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1、7.1 复数的概念 知识梳理1、复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(4)复数的模：向量的模r叫做复数zabi的模，即|z|abi|.2、复数的几何意义复数zabi复平面内的点Z(a，b)平面向量(a，b)知识典例题型一 复数的概念例 1实数取怎样的值时，复数是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【答案】（1）或；（2）且；（3）.【
2、分析】根据实部和虚部的不同取值决定何时是实数、虚数和纯虚数.【详解】（1）若，则为实数，此时或者.（2）若，则为虚数，此时且.（3）若 ，则为纯虚数，此时.巩固练习若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A1B2C1或2D-1【答案】B【解析】由得，且，题型二 基本概念例 2（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A纯虚数的共轭复数是B若，则C若，则与互为共轭复数D若，则与互为共轭复数【答案】AD【分析】A根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D. 根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A根据共轭复数的定义，显然是真
3、命题；B若，则，当均为实数时，则有，当，是虚数时，所以B是假命题；C若，则可能均为实数，但不一定相等，或与的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题；D. 若，则，所以与互为共轭复数，故D是真命题.故选：AD巩固练习（多选）已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数z满足，下列结论正确的是（ ）A点的坐标为B复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称C复数z对应的点Z在一条直线上D与z对应的点Z间的距离的最小值为【答案】ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出
4、点的轨迹，由此判读C选项的正确性.结合C选项的分析，由点到直线的距离公式判断D选项的正确性.【详解】复数在复平面内对应的点为，A正确；复数的共轭复数对应的点与点关于实轴对称，B错误；设，代入，得，即，整理得，；即Z点在直线上，C正确；易知点到直线的垂线段的长度即为、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为，故D正确.故选：ACD题型三 模例 3已知复数，且，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】根据复数的模长公式结合条件可得出关于实数的不等式，解出即可.【详解】，且，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.巩固练习若复数对应的点位于第二象限，则的取值范围是_.【答案】【分析】
5、根据复数的几何意义，可知复数对应的点的坐标为，再根据该点位于第二象限，得即 ，而，再用二次函数法求其取值范围.【详解】因为复数对应的点的坐标为，又因为该点位于第二象限，所以解得.所以，因为，所以.故答案为：题型四 几何意义例 4在复平面内，已知为坐标原点，点、分别对应复数，若，则_.【答案】【分析】根据复数的几何意义求出向量、的坐标，然后由，得出，利用平面向量数量积的坐标运算可求出实数的值.【详解】因为，所以，.因为，则，即.故答案为：.巩固练习已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是ABCD【答案】A【解析】试题分析：要使复数对应的点在第四象限,应满足，解得，故选A.巩固提升1
6、、复数，则的模等于（ ）A2B4CD【答案】C【分析】由复数，求得，结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，复数，可得，所以.故选：C.2、若复数(i为虚数单位)是实数，则实数的值为（ ）AB CD【答案】B【分析】根据实数的充要条件，得出关于的关系式，求解得出结论.【详解】是实数， .故选：B.3、已知复数（为虚数单位，）在复平面内对应的点在第二象限，那么的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】由复数得对应点坐标，再由点在第三象限得不等关系【详解】复数（为虚数单位，）对应点坐标为点在第二象限，则，解得，即的取值范围是.故选：A.4、复数的实部与虚部分别是（ ）A0，2B0，0C，
7、D，0【答案】C【解析】【分析】根据复数实部和虚部的定义即得解.【详解】的实部为0，虚数部为.故选:C5、已知复数，则“”是“为纯虚数”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解出复数为纯虚数a的取值范围，即可得解.【详解】复数为纯虚数，则，且，解得，所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件.故选：A.6、复数的共轭复数是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据共轭复数定义，即可求解.【详解】由共扼复数的定义，知的共轭复数为.故选:A.7、在复平面内,O为坐标原点,向量对应的复数为(i为虚数单位),若点B关于原点的对称点为A,点A关于虚轴的对称点为C
8、,则向量对应的复数为_.【答案】【分析】首先求得点坐标，根据对称性，依次求得的坐标，从而求得向量对应的复数.【详解】由题知,点B的坐标为,所以点A的坐标为,所以点C的坐标为,所以向量对应的复数为.故答案为：8、已知复数，它们所对应的点分别为A，B，C若，则的值是 【答案】-3【解析】解：由题意可得（3，-2）=x（-1，2）+y（-1，-1）=（-x-y，2x-y），-x-y=3，2x-y=-2，解得x=- ，y=- ，x+y=-3，9、当为何值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【答案】（1）（2）或且（3）或【分析】（1）根据实数的定义，由实部中根式内部的代数式大于等于0，虚部
9、等于0，列式求解；（2）根据虚数的定义，由实部中根式内部的代数式大于等于0，虚部不等于0，列式求解；（3）根据纯虚数的定义，由实部中根式内部的代数式等于0，虚部不等于0，列式即可求解【详解】（1）由题意知，所以，故当时，复数为实数.（2）由题意得，即，所以或且，故当或且时，为虚数.（3）由题意得，所以，所以或，故当或时，复数为纯虚数.10、已知为实数，设复数.（1）当复数为纯虚数时，求的值；（2）设复数在复平面内对应的点为，若满足，求的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）由复数分类可得；（2）得出复数对应点的坐标，代入直线方程解之可得【详解】（1）由题意，得解得所以.（2）复数在复平面内对应的点的坐标为，点坐标满足，则，解得，所以的取值范围为.