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1、7.4 二项分布与超几何分布 知识梳理1、把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。共同特征：（1）同一个伯努利试验重复做n次；（2）各次试验的结果相互独立2、一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(Xk)Cpk(1p)nk，(k0，1，2，n)，则称随机变量X服从二项分布，记作3、若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)4、在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0，1，2，
2、m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式X01mP则称随机变量X服从超几何分布5、若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)知识典例题型一 二项分布中的期望、方差例 1已知XB(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则n与p的值分别为()A.100和0.08B.20和0.4C.10和0.2D.10和0.8解析因为XB(n,p),所以np=8,np(1-p)=1.6,解得n=10,p=0.8.答案D巩固练习已知随机变量XB(100,0.2),则D(4X+3)的值为()A.64B.256C.259D.320解析XB(100,0.2),D(
3、X)=1000.20.8=16.D(4X+3)=16D(X)=1616=256.答案B题型二 二项分布实际应用例 2某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望【解】(1)设“某节目的投票结果
4、是最终获一等奖”这一事件为A，则事件A包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响，所以P(A)CC.(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X的可能取值为0，1，2，3.P(X0)；P(X1)C；P(X2)C；P(X3).因此X的分布列为X0123P所以X的数学期望为EX01232.巩固练习小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个记乙所得红包的总钱
5、数为X，求X的分布列和期望解 (1)设“甲恰得1个红包”为事件A，则P(A)C.(2)X的所有可能取值为0，5，10，15，20.P(X0)，P(X5)C，P(X10)，P(X15)C，P(X20).所以X的分布列为X05101520PE(X)05101520.题型三 超几何分布例 3某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛(1)设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的
6、概率P(A)；(2)设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望【解】(1)由已知，得P(A).所以事件A的概率为.(2)由题意知，X服从超几何分布，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.由已知得P(Xk)(k1，2，3，4)所以随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)1234.巩固练习一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望解(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x
7、，则P(A)1，得到x5.故白球有5个(2)X服从超几何分布，其中N10，M5，n3，P(Xk)，k0，1，2，3.于是可得其分布列为X0123P则E(X)0123.巩固提升1、设随机变量XB(2,p),随机变量YB(3,p),若P(X1)=59,则P(Y1)=.解析XB(2,p),P(X1)=1-P(X=0)=1-C20(1-p)2=59,解得p=13.又YB(3,p),P(Y1)=1-P(Y=0)=1-C30(1-p)3=1927.答案19272、有8件产品,其中3件是次品,从中任取3件,若X表示取得次品的件数,则P(X1)=.解析根据题意,P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=C53C
8、83+C52C31C83=1056+3056=57.答案573、某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为_解析 记不发芽的种子数为Y，则YB(1 000，0.1)，所以E(Y)1 0000.1100.又X2Y，所以E(X)E(2Y)2E(Y)200.答案 2004、种植某种树苗,成活率为0.9.若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率约为()A.0.33B.0.66C.0.5D.0.45解析根据n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率公式得到种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率为C540.94(1-
9、0.9)0.33,故选A.答案A5、甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局比赛都结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为23,则甲以31的比分获胜的概率为()A.827B.6481C.49D.89解析当甲以31的比分获胜时,说明甲乙两人在前三场比赛中,甲只赢了两局,乙赢了一局,第四局甲赢,所以甲以31的比分获胜的概率为P=C322321-2323=3491323=827,故选A.答案A6、在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为()A.542B.435C.1942D.821解析正品数比次品数少,有两种情况:0个正品、4个次品或1个正品、3
10、个次品,由超几何分布的概率可知,当0个正品、4个次品时,概率为C44C104=1210.当1个正品、3个次品时,概率为C61C43C104=24210=435.所以正品数比次品数少的概率为1210+435=542.7、10件产品中有2件次品,从中随机抽取3件,则恰有1件次品的概率是.解析设事件A为“从中随机抽取3件,则恰有1件次品”,则P(A)=C82C21C103=715.答案7158、在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为6581,则在1次试验中事件A发生的概率为.解析设在一次试验中,事件A发生的概率为p,由题意知,1-(1-p)4=6581,所以(1-p
11、)4=1681,故p=13.答案139、某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的.该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为.解析每位申请人申请房源为一次试验,这是4次独立重复试验,设申请A片区房源为A,则P(A)=13,所以恰有2人申请A片区的概率为C42132232=827.答案82710、某小组共10人，利用假期参加义工活动已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设
12、X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望解 (1)由已知，有P(A).所以事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.P(X0)，P(X1)，P(X2).所以随机变量X的分布列为X012P随机变量X的数学期望E(X)0121.11、为督导学校课外选修课的开展情况，某市教育督导部门从一所高中的四个选修专业中利用分层抽样的方法选出了14名学生进行调查，已知样本中各专业学生人数如下表：专业泥塑剪纸武术电工人数2345(1)若从这14名学生中随机选出两名，求这两名学生来自同一选修专业的概率；(2)现要从这14名学生中随机选出两名学生参加座谈，设其中来自剪纸专业的人数为X，令Y2X1，求随机变量Y的分布列及数学期望E(Y)解 (1)设“两名学生来自同一选修专业”为事件A，则P(A).故两名学生来自同一选修专业的概率为.(2)因为剪纸专业有3人，非剪纸专业有11人，所以来自剪纸专业的人数X服从超几何分布H(14，2，3)则X的所有可能取值是0，1，2，其中P(Xi)(i0，1，2)，对应的Y的所有可能取值为1，1，3.则P(Y1)P(X0)；P(Y1)P(X1)；P(Y3)P(X2).所以Y的分布列为Y113P所以E(Y)(1)13.