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1、第三节函数的连续性第1页，共33页，编辑于2022年，星期二 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 一一.函数的连续性函数的连续性 自然界中有许多现象自然界中有许多现象,如气温的变化如气温的变化,河水的流动河水的流动,植植物的生长等等物的生长等等,都是连续变化着的都是连续变化着的.这种现象在函数关系这种现象在函数关系上的反映上的反映,就是函数的连续性就是函数的连续性.例如就气温的变化来看例如就气温的变化来看,当当时间变动很小时时间变动很小时,气温的变化也很小气温的变化也很小,这种特点就是所谓这种特点就是所谓连续性连续性.当当 t 的变化很小时，的变化很小时，T 的变化也很小的变化也很小第2
2、页，共33页，编辑于2022年，星期二注：注：u是一个记号，是一个不可分割的整体。是一个记号，是一个不可分割的整体。u可正、可负、可为零可正、可负、可为零.自变量的增量自变量的增量 函数的增量函数的增量 1、函数的增量、函数的增量 第3页，共33页，编辑于2022年，星期二定义定义12、函数的连续性、函数的连续性 第4页，共33页，编辑于2022年，星期二定义定义2 由以上定义可看出函数由以上定义可看出函数f(x)在在x=x0处的极限与连续处的极限与连续 的定义的区别。的定义的区别。注注第5页，共33页，编辑于2022年，星期二左连续与右连续左连续与右连续在区间上的连续性在区间上的连续性连续函
3、数的图形是一条连续不断的曲线。连续函数的图形是一条连续不断的曲线。第6页，共33页，编辑于2022年，星期二证：证：例例1、第7页，共33页，编辑于2022年，星期二例例2、解：解：根据连续的充要条件，有根据连续的充要条件，有第8页，共33页，编辑于2022年，星期二例例3、解：解：第9页，共33页，编辑于2022年，星期二分段函数在分界点处的连续性：分段函数在分界点处的连续性：先计算出先计算出分段函数在分界点的极限值分段函数在分界点的极限值，后，后与与该点处函数值比较该点处函数值比较，看两值是否相等，若，看两值是否相等，若相等，则在分界点处连续，否则在分界点相等，则在分界点处连续，否则在分界
4、点处不连续；处不连续；第10页，共33页，编辑于2022年，星期二1、定义：、定义：二、函数的间断点二、函数的间断点第11页，共33页，编辑于2022年，星期二例例4、第12页，共33页，编辑于2022年，星期二。例例5、第13页，共33页，编辑于2022年，星期二例例6、。第14页，共33页，编辑于2022年，星期二例例7、例例8、第15页，共33页，编辑于2022年，星期二2、第16页，共33页，编辑于2022年，星期二例例9、解：解：第17页，共33页，编辑于2022年，星期二第18页，共33页，编辑于2022年，星期二三、连续函数的运算与初等函数的连续性三、连续函数的运算与初等函数的连
5、续性1、连续函数的和、差、积、商的连续性、连续函数的和、差、积、商的连续性定理定理1定理定理2注注定理可推广到有限个连续函数的情形。定理可推广到有限个连续函数的情形。例例1在它们的定义域内是连续的在它们的定义域内是连续的.第19页，共33页，编辑于2022年，星期二定理定理22、复合函数与反函数的连续性、复合函数与反函数的连续性注注i)可写成可写成 iii)由由 得，要求得，要求 ，可转化，可转化为求为求ii)即：极限符号和连续函数的函数符号可以交换顺序。即：极限符号和连续函数的函数符号可以交换顺序。第20页，共33页，编辑于2022年，星期二即：单调连续函数的反函数也是单调连续的即：单调连续
6、函数的反函数也是单调连续的定理定理3例例2第21页，共33页，编辑于2022年，星期二3、初等函数的连续性、初等函数的连续性(1)基本初等函数的连续性基本初等函数的连续性在对应的定义域内在对应的定义域内（反函数）（反函数）三角函数连续三角函数连续（反函数）（反函数）反三角函数连续反三角函数连续结论结论1：基本初等函数在其定义域内连续，或称基本初等函数基本初等函数在其定义域内连续，或称基本初等函数是是连续函连续函数。数。(2)初等函数的连续性初等函数的连续性结论结论2：由于连续函数的和、差、积、商、复合以及反函数仍是由于连续函数的和、差、积、商、复合以及反函数仍是连续函数，所以，连续函数，所以，
7、初等函数在其定义域内连续初等函数在其定义域内连续。第22页，共33页，编辑于2022年，星期二由此：由此：例例1、解：解：例例2、解：解：例例3、解：解：第23页，共33页，编辑于2022年，星期二例例4、解：解：例例5、解：解：例例6、解：解：第24页，共33页，编辑于2022年，星期二例例7解解第25页，共33页，编辑于2022年，星期二例例8、解：解：第26页，共33页，编辑于2022年，星期二四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质1、最大值和最小值定理、最大值和最小值定理最值：最值：定理定理1 （最值定理最值定理）几何解释几何解释第27页，共33页，编辑于2022年，星期二注注。.1122例例定理定理2 （有界性定理有界性定理）第28页，共33页，编辑于2022年，星期二2、介值定理、介值定理定理定理3 （零点定理零点定理）定理定理4 （介值定理介值定理）第29页，共33页，编辑于2022年，星期二证：证：例例1、推论推论第30页，共33页，编辑于2022年，星期二例例2、证：证：第31页，共33页，编辑于2022年，星期二例例3、证：证：第32页，共33页，编辑于2022年，星期二一一.函数的连续性函数的连续性二、函数的间断点及其类型二、函数的间断点及其类型复习复习第33页，共33页，编辑于2022年，星期二