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1、插值方法的应用插值方法的应用代数插值问题代数插值问题线性插值与二次插值公式线性插值与二次插值公式拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式数值分析 13引例引例1.正弦函数正弦函数 sin x 的计算问题的计算问题2/18(1)线性函数逼近线性函数逼近 y0=x(2)泰勒级数逼近泰勒级数逼近 y1(x)=x x3/3!+x5/5!(3)抛物线逼近抛物线逼近 y2=4x(x)/2(1)复杂函数的计算复杂函数的计算;(2)函数表中非表格点计算函数表中非表格点计算(3)光滑曲线的绘制光滑曲线的绘制;(4)提高照片分辩率算法提高照片分辩率算法(5)定积分的离散化处理定积分的离散化处理;(6)微分方程的离散化处理
2、微分方程的离散化处理;(7)积分方程的离散化处理积分方程的离散化处理;插值方法的应用插值方法的应用:3/18引例引例2.误差函数误差函数x 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000y 0 0.5205 0.8427 0.9661 0.9953 0.9996 1.0000当当 x(0.5,1)时时当当 x(1,1.5)时时4/18已已 知知 f(x)在在 点点 xi上上 的的 函函 数数 值值 yi=f(xi),(i=0,1,2,n)则称则称 P(x)为为 f(x)的的 n 次次代数插值多项式代数插值多项式.称称 x0,x1,xn为为 插值结点插值结
3、点;称称 f(x)为为被插值函数被插值函数.如果如果 P(x)=a0+a1x+anxn满足满足:P(xk)=yk (k=0,1,n)设设 f(x)C a,b,取点取点 a x0 x1xnb代数插值问题代数插值问题插值函数插值函数插值条件插值条件5/18点点,则满足插值条件则满足插值条件 P(xk)=yk (k=0,1,n)的的n次插值多项式次插值多项式 P(x)=a0+a1x+anxn存在而且是唯一的存在而且是唯一的。证明证明:由插值条件由插值条件P(x0)=y0P(x1)=y1P(xn)=yn定理定理5.1 若插值结点若插值结点x0,x1,xn 是是(n+1)个互异个互异6/18方程组系数矩
4、阵取行列式方程组系数矩阵取行列式故方程组有唯一解故方程组有唯一解.从而插值多项式从而插值多项式P(x)存在而且是唯一的存在而且是唯一的.例例5.1 已知误差函数在四个点处函数值已知误差函数在四个点处函数值 x 00.60001.20001.8000 Erf(x)00.60390.91030.98917/18构造构造3次多项式次多项式P(x)逼近逼近 Erf(x)设设P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,令令 P(xk)=Erf(xk)得得求解求解,得得a0=0,a1=1.293,a2=-0.5099,a3=0.0538所以所以,P(x)=1.293 x 0.5099 x2+0.0538
5、x38/18x=0:.6:1.8;y=erf(x);x=x;y=y;A=ones(4,1)x x.2 x.3;p=Ay;a0=p(1);a1=p(2);a2=p(3);a3=p(4);t=0:.2:2;u=a0+a1*t+a2*t.2+a3*t.3;plot(x,y,o,t,u)MATLAB数值实验数值实验9/18过两点直线方程过两点直线方程求满足求满足:L(x0)=y0,L(x1)=y1的线性函数的线性函数 L(x)已知函数表已知函数表 x x0 x1 f(x)y0 y1例例 求求 的近似值的近似值六位有效数六位有效数10.723810/18记记当当x0 x x1时时0l0(x)1,0l1(
6、x)1x x0 x1l0(x)1 0l1(x)0 1y0 y1=1 0y0+0 1y1线性插值函数线性插值函数的对称形式的对称形式11/18二次插值问题二次插值问题x x0 x1 x2f(x)y0 y1 y2已知函数表已知函数表求函数求函数 L(x)=a0+a1x+a2 x2 满足满足:L(x0)=y0,L(x1)=y1,L(x2)=y2y0 y1 y2=1 0 0y0+0 1 0y1+0 0 1y2L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，12/18二次插值函数二次插值函数:L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，xx0 x1x2l0(x)1 0 0l0(x
7、)100l1(x)010l2(x)0 0 1L(x)y0y1y2 xx0 x1 x213/18二次插值基函数图形二次插值基函数图形取取 x0=0,x1=0.5,x2=1l0(x)=2(x 0.5)(x 1);l1(x)=4 x(x 1);l2(x)=2(x 0.5)x14/18二次插值的一个应用二次插值的一个应用极值点近似计算极值点近似计算二次插值函数二次插值函数:L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，极值点近似计算公式极值点近似计算公式15/18拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式插值条件插值条件:L(xk)=yk (k=0,1,n)其中其中,第第k(k=0,1,，n)个插值
8、基函数个插值基函数或或:16/18Runge反例反例:,(-5x5)L10(t)f(t)f(x)取取xk=5+k 计算计算:f(xk)(k=0,1,10)构造构造L10(x).取取:tk=5+0.05k (k=0,1,200),计算计算:L10(tk)17/18x=-5:5;y=1./(1+x.2);t=-5:0.05:5;y1=1./(1+t.2);n=length(t);for i=1:n z=t(i);s=0;for k=1:11 Lk=1;u=x(k);for j=1:11 if j=k,Lk=Lk*(z-x(j)/(u-x(j);end end s=s+Lk*y(k);end y2(i)=s;endplot(x,y,ko,t,y1,t,y2,r)18/18