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1、第22讲 导数解答题之端点效应问题1设函数（）证明：的导数；（）若对所有都有，求的取值范围【解析】解：（）的导数由于，故（当且仅当时，等号成立）（）令，则，（）若，当时，故在上为增函数，所以，时，即（）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数所以，时，即，与题设相矛盾综上，满足条件的的取值范围是，2（理已知函数求证：；如果对任何，都有，求的取值范围【解析】解：（）令，定义域为；在递增，；在，递增从而可得结论（） 当时，对，由（）的证明知当时，不合题意当时，今则取则易知当时，递增，即，不合题意综上知：，3设函数（）当时，判断函数的零点的个数，并且说明理由；（）若对所有，都有，求正数的取
2、值范围【解析】解：（）当时，的定义域是求导，得所以，在上为减函数，在上为增函数，（e）又（1），根据在上为减函数，则在上恰有一个零点；又，则（e），所以在上恰有一个零点，再根据在上为增函数，在上恰有一个零点综上所述，函数的零点的个数为2（）令，求导，再令，则（）若，当时，故在，上为减函数，所以当时，（1），即，则在，上为减函数，所以当时，（1），即成立；（）若，方程的解为，则当时，故在上为增函数，所以当时，（1），即，则在上为增函数，所以当时，（1），即成立，此时不合题意综上，满足条件的正数的取值范围是，4设函数（1）求的单调区间；（2）若对所有的，均有成立，求实数的取值范围【解析】解：（1）
3、由得，的增区间为，减区间为（2）令“不等式在时恒成立” “在时恒成立”当时，为减函数当，时，为增函数“在时恒成立” “”，即，即，即故的取值范围是，5设函数（）求函数在点， 处的切线方程；（）求的极小值；（）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围【解析】解：（）的定义域为，又，切点为，所求切线方程为（2分）（）设，得，得；，得，得；，得，得；则（6分）（）令，则令，得，得；，得，得；，得，得；（1）当时，对所有时，都有，于是恒成立，在，上是增函数又，于是对所有，都有成立故当时，对所有的，都有成立（2）当时，对所有，都有恒成立，在上是减函数又，于是对所有，都有故当时，只有对仅有的，都有即当时，不
4、是对所有的，都有综合（1），（2）可知实数的取值范围，（12分）6已知函数的最小值为0，其中（1）求的值；（2）若对任意的，有成立，求实数的最小值【解析】解：（1），令，可得，令，；为增函数；，为减函数；时，函数取得极小值也是最小值，函数的最小值为0，得；（2）当时，取，有（1），故不合题意；当时，令，即，求导函数可得，令，可得，当时，在上恒成立，在，上单调递减，对任意的，有成立；当时，在上，为增函数；在，上，为减函数；因此存在使得，可得，即，与题矛盾；综上：时，对任意的，有成立，实数的最小值为：；7设函数，（）讨论的单调性；（）设，求的取值范围【解析】解：（）求导函数，可得，；当时，恒成立，
5、单调递减；当 时，恒成立，单调递增；当时，由得，当，时，单调递增当，时，单调递减当，时，单调递增；（）由得，令，则当时，当时，即，当时，有当时，所以；当时，综上，8已知函数（1）当求曲线在，（1）处的切线方程；（2）若时，求的取值范围【解析】解：（1）当时，（1），又（1），曲线在，（1）处的切线方程为：，即（2）令，则，当时，恒成立，即在上单调递增，（1），当时，（1），故（a）在上单调递增，且（1），此时符合题意；当时，由（1）及在上单调递增，知，使得，即，不符合题意，综上，的取值范围是，9已知函数（1）若是函数的极值点，求的值；（2）令，若对任意，有恒成立，求的取值范围；（3）设，为实数
6、，且，求证：【解析】解：（1）因为，所以，令（2），所以，检验：当时， ， 2 0 0 增 极大值 减 极小值增所以（2）因为，因为，由，得，令，则，令，则，所以在，上单调递增，故（e），所以，故在，上单调递增，（e）所以（3）证明：当时，所以在，单调递增，所以当时，（1），即，因为，所以，所以，即，所以，由知，在，上单调递增，所以当时，（1），即，因为，所以即，所以，综上，10已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围【解析】解：（1）定义域为，（）当时，对，函数的单调递增区间是，（）当时，时，；当，时，所以的单调递增区间是，单调递减区间是，（2）函数（）
7、当时，由重要不等式知，在，上递增，所以恒成立，符合题意（）当时，因为，故，在，上递增又，存在，使得，从而函数在上递减，在，上递增，又，不恒成立，不满足题意综上（），（）知实数的取值范围是，11已知函数（其中，是自然对数的底数）（）若关于的方程有唯一实根，求的值；（）若过原点作曲线的切线与直线垂直，证明：；（）设，当时，恒成立，求实数的取值范围【解析】解：（），设，则，时，在递增，在，递减，则，有唯一实根，且；故，；（）证明：过原点所作曲线的切线与直线垂直，切线的斜率为，方程是，设与的切点为，且，令，则，在递减，在递增，若，（1），而在，递减，若，在递增，且（e），则，（舍，综上：；（），时，在
8、，递增，在，递增，恒成立，符合题意，时，在，递增，则存在，使得，在递减，在，递增，又时，不恒成立，不合题意，综上，所求实数的范围是，12已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）过原点分别作曲线与的切线、，已知两切线的斜率互为倒数，证明：或；（3）设，当时，求实数的取值范围【解析】（1）解：依题意，函数的定义域为，对求导，得若，对一切有，函数的单调递增区间是若，当时，；当，时，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，（2）解：设切线的方程为，切点为，则，所以，则由题意知，切线的斜率为，的方程为设与曲线的切点为，则，所以，又因为，消去和后，整理得令，则，在上单调递减，在上单调递增若，因为，（1），所以，而在，上单调递减，所以若，因为在上单调递增，且（e），则，所以（舍去）综上可知，（3）证明：，当时，因为，所以，在，上递增，恒成立，符合题意当时，因为，所以在，上递增，且，则存在，使得所以在上递减，在，上递增，又，所以不恒成立，不合题意综合可知，所求实数的取值范围是，