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1、初中奥数几何第1页，本讲稿共68页考点归纳：1.几何基本概念与简单图形2.三角形，解直角三角形，相似形3.四边形，平面图形的初步变化4.圆第2页，本讲稿共68页知识梳理（1）：几何的基本概念与简单图形线段与角的推理计算平行线，相交线通过面积割补练习推理第3页，本讲稿共68页通过面积割补法：面积割补的知识大家早已熟悉，其中“等底等高的两个三角形面积相等”是非常重要的等积变形定理。“三角形的一边中位线平分这个三角形的面积。”是它的直接推论。两直线平行的等积判定准则：如图所示，线段BC在线段m上，A,D在m的同侧，若ABC与DBC面积相等，则点A,D所在直线n必与直线m平行。ADBCnm第4页，本讲
2、稿共68页知识梳理（2）：三角形相似形三角形及其边角关系全等三角形，等腰三角形直角三角形与勾股定理三角形的不等关系三角形的中位线定理相似三角形三角形平分线性质定理及其应用梅内劳斯定理于塞瓦定理及其应用第5页，本讲稿共68页梅内劳斯定理梅内劳斯定理：X,Y,Z分别是ABC三边所在的直线BC,CA,AB上的点,则X,Y,Z共线的充分必要条件是ABCXYZabcABCXYZabc由定理可得以上两种图形：1.X,Y,Z三点之中只有一点在三角形的延长线上，而其它两点在三角形的边上2.X,Y,Z三点分别都在三角形三边的延长线上第6页，本讲稿共68页证明定理：证明（1）必要性，即若X,Y,Z三点共线，则设A
3、,B,C到直线XYZ的距离分别是a,b,c则三式相乘及得(2)充分性即若则X,Y,Z三点共线设直线XZ交AC与,由此证必要性得：第7页，本讲稿共68页又固已知得：因为和Y或同在AC线段上，或同在AC边的延长线上，并且并且能分得比值相等，所以和Y必重合为一点，也就是X,Y,Z三点共线。梅内劳斯定理的应用：1.求共线线段的比2.证明三点共线第8页，本讲稿共68页赛瓦定理连接三角形一顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线。赛瓦定理：从ABC的每个顶点出发作一条赛瓦线，AX,BY,CZ.则AX,BY,CZ共点的充要条件是ABCXYZC1B1第9页，本讲稿共68页赛瓦定理实质上包含充分性和必要
4、性两个命题：充分性命题设ABC的三条赛瓦线AX,BY,CZ共点，则必有必要性命题设ABC中，AX,BY,CZ是三条赛瓦线，如果则AX,BY,CZ三线共点。赛瓦定理的应用1.利用必要性可证明三线共点问题。2.利用充分性可以证明线段之间的比例式或乘积式。第10页，本讲稿共68页知识梳理（3）：四边形平面图形的初步变化矩形，菱形，正方形，多边形平行四边形及其判定梯形的判定及中位线定理平移，轴对称，图形的旋转面积问题与面积方法第11页，本讲稿共68页知识梳理（4）：圆垂径定理及其应用圆周角定理及其应用圆内接四边形与四点共圆圆幂定理及其应用点与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系和圆有关的比例
5、线段三角形中的四心正多边形和圆几何中的定值和最值第12页，本讲稿共68页垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。ABCDOrOCAB则AD=ABAOD=BOD其中，OB叫做弦AB的弦心距离。应用：通过垂径定理来确定圆的圆心与半径，从而确定圆。第13页，本讲稿共68页圆幂定理相交弦定理与切割弦定理统称为圆幂定理。相交弦定理圆的弦相交与圆内一点，各弦被点内分成的两条线段的乘积相等。图1所示，有PAPB=PCPD切割弦定理圆的延长线相交与圆外一点，各被这点外分成的两条线段的乘积相等，并且等于这点到的切线的平方。图1所示，有PAPB=PCPD=PCPC第14页，本讲稿共68页
6、ABCDP图1ABPCDE图2应用：圆幂定理多用来证明线段的乘积式与比例式，或者用于计算圆中的线段。圆幂定理的逆定理多用来证明四点共圆及圆与直线相切。第15页，本讲稿共68页线段与角的求解1.如图所示，OM是AOB的平分线，射线OC在BOM内，ON是BOC的平分线。已知AOC=80，求MON的度数。OABCMN第16页，本讲稿共68页解：因为OM是AOB的平分线，所以AOM=BOM（角平分线的定义）又ON是BOC的平分线所以BON=CON所以BOC=2NOC（*）由图可知AOM+COM=AOC=80所以BOM+COM=80（等量代换）但BOM=BOC+COM（全量等于各部分的和）所以BOC+C
7、OM+COM=80即BOC+2COM=80将（*）代入得2NOC+2COM=80即NOC+COM=40所以MON=40第17页，本讲稿共68页2.如图所示，C是线段AB上一点，D是线段CB的中点,已知图中所有线段的长度之和等于23cm，线段AC与线段BC的长度都是正整数，求线段AC的长度是多少cm？ABCD解：设线段AC的长为x，CB的长为y，则x,y均为正整数。在图中所有线段及其长度表示如下：AC=x,AD=x+AB=x+y,CD=,DB=CB=第18页，本讲稿共68页由所有线段的和等于23cm，列出方程：x+（x+）+（x+y）+y+=23即3x+=23.(*)由于x,y均为正整数，根据(
8、*)式，可知为正整数，从而y为偶数。当y6时，3x+23，所以y只能取2或4.当y=2时，由3x+=23，求出x=不是整数，所以y2,因此，只能y=4,进而x=3即线段AC的长度是3.第19页，本讲稿共68页平行线和相交线3.如图所示，CDAF，CDE=BAF，ABBC，C=124，E=80，求F的度数。AFBCDE第20页，本讲稿共68页解：如图过B做BPCD.CDAF,BPAF由BPCD，C+CBP=180CBP=180-C=180-124=56已知ABBC,CBA=90所以PBA=90-56=34BPAF,A=180-C=180-34=146=CDF过E做EQCD.由于CDAF,得EQA
9、F则DEQ=180-CDE=180-146=34第21页，本讲稿共68页又已知DEF=80，所以QEF=80-34=46因为EQAF，则F+QEF=180所以F=180-QEF=180-46=134第22页，本讲稿共68页面积割补法4.四边形ABCD的面积为S,点E,F,M,N分别为AB,DC的三等分点，求证：四边形EFNM的面积等于ABCDMNEF第23页，本讲稿共68页证明：连接BD,DE,BN二式相加得：连接EN，可知相加得第24页，本讲稿共68页5.证明：等边三角形内一点到三边距离之和等于定值，这个定值是这个等边三角形的高。ABCDEFH第25页，本讲稿共68页证明：已知ABC中，AB
10、=BC=CA=a，P为ABC内一点，PDAB于D,PEBC于E，PFAC于F，AHBC于H记，PD=,PE=,PF=,AH=h,联接PA,PB,PC.则可得则即即PD+PF+PE=h第26页，本讲稿共68页第27页，本讲稿共68页梅涅梅涅劳劳斯斯(Menelaus)定理（梅氏定理（梅氏线线）ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是塞瓦塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）定理（塞瓦点）ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条件是第28页，本讲稿共68页例1.（梅氏定理）过ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB
11、于D。求证：【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。DEG截ABMDGF截ACM第29页，本讲稿共68页例2.（塞瓦定理）设X、Y、Z分别是ABC的边BC、CA、AB上的点，若则AX、BY、CZ三线共点.解：设与交于点，连、设易知，（），、共线、共点第30页，本讲稿共68页1.已知：二次方程mx2(m2)x+(m1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值.求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比.第31页，本讲稿共68页解：作RtABC斜边上的高CD。sinA和sinB是方程的两根，根据韦达定理，得当m=1时，没有意义；当m=-8时，即直角三角形斜边与斜边上的高的
12、比是329.第32页，本讲稿共68页2.如图已知：ABC中，AD是角平分线BECF，M、N分别是BC和EF的中点。求证：MNAD第33页，本讲稿共68页证明一：连结EC，取EC的中点P，连结PM、PN，则有MPBE，NPCF，BECF，MPNP，2=3MNAD第34页，本讲稿共68页证明二：连结并延长EM到G，使MGME连结CG，FG，则MNFG，MCGMBECGBECF，BBCGABCG，BACFCG180CAD（180FCG）CFG（180FCG）=CADMNAD第35页，本讲稿共68页证明：作DEAC，DFBC，交BA或延长线于点E、F，ACDE和BCDF都是平行四边形DEAC，DFBC
13、，AECDBF作DHAB于H，根据勾股定理AH，FHADBC，ADDF，AHFH，EHBHDE，BDDEBD，即ACBD3.已知梯形ABCD中，ABCD，ADBC。求证：ACBD第36页，本讲稿共68页4.已知：ABC中，ABAC，点P在中位线MN上，BP，CP的延长线分别交AC，AB于E，F.求证：有定值。第37页，本讲稿共68页证明：设MP为t,则NP=at.MNBC，c是定线段，是定值.，即有定值.第38页，本讲稿共68页5.已知：ABC中，,求：的值.解：ADF和ABC有公共角A，第39页，本讲稿共68页6如图，已知ABC中，AB=AC，D是BC上一点，若BDE=CDF，E、F分别为A
14、B、AC上的点。求证：.解：如图，过E作EMBC于M，过F作FNBC于N，AB=ACABC=ACBBDF=CDFBDECDF，DE：DF=BD：CD又EMD=90=FNDBDE=CDFMDENDFDE：DF=EM：FNBD：CD=EM：FNBDFN=CDEM即第40页，本讲稿共68页第41页，本讲稿共68页初中数学竞赛几何部分四边形1.四边形在竞赛中的主要知识点2.四边形的一般解题方法第42页，本讲稿共68页四边形包括平行四边形，矩形，梯形，菱形和不规则四边形以下箭头可以表示上述各概念间的从属关系：第43页，本讲稿共68页定义：两组对边分别平行的四边形称为平行四边形。性质：对角分别相等；对边分
15、别相等；对角线互相平行；对角线的平方和等于四条边的平方之和。（可用勾股定理证明）推论：三角形两边的平方和等于第三边上中线的平方与第三边之半的平方和的2倍。欧拉定理：四边形各边的平方之和等于其对角线的平方和加上两对角线中点连结线段的平方之4倍。判定定理：若有下列条件之一成立，四边形即为平行四边形对角分别相等；对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分；对角线的平方和等于四边的平方和第44页，本讲稿共68页定义：一个四边形中如果有一组对边平行，这个四边形称为广义梯形。一个四边形中如果一组对边平行，另一组对边不平行，这个四边形称为狭义梯形。梯形的中位线定理：梯形两腰中点的连线（中位线）平行于底
16、边且等于两底和的一半。注：有关梯形的问题，常通过引高线、平移腰或对角线，将梯形的问题转化为三角形的问题。这是解决梯形问题常用的添设辅助线的方法。第45页，本讲稿共68页定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形称为正方形。性质：四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。注：正方形问题常转化为三角形的问题来解决，在解题时，利用正方形的性质构造直角三角形和等边三角形，再利用勾股定理等解决问题。第46页，本讲稿共68页托勒密托勒密(Ptolemy)定理定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。定理证明、推论定理证明、推论http:/