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1、一、连续函数的概念一、连续函数的概念二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质第三节函数的连续性第三节函数的连续性连续变化的曲线对应的函数为连续函数连续变化的曲线对应的函数为连续函数如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映0 xy1.函数的增量函数的增量一、连续函数的概念一、连续函数的概念 设函数设函数 在点在点 附
2、近有定义附近有定义,把把 附近的点附近的点 记为记为 ,则称则称 为自变量由为自变量由 变到变到 的的增量增量.为为函数在点函数在点 的增量的增量.2 2函数连续性的定义函数连续性的定义 定义定义1-9 设函数设函数 在点在点 及其附近有定义及其附近有定义,如如果果 时时,也有也有 ,即即注意注意故故定义中定义中1-9的极限式等价于的极限式等价于则称函数则称函数 在点在点 处连续处连续,称称 为为 的连续点的连续点.因此，函数在一点连续的充分必要条件是因此，函数在一点连续的充分必要条件是 例例1-29 讨论函数讨论函数 在在 的连续性的连续性 解解所以所以 在在 连续连续单侧连续单侧连续显然显
3、然即：即：解解 例例1-30 设设 在点在点 处连续处连续,问问、应满足什么关系应满足什么关系?连续函数与连续区间连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的叫做在该区间上的连连续函数续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例例1-311-31证明证明3 3函数的间断点函数的间断点 函数的不连续点称为函数的函数的不连续点称为函数的间断点间断点,即满足下列三个即满足下列三个条件之一的点条件之一的点 为函数为函数 的间断点的间断点.跳跃间断点跳跃间断点例例1
4、-321-32解解可去间断点可去间断点例例1-331-33在在 的连续性的连续性解解 注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例1-33中中,跳跃间断点跳跃间断点与与可去间断点可去间断点统称为统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点第二类间断点第二类间断点例例1-341-34解解这种情况称为这种情况称为无穷间断点无穷间断点解解1-1-0.50.5yx例例1-351-35这种情况称为这种情况称为振荡间断点振荡间断点第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷
5、型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性(1)一切基本初等函数在其有定义的点都是连续一切基本初等函数在其有定义的点都是连续的的.(2)若函数若函数 与与 在点在点 连续连续,则函数则函数 在在 连续连续.(3)若函数若函数 在点在点 处连续处连续,设设 ,而函数而函数 在点在点 处连续处连续,则复合函数则复合函数 在点在点 处连续处连续.由以上可知由以上可知:初等函数在其定义域内都是连续的初等函数在其定义域内都是连续的.故对初等函数故对初等
6、函数,求极限就是求这一点的函数值求极限就是求这一点的函数值例例1-361-36由于函数在其连续点由于函数在其连续点 满足满足解解解解例例1-381-38例例1-371-37解解,而函数而函数 在点在点 连续连续,所所以以三、闭区间上连续函数性质三、闭区间上连续函数性质ab 定理定理1-3（最值定理）（最值定理）若函数若函数 闭区间闭区间 上连续，则上连续，则 在闭区间在闭区间 上必有最大值和最上必有最大值和最小值小值 推论推论（有界性定理）（有界性定理）若函数若函数 闭区间闭区间 上连续，则上连续，则 在闭区间在闭区间 上必有界上必有界abf(a)f(b)定理定理1-4（介值定理）（介值定理）
7、若函数若函数 闭区间闭区间 上连续，则对介于上连续，则对介于 和和 之间的任何数之间的任何数 ，至少存在，至少存在一个一个 ，使得，使得 其几何意义为其几何意义为 连续曲线弧连续曲线弧 与水平直线与水平直线 至少相交于一点至少相交于一点 推论推论（根的存在定理）若函数（根的存在定理）若函数 闭区间闭区间 上连续，且上连续，且 与与 异号（即异号（即 )，则，则至少存在一个至少存在一个 ，使得，使得 即为方程即为方程 的根的根注：注：根不一定唯一根不一定唯一ba例例1-39 证明证明在在0，1内至少有一个根内至少有一个根.证明证明在在0 1上连续上连续而而由根的存在定理知，存在由根的存在定理知，存在 (0 1),使得使得在在0，1内至少有一个根内至少有一个根.即即1函数连续的定义函数连续的定义2间断点间断点类型类型：第一类第一类第二类第二类可去型可去型跳跃型跳跃型无穷无穷振荡振荡初等函数的连续性初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质主要内容主要内容