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1、第六章解线性方程组的迭代法本讲稿第一页，共二十五页由此建立方程组的迭代公式 x(k+1)=Mx(k)+g,k=0,1,2,(2)其中M称为迭代矩阵迭代矩阵。对任意取定的初始向量x x(0),由(2)式可逐次算出迭代向量x x(k),k=1,2,如果向量序列x(k)收敛于x*,由(2)式可得 x*=Mx*+g 从而x x*是方程组x=Mx+g的解,也就是方程组Ax=b的解.这种求解线性方程组的方法称为迭代法迭代法 ,若迭代序列x(k)收敛,则称迭代法收敛,否则称迭代法发散.1 Jacobi迭代法和迭代法和Gauss-Seidel迭代法迭代法 Jacobi方法是由方程组(1)中第k个方程解出x x
2、(k),得到等价方程组:本讲稿第二页，共二十五页从而得迭代公式本讲稿第三页，共二十五页式(3)称为JacobiJacobi迭代法迭代法,简称为J J迭代法迭代法.,则J迭代法可写成 x x(k+1)=BxBx(k)+g g k=0,1,2,可见,J J迭代法的迭代矩阵为若记 J J法也记为本讲稿第四页，共二十五页G-SG-S迭代法也可记为式(4)称为Gauss-SeidelGauss-Seidel迭代法迭代法,简称为G-SG-S迭代法迭代法.若在J J迭代法中,充分利用新值,则可以得到如下的迭代公式本讲稿第五页，共二十五页方程组的精确解为x x*=(1,1,1)T.解解 J J迭代法计算公式为
3、例例1 用J法和G-S法求解线性方程组取初始向量x x(0)=(0,0,0)T,迭代可得计算结果列表如下:本讲稿第六页，共二十五页可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解,而且迭代7次得到精确到小数点后两位的近似解.kx1(k)x2(k)x3(k)x(k)-x*0123456701.41.110.9290.99061.011591.0002510.998236400.51.201.0550.96450.99531.0057951.000125501.41.110.9290.99061.011591.0002510.998236410.50.20.0710.03550.011590.0057950.0
4、017636 G-S G-S迭代法的计算公式为:本讲稿第七页，共二十五页 同样取初始向量x x(0)=(0,0,0)T,计算结果为 由计算结果可见,G-S迭代法收敛较快.取精确到小数点后两位的近似解,G-S迭代法只需迭代3次,而J迭代法需要迭代7次.kx1(k)x2(k)x3(k)x(k)-x*012301.41.06340.995104400.781.020480.9952756801.0260.9875161.0019068610.40.06340.0048956 本讲稿第八页，共二十五页 为了进一步研究,从矩阵角度来讨论上述迭代法.对线性方程组AxAx=b b,记 D D=diag(a1
5、1,a22,ann)则有 A A=D D-L L-U U于是线性方程组 AxAx=b b 可写成 (D D-L L-U U)x x=b b等价于 DxDx=(L L+U U)x x+b b 或或 x x=D D-1(L L+U U)x x+D D-1b b 本讲稿第九页，共二十五页由此建立J J迭代法迭代公式 x x(k+1)=D D-1(L L+U U)x x(k)+D D-1b b k=0,1,2,或写成 x x(k+1)=BxBx(k)+g g k=0,1,2,其中G-SG-S迭代法迭代公式可写成 x x(k+1)=D D-1LxLx(k+1)+D D-1UxUx(k)+D D-1b b
6、 本讲稿第十页，共二十五页 讨论迭代法 x(k+1)=Mx(k)+g k=0,1,2,Dx Dx(k+1)=LxLx(k+1)+UxUx(k)+b b (D D-L L)x x(k+1)=UxUx(k)+b b x x(k+1)=(D D-L L)-1UxUx(k)+(D D-L L)-1b b 所以G-SG-S迭代法可以写成 x x(k+1)=GxGx(k)+g g k=0,1,2,其中 G G=(D D-L L)-1U U,g g=(D D-L L)-1b b 2 2 迭代法的收敛性迭代法的收敛性的收敛性.本讲稿第十一页，共二十五页 记误差向量e e(k)=x x(k)-x x*,则迭代法
7、收敛就是e e(k)0 0.由于 x(k+1)=Mx(k)+g k=0,1,2,x*=Mx*+g k=0,1,2,所以 e(k+1)=Me(k),k=0,1,2,递推可得 e(k)=Mke(0),k=0,1,2,可见,当k时,e e(k)0 0 Mk O O.对任意初始向量x x(0),迭代法收敛(M)1.定理定理1 证证 若Mk0,则k(M)=(Mk)Mk0,所以(M)1.若(M)0,使得(M)+1.则MkMk(M)+)k 0.本讲稿第十二页，共二十五页 若若M1,则对任意x x(0),迭代法收敛,而且 定理定理2 证证 由于 x(k+1)=Mx(k)+g x(k)=Mx(k-1)+g x*
8、=Mx*+g所以 x(k+1)-x(k)=M(x(k)-x(k-1),x(k+1)x*=M(x(k)x*)于是有 x(k+1)-x(k)Mx(k)-x(k-1)x(k+1)x*Mx(k)x*x(k+1)-x(k)=(x(k+1)x*)-(x(k)x*)x(k)x*-x(k+1)x*本讲稿第十三页，共二十五页 x(k+1)-x(k)=(x(k+1)x*)-(x(k)x*)x(k)x*-x(k+1)x*(1-M)x(k)x*所以 定理2只是收敛的充分条件,并不必要,如则M1=1.2,M=1.3,M2=1.09,MF=1.17但(M)=0.81,所以迭代法是收敛的.由(5)式可见,M越小收敛越快,且
9、当x(k)-x(k-1)很小时,x(k)x*就很小,实际上用x(k)-x(k-1)作为本讲稿第十四页，共二十五页迭代终止的条件.例如kx1(k)x2(k)x3(k)x(k)-x*0123456701.41.110.9290.99061.011591.0002510.998236400.51.201.0550.96450.99531.0057951.000125501.41.110.9290.99061.011591.0002510.998236410.50.20.0710.03550.011590.0057950.0017636x(6)-x(5)=0.011339,x(7)x(6)=0.005
10、6695 由(6)式可得:本讲稿第十五页，共二十五页若使x(k)x*,只需可以事先估计达到某一精度需要迭代多少步.,即 用J J迭代法求例1中方程组的解,取x(0)=(0,0,0)T,若使误差x(k)-x*10-5,问需要迭代多少次?解解 由例1知,x x(1)=(1.4,0.5,1.4)T,于是有,x x(1)-x x(0)=1.4,B B=0.5.例例2 k应满足故取k=19,即需要迭代19次.本讲稿第十六页，共二十五页3 J3 J迭代法和迭代法和G-SG-S迭代法的收敛性迭代法的收敛性 定理定理3 3 J J迭代法收敛(B)1;若B1J J迭代法收敛;G-SG-S迭代法收敛(G)1;若G
11、1 G-SG-S迭代法收敛;定义定义1 1 若n阶矩阵A=(aij)满足:则称矩阵A是严格对角占优矩阵严格对角占优矩阵.引理引理 若A是严格对角占优矩阵,则det(A)0.证证 A=D-L-U=D(E-D-1(L+U)=D(E-B)本讲稿第十七页，共二十五页因此,(B)B1,故=1不是B B的特征值,det(E E-B B)0.定理定理4 4 设A是严格对角占优矩阵,则解线性方程组Ax=b的J J迭代法和G-SG-S迭代法均收敛.因为A是严格对角占优矩阵,所以det(D)0,而且所以,det(A)0.证证 由于B1,所以J J迭代法收敛.设是G G的任一特征值,则满足特征方程本讲稿第十八页，共
12、二十五页 det(E-G)=det(E-(D-L)-1U)=det(D-L)-1)det(D-L)-U)=0所以有 det(D-L)-U)=0 若|1,则矩阵(D-L)-U 是严格对角占优矩阵,这与 det(D-L)-U)=0矛盾,所以|1,于是(G)1时称为超松弛迭代超松弛迭代,当当1时称为欠松弛迭代欠松弛迭代.其矩阵形式 x(k+1)=x(k)+D-1(b+Lx(k+1)+(U-D)x(k),k=0,1,2,于是有 Dx(k+1)=Dx(k)+(b+Lx(k+1)+(U-D)x(k)所以 x(k+1)=(D-L)-1(1-)D+Ux(k)+(D-L)-1b ,k=0,1,2,因此,SOR方
13、法的迭代矩阵为 =(D-L)-1(1-)D+U本讲稿第二十二页，共二十五页 SORSOR方法收敛()1;若 1,则SORSOR方法收敛.定理定理3.73.7 若SORSOR方法收敛,则02.定理定理3.6 设A是严格对角占优矩阵,则解方程组Ax=b的SORSOR方法,当01时收敛.定理定理3.8 定理定理3.93.9 设A是对称正定矩阵,则解方程组Ax=b的SORSOR方法,当02时收敛.本讲稿第二十三页，共二十五页 用SORSOR方法解线性方程组 解解 SOR SOR方法迭代公式为方程组的精确解是x x*=(2,1,-1)T.例例4取x x(0)=(0,0,0)T,=1.46,计算结果如下:本讲稿第二十四页，共二十五页kx1(k)x2(k)x3(k)01232003.652.321669102.56613991.999998700.88458820.42309390.69482611.00000130-0.2021098-0.22243214-0.4952594-1.0000034 从结果可见,迭代20次时已获得精确到小数点后五位的近似解.如果取=1.25,则需要迭代56次才能得到具有同样精度的近似解;如果取=1,则需迭代110次以上.本讲稿第二十五页，共二十五页