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1、第21讲 导数解答题之隐零点问题1设函数（）求函数的图象在点处的切线方程；（）求的单调区间；（）若，为整数，且当时，求的最大值【解析】解：（），函数的图象在点处的切线方程为（），若，则恒成立，所以，在区间上单调递增若，则当时，当时，所以，在区间上单调递减，在上单调递增由于，所以，故当时，令，则函数在上单调递增，而（1），（2）所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点设此零点为，则当时，；当时，；所以，在上的最小值为由，可得，所以，由于式等价于故整数的最大值为22已知函数（）设是的极值点，求，并讨论的单调性；（）当时，证明【解析】（）解：，是的极值点，解得所以函数，其定义域为设，则，所以在上
2、为增函数，又，所以当时，即；当时，所以在上为减函数；在上为增函数；（）证明：当，时，故只需证明当时当时，函数在上为增函数，且，故在上有唯一实数根，且当时，当，时，从而当时，取得最小值由，得，故综上，当时，3已知函数（1）设是的极值点，求并讨论的单调性；（2）当为奇函数时，证明：恒成立【解析】（1）解：，是的极值点，解得函数，其定义域为设，则，在上为增函数，又，当时，即；当时，在上为减函数；在上为增函数；（2）证明：，为奇函数，即，解得，则在上单调递增，在存在唯一实数根，且，当时，时，当时，函数取得最小值，即，4已知函数（）设是的极值点，求的值，并讨论的单调性；（）证明：【解析】解：，由题意可得
3、，解可得，令，则，故在上单调递增且，当时，即，函数单调递增，当时，即，函数单调递减，（）证明：（2）令，则在上单调递增，因为，所以在存在唯一实数根，且，当时，时，当时，函数取得最小值，因为，即，故，所以5已知函数（）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；（）当时，证明：【解析】解：（）由函数的定义域，因为，是的极值点，所以（1），所以，所以，因为和，在上单调递增，所以在上单调递增，当时，；时，此时，的单调递减区间为，单调递增区间为，（）证明：当时，设，则，因为和，在上单调递增，所以在上单调递增，因为（1），（2），所以存在使得，所以在上使得，在，上，所以在单调递减，在，上单调递增，所以，因为，
4、即，所以，所以，因为，所以，所以6已知函数在上有两个极值点，且（1）求实数的取值范围；（2）证明：当 时，【解析】（1）解：，由题意知方程在上有两不等实根，设，其图象的对称轴为直线，故有，解得（2）证明：由题意知是方程的大根，从而，由于，设，在，递增，即成立7已知函数，其中（）设是的导函数，讨论的单调性；（）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解【解析】解：（）由已知，函数的定义域为，当时，在上单调递增，在区间上单调递减；当时，在上单调递增（）由，解得，令，则（1），（e）故存在，使得令，由知，函数在上单调递增即，当时，有，由（）知，在上单调递增，故当时，从而；当，时，从而当时，综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解8已知，函数，是的导函数，（）当时，求证：存在唯一的，使得；（）若存在实数，使得恒成立，求的最小值【解析】（）证明：，（1分）当时，函数在上的单调递增，（2分）又，（3分）存在唯一的，使得；（4分）（）解：（1）当时，则当时，即函数在上单调递增，且当时，这与矛盾；（5分）（2）当，由，得，；（6分）（3）当，由（）知当时，；当，时，；即在上单调递减，在，上单调递增，（7分）的最小值为，（8分）其中满足，故且，恒成立，即，于是，（9分）记，则，（10分）由得，即函数在上单调时递减，由得，即函数在上单调递增，综上得的最小值为，此时