，共39页，编辑于2022年，星期五3 4 拉格朗日方程拉格朗日方程(第二类第二类)预备知识预备知识:设一个完整约束的力学系统有设一个完整约束的力学系统有n个质点个质点(i=1、2、3n)每一个质点在空间的位置由每一个质点在空间的位置由N 个广义坐标和时间唯一确定个广义坐标和时间唯一确定.即即:于是于是,每一个质点的虚位移是每一个质点的虚位移是:两个经典公式：两个经典公式：证明证明:第16页，共39页，编辑于2022年，星期五又又:对比可得对比可得:根据上式根据上式,下面有一个关系式在推证过程中要用到下面有一个关系式在推证过程中要用到:第17页，共39
13、页，编辑于2022年，星期五在在 一章里一章里,有一个关系式也要用到有一个关系式也要用到.下面便是讲义里的一段下面便是讲义里的一段:称称Qk 为系统对应于广义坐标为系统对应于广义坐标qk 的广义力的广义力.(k=1、2、3N)对于完整的理想约束下的力学系统对于完整的理想约束下的力学系统,质点系的虚功表达可作如下的演变质点系的虚功表达可作如下的演变:上式中令上式中令则则第18页，共39页，编辑于2022年，星期五推证过程如下推证过程如下:由由qk 的独立性的独立性,则分别有则分别有:这就是著名的第二类拉格朗这就是著名的第二类拉格朗日方程日方程.它是完整约束下的质它是完整约束下的质点系统或刚体系统
14、的运动微点系统或刚体系统的运动微分方程的通式分方程的通式.系统有几个自由度系统有几个自由度,就有几就有几个独立的微分方程式个独立的微分方程式.第19页，共39页，编辑于2022年，星期五AOmgmg例一例一.均质圆环的半径为均质圆环的半径为R,质量为质量为m,可在水平面上只滚不滑可在水平面上只滚不滑.有一质点有一质点A固结固结在轮缘上在轮缘上,质量也质量也是是m.初始平衡静止初始平衡静止.求求:受初干扰后系统的运动微分方程受初干扰后系统的运动微分方程.OmgARmgOmgAR解解:受干扰后受干扰后,圆环在水平面上往复滚动圆环在水平面上往复滚动.一个自由度一个自由度,选选 角为广义坐标角为广义坐
15、标.第20页，共39页，编辑于2022年，星期五例二例二.(习习 18 6)三个齿轮的质量分别为三个齿轮的质量分别为m1、m2、m3，相互啮合，相互啮合.各轮可视为均各轮可视为均质圆盘质圆盘,其半径分别为其半径分别为r1、r2、r3.三个齿轮上分别作用力偶三个齿轮上分别作用力偶M1、M2、M3,其转向如图示其转向如图示.求齿轮求齿轮1的的角加速度角加速度.M2 M3 1 2 3O1O2O3M1解解:系统为一个自由度选系统为一个自由度选1轮的转角轮的转角1 为广义坐为广义坐标标.由定轴轮系的传动比可知由定轴轮系的传动比可知:第21页，共39页，编辑于2022年，星期五解答后的提示解答后的提示:此
16、题求的是此题求的是1轮的角加速度轮的角加速度,似乎不是微分方程似乎不是微分方程.其实其实,最简单的微分方程就是相关坐标对时间最简单的微分方程就是相关坐标对时间的二阶导数与力、力偶的关系的二阶导数与力、力偶的关系.(力、力偶或为常量或为相关坐标及时间的函数力、力偶或为常量或为相关坐标及时间的函数).可以证明可以证明:如果一个系统的动能表达式仅为广义速度的齐次函数如果一个系统的动能表达式仅为广义速度的齐次函数,则可通过拉则可通过拉格朗日方程求格朗日方程求 得各个物体的加速度得各个物体的加速度.第22页，共39页，编辑于2022年，星期五例三例三.求图示力学系统的运动微分方程求图示力学系统的运动微分
17、方程.(参见参见P162 例例 17 6)yOxabAB 解解:这是两个自由度系统这是两个自由度系统,选广义坐标和求广义力的工作已在上选广义坐标和求广义力的工作已在上一章完成一章完成.第23页，共39页，编辑于2022年，星期五:势力场下的拉格朗日方程势力场下的拉格朗日方程 在势力场下在势力场下,势能是广义坐标的函数势能是广义坐标的函数.第24页，共39页，编辑于2022年，星期五例四例四.(习习 18 4)解解:一个自由度一个自由度,选广义坐标选广义坐标.选选A处水平面为势能零点处水平面为势能零点.mgOR l A第25页，共39页，编辑于2022年，星期五例五例五.图示均质圆盘质量为图示均
18、质圆盘质量为m,半径为半径为r;均质杆质量亦为均质杆质量亦为m,长长l.设圆盘在水平面设圆盘在水平面上纯滚动上纯滚动.求求:系统的运动微分方程系统的运动微分方程.CBmgxAmg解解:系统有两个自由度系统有两个自由度,选广义坐标选广义坐标 x、.选选A处水平面为重力势能零点处水平面为重力势能零点第26页，共39页，编辑于2022年，星期五CBmgxAmg第27页，共39页，编辑于2022年，星期五例六例六.(习习18 17)解解:这是一个双自由度的自由振动系统这是一个双自由度的自由振动系统.以各自静平衡的位置建立广义坐标以各自静平衡的位置建立广义坐标x1 和和x2.选静平衡的位置为重力和弹力势
19、能零点选静平衡的位置为重力和弹力势能零点 m1g m2g由静力平衡可得由静力平衡可得:代入上画了蓝线的式中可使之分别为零代入上画了蓝线的式中可使之分别为零.于是于是:第28页，共39页，编辑于2022年，星期五习习 18 10 均质杆均质杆AB 长为长为l,质量为质量为m,借助于其借助于其A 端的辊子沿斜面滑下端的辊子沿斜面滑下,斜面的斜面的 倾角为倾角为 角角.不计辊子的质量和摩擦不计辊子的质量和摩擦,求杆的运动微分方程求杆的运动微分方程.又又,设杆设杆AB 当当 =0 时由静时由静止开始运动止开始运动,求开始运动时斜面所受到的压力求开始运动时斜面所受到的压力.解解:两个自由度两个自由度,选
20、广义坐标选广义坐标x 和和 xABmg C-整理后可得整理后可得:第29页，共39页，编辑于2022年，星期五如果计算系统的势能如果计算系统的势能,则选系统开始运动时过则选系统开始运动时过A 点的水平面为重力的零势面点的水平面为重力的零势面.BAx(A)mg C 可得上面所求的结果可得上面所求的结果.第30页，共39页，编辑于2022年，星期五若系统在静止开始运动瞬时若系统在静止开始运动瞬时 =0.即是即是 当当t=0 时时 =0.且且 变成变成由由(1)(2)联立可得联立可得:ACBmg y 为求为求A 处的约束反力处的约束反力,分析质心分析质心C 的加速度如图示的加速度如图示:由由沿沿y
21、轴投影轴投影:则系统的运动方程则系统的运动方程第31页，共39页，编辑于2022年，星期五例七例七.综综 21(P190)解解:双自由度双自由度,选广义坐标选广义坐标 x1 、sr .m1g m2gsrC选初始时圆柱的选初始时圆柱的C 点处为重力势能零点点处为重力势能零点第32页，共39页，编辑于2022年，星期五例八例八.(习习 18 21 )解解:选广义坐标选广义坐标(设滑轮设滑轮O 的半径为的半径为R).A R O r B .第33页，共39页，编辑于2022年，星期五第34页，共39页，编辑于2022年，星期五 习习习习 18 13 18 13 质量为质量为质量为质量为 m m 的质点
22、在一半径为的质点在一半径为的质点在一半径为的质点在一半径为 r r 的圆环内运动的圆环内运动的圆环内运动的圆环内运动,圆环对圆环对圆环对圆环对AB AB 轴的转动惯量轴的转动惯量轴的转动惯量轴的转动惯量为为为为 J.J.欲使此环在矩为欲使此环在矩为欲使此环在矩为欲使此环在矩为M M 的力偶的作用下以等角速度的力偶的作用下以等角速度的力偶的作用下以等角速度的力偶的作用下以等角速度 绕铅直轴绕铅直轴绕铅直轴绕铅直轴 AB AB 转动转动转动转动.求求求求 力偶矩力偶矩力偶矩力偶矩M M 和质点和质点和质点和质点m m 的运动微分方程的运动微分方程的运动微分方程的运动微分方程.MM r r 解解解解
23、:双自由度双自由度双自由度双自由度,选广义坐标选广义坐标选广义坐标选广义坐标 和和和和 .第35页，共39页，编辑于2022年，星期五 MM r r 第36页，共39页，编辑于2022年，星期五ABkr补充习题补充习题:已知均质圆盘已知均质圆盘 质量为质量为M,半径为半径为r,在水平面上作纯滚动在水平面上作纯滚动.小球小球B 质量质量为为m,以细绳系与圆盘的中心以细绳系与圆盘的中心C 相连相连,绳子的长度为绳子的长度为l.圆盘中心连一水平圆盘中心连一水平弹簧弹簧,其弹簧常其弹簧常数为数为 k.试写出系统的运动微分方程试写出系统的运动微分方程.mgMg解解:系统有两个自由度系统有两个自由度,取广义坐标取广义坐标x 和和 .(x 坐标的原点宜取在系统静平衡时与坐标的原点宜取在系统静平衡时与 圆盘中心重合的位置圆盘中心重合的位置)x 取过圆盘中心的水平位置为系统取过圆盘中心的水平位置为系统的重力势能零点的重力势能零点;弹簧原长时的弹簧原长时的A 点处为弹力势能零点点处为弹力势能零点.则则 系统的势能表示为系统的势能表示为:第37页，共39页，编辑于2022年，星期五ABkrmgMg x 第38页，共39页，编辑于2022年，星期五第39页，共39页，编辑于2022年，星期五