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1、数值分析线性插值与二次插值公式第1页，本讲稿共18页引例1.正弦函数 sin x 的计算问题2/18(1)线性函数逼近线性函数逼近 y0=x(2)泰勒级数逼近泰勒级数逼近 y1(x)=x x3/3!+x5/5!(3)抛物线逼近抛物线逼近 y2=4x(x)/2第2页，本讲稿共18页(1)复杂函数的计算复杂函数的计算;(2)函数表中非表格点计算函数表中非表格点计算(3)光滑曲线的绘制光滑曲线的绘制;(4)提高照片分辩率算法提高照片分辩率算法(5)定积分的离散化处理定积分的离散化处理;(6)微分方程的离散化处理微分方程的离散化处理;(7)积分方程的离散化处理积分方程的离散化处理;插值方法的应用:3/
2、18第3页，本讲稿共18页引例2.误差函数x 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000y 0 0.5205 0.8427 0.9661 0.9953 0.9996 1.0000当当 x(0.5,1)时时当当 x(1,1.5)时时4/18第4页，本讲稿共18页已知已知f(x)在点在点xi上的函数值上的函数值 yi=f(xi),(i=0,1,2,n)则称则称 P(x)为为 f(x)的的 n 次次代数插值多项式代数插值多项式.称称 x0,x1,xn为为 插值结点插值结点;称称 f(x)为为被插值函数被插值函数.如果如果 P(x)=a0+a1x+anxn满
3、足满足:P(xk)=yk (k=0,1,n)设设 f(x)C a,b,取点取点 a x0 x1xnb代数插值问题插值函数插值条件5/18第5页，本讲稿共18页点点,则满足插值条件则满足插值条件 P(xk)=yk (k=0,1,n)的的n次插值多项式次插值多项式 P(x)=a0+a1x+anxn存在而且是唯一的存在而且是唯一的。证明:由插值条件P(x0)=y0P(x1)=y1P(xn)=yn定理定理5.1 若插值结点若插值结点x0,x1,xn 是是(n+1)个互异个互异6/18第6页，本讲稿共18页方程组系数矩阵取行列式故方程组有唯一解故方程组有唯一解.从而插值多项式从而插值多项式P(x)存在而
4、且是唯一的存在而且是唯一的.例5.1 已知误差函数在四个点处函数值 x 00.60001.20001.8000 Erf(x)00.60390.91030.98917/18第7页，本讲稿共18页构造3次多项式P(x)逼近 Erf(x)设设P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,令令 P(xk)=Erf(xk)得求解求解,得得a0=0,a1=1.293,a2=-0.5099,a3=0.0538所以所以,P(x)=1.293 x 0.5099 x2+0.0538 x38/18第8页，本讲稿共18页x=0:.6:1.8;y=erf(x);x=x;y=y;A=ones(4,1)x x.2 x.3;p
5、=Ay;a0=p(1);a1=p(2);a2=p(3);a3=p(4);t=0:.2:2;u=a0+a1*t+a2*t.2+a3*t.3;plot(x,y,o,t,u)MATLAB数值实验9/18第9页，本讲稿共18页过两点直线方程过两点直线方程求满足求满足:L(x0)=y0,L(x1)=y1的线性函数的线性函数 L(x)已知函数表 x x0 x1 f(x)y0 y1例 求 的近似值六位有效数10.723810/18第10页，本讲稿共18页记当当x0 x x1时时0l0(x)1,0l1(x)1x x0 x1l0(x)1 0l1(x)0 1y0 y1=1 0y0+0 1y1线性插值函数的对称形式
6、11/18第11页，本讲稿共18页二次插值问题x x0 x1 x2f(x)y0 y1 y2已知函数表求函数求函数 L(x)=a0+a1x+a2 x2 满足满足:L(x0)=y0,L(x1)=y1,L(x2)=y2y0 y1 y2=1 0 0y0+0 1 0y1+0 0 1y2L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，12/18第12页，本讲稿共18页二次插值函数二次插值函数:L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，xx0 x1x2l0(x)1 0 0l0(x)100l1(x)010l2(x)0 0 1L(x)y0y1y2 xx0 x1 x213/18第13页，
7、本讲稿共18页二次插值基函数图形取取 x0=0,x1=0.5,x2=1l0(x)=2(x 0.5)(x 1);l1(x)=4 x(x 1);l2(x)=2(x 0.5)x14/18第14页，本讲稿共18页二次插值的一个应用二次插值的一个应用极值点近似计算极值点近似计算二次插值函数二次插值函数:L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，极值点近似计算公式极值点近似计算公式15/18第15页，本讲稿共18页拉格朗日插值公式插值条件插值条件:L(xk)=yk (k=0,1,n)其中其中,第第k(k=0,1,，n)个插值基函数个插值基函数或:16/18第16页，本讲稿共18页Runge
8、反例反例:,(-5x5)L10(t)f(t)f(x)取取xk=5+k 计算计算:f(xk)(k=0,1,10)构造构造L10(x).取取:tk=5+0.05k (k=0,1,200),计算计算:L10(tk)17/18第17页，本讲稿共18页x=-5:5;y=1./(1+x.2);t=-5:0.05:5;y1=1./(1+t.2);n=length(t);for i=1:n z=t(i);s=0;for k=1:11 Lk=1;u=x(k);for j=1:11 if j=k,Lk=Lk*(z-x(j)/(u-x(j);end end s=s+Lk*y(k);end y2(i)=s;endplot(x,y,ko,t,y1,t,y2,r)18/18第18页，本讲稿共18页