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1、7.5 正态分布 知识梳理1、函数。其中为参数。对任意的，它的图象在x轴的上方，x轴和曲线之间的区域的面积为1，称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。若随机变量X的概率密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为。特别地，当，时，称随机变量X服从标准正态分布2、正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x对称；(3)曲线在x处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移；(6)当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散3、
2、正态分布的三个常用数据(1)P(X)0.682 7；(2)P(2X2)0.954 5；(3)P(3X3)0.997 3.知识典例题型一 正态分布的计算例 1已知随机变量X服从正态分布N(0，2)若P(X2)0.023，则P(2X2)()A0.477B0.628C0.954 D0.977C解析 因为0，所以P(X2)P(X5)=1+P(5X11)21+0.682 72=0.841 35.对于第二个方案有XN(7,12),其中2=7,2=1,P(X5)=1+P(5X9)21+0.954 52=0.977 25.显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案.巩固练习从某企业生
3、产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布直方图如图所示.(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2.利用该正态分布,求P(187.8Z212.2);某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用的结果,求E(X).附:15012.2.若ZN(,2),则P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.954 5
4、.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x=1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200,s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)由(1)知,ZN(200,150),从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z5)P(X1)0.2，则P(2X5)P(X1)0.2，所以2，所以P(2X2)P(X5)0.50.20.3.答案 0.32、已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N
5、(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.27%，P(22)95.45%)A4.56%B13.59%C27.18% D31.74%由正态分布的概率公式知P(33)0.682 7，P(66)0.954 5，故P(36)0.135 913.59%，故选B3、已知随机变量服从正态分布N(1,2),若P(4)=0.9,则P(-24)=1-P(4)=0.1,根据对称性可知,P(4)=0.1,故P(-21)=0.5-P(110)=1-2P(90100)2=0.2,故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.250=10
6、.答案105、已知某地农民工年均收入X服从正态分布,其正态曲线如图所示.(1)写出此地农民工年均收入的密度函数解析式;(2)求此地农民工年均收入在8 0008 500元之间的人数所占的百分比.解设此地农民工年均收入XN(,2),结合题图可知,=8 000,=500.(1)此地农民工年均收入的密度函数解析式为f(x)=15002e-(x-8 000)225002,xR.(2)P(7 500X8 500)=P(8 000-500X8 000+500)0.682 7,P(8 000X8 500)=12P(7 500X8 500)0.341 35=34.135%.故此地农民工年均收入在8 0008 5
7、00元之间的人数所占的百分比为34.135%.6、云南省2016年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100 000名高中男生的身高服从正态分布N(170.5，16)现从云南省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组157.5，162.5)，第2组162.5，167.5)，第6组182.5，187.5，如图是按上述分组方式得到的频率分布直方图(1)试评估该校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；(2)求这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数；(3)从这5
8、0名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前135名的人数记为，求的数学期望参考数据：若N(，2)，则P()0.682 7，P(22)0.954 5，P(33)0.997 3.解 (1)由频率分布直方图知，该校高三年级男生平均身高为1600.11650.21700.31750.21800.11850.1171.5(cm)，该校高三年级男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值170.5(cm)(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，所以人数和为0.25010，即这50名男生中身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为10.(3)因为P(170.534170.534)0.997 3，所以P(182.5)0.001 35，又0.001 35100 000135.所以身高在182.5 cm以上(含182.5 cm)的高中男生可排进全省前135名因为该校这50名男生中身高在182.5 cm以上(含182.5 cm)的有5人，身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的有10人，随机变量可取0，1，2，于是P(0)，P(1)，P(2).所以E()0121.