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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网第五章第五章第五节第五节数列的综合应用数列的综合应用题组一等差、等比数列的综合问题1.已知 a，b，c 成等比数列，a，m，b 和 b，n，c 分别成两个等差数列，则amcn等于()A4B3C2D1解析：由题意得 b2ac,2mab,2nbc，则amcnancmmnabc2cab2ab2bc2abacacbcabacb2bc22.答案：C2数列an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且 a6b7，则有()Aa3a9b4b10Ba3a9b4b10Ca3a9b4b10Da3a9与 b4b10的大小不确定解析：a3a92 a3a9
2、2 a262a62b7b4b10，当且仅当 a3a9时，不等式取等号答案：B3(文)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn且满足 a23，S636.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn是等比数列且满足 b1b23，b4b524.设数列anbn的前 n 项和为Tn，求 Tn.解：(1)数列an是等差数列，S63(a1a6)3(a2a5)36.a23，a59，3da5a26，d2，又a1a2d1，an2n1.(2)由等比数列bn满足 b1b23，b4b524，得b4b5b1b2q38，q2，b1b23，b1b1q3，b11，bn2n1，anbn(2n1)2n1.Tn1132522(2n3)
3、2n2(2n1)2n1，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网则 2Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n，两式相减得(12)Tn112222222n222n1(2n1)2n，即Tn12(21222n1)(2n1)2n12(2n2)(2n1)2n(32n)2n3，Tn(2n3)2n3.(理)已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，数列anSn是公差为 2 的等差数列(1)求 a2，a3；(2)证明：数列an2为等比数列；(3)求数列nan的前 n 项和 Tn.解：(1)数列anSn是公差为 2 的等差数列，(an1Sn1)(anSn)2，即 an1an
4、22.a11，a232，a374.(2)证明：由题意得 a121，又an12an2an222an212，an2是首项为1，公比为12的等比数列(3)由(2)得 an2(12)n1，nan2nn(12)n1，Tn(21)(4212)63(12)22nn(12)n1，(2462n)12123(12)2n(12)n1，设 An12123(12)2n(12)n1，12An122(12)23(12)3n(12)n，得12An112(12)2(12)n1n(12)n，12An1(12)n112n(12)n，An4(n2)(12)n1，Tnn(22n)2(n2)(12)n14(n2)(12)n1n(n1)4
5、.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网题组二以等差数列为模型的实际问题4.气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第 n 天的维修保养费为n4910元(nN)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了()A600 天B800 天C1 000 天D1 200 天解析：由第 n 天的维修保养费为n4910元(nN)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应 n 的值设一共使用了 n 天，则使用 n 天的平均耗资为3.2104(5n4910)n2n3.210
6、4nn204.95，当且仅当3.2104nn20时，取得最小值，此时 n800.答案：B5(2010邯郸模拟)若数列an满足1an11and(nN*，d 为常数)，则称数列an为调和数列已知数列1xn为调和数列，且 x1x2x20200，则 x5x16_.解析：由题意，若an为调和数列，则1an为等差数列，所以1xn为调和数列，则可得数列xn为等差数列，由等差数列的性质可知，x5x16x1x20 x2x192001020.答案：206数列an中，a16，且 anan1an1nn1(nN*，n2)，则这个数列的通项 an_.解析：由已知等式得 nan(n1)an1n(n1)(nN*，n2)，则a
7、nn1an1n1，所以数列ann1是以a123 为首项，1 为公差的等差数列，即ann1n2，则 an(n1)(n2)n1 时，此式也成立答案：(n1)(n2)题组三以等比数列为模型的实际问题http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网7.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个，现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A6 秒钟B7 秒钟C8 秒钟D9 秒钟解析：设至少需要 n 秒钟，则 121222n1100，12n12100，n7.答案：B8某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第 1 名得全
8、部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第 10 名恰好资金分完，则此科研单位共拿出_万元资金进行奖励解析：设第 10 名到第 1 名得的奖金数分别是 a1，a2，a10，则 an12Sn1，则 a12，anan112an，即 an2an1，因此每人得的奖金额组成以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，所以 S102(1210)122046.答案：2046题组四数列与函数、不等式等问题的综合应用9在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么xyz 的值为()A1B2C3D4解析：由题知表格中第三列成首项为
9、4，公比为12的等比数列，故有 x1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为 5，52，故其公比为12，所以 y5(12)358，同理z6(12)438，故 xyz2.答案：B10已知数列an的前 n 项和为 Sn，对任意 nN*都有 Sn23an13，若 1Sk1)，即 an(23an13)2412yzhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网(23an113)23an23an1，整理得：anan12，an是首项为1，公比为2 的等比数列，Ska1(1qk)1q(2)k13，1Sk9，1(2)k139，即 4(2)k0，故 Cn1Cn，Cn的最小值为 C2283，的
10、取值范围是(，283(理)已知数列an的前 n 项和为 Sn，点(n，Snn)在直线 y12x112上数列bn满足 bn22bn1bn0(nN*)，b311，且其前 9 项和为 153.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设 cn3(2an11)(2bn1)，数列cn的前 n 项和为 Tn，求使不等式 Tnk57对一切nN*都成立的最大正整数 k 的值解：(1)由已知得Snn12n112，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网Sn12n2112n.当 n2 时，anSnSn112n2112n12(n1)2112(n1)n5；当 n1 时，a1S16 也符合上式ann5.由 bn22bn1bn0(nN*)知bn是等差数列，由bn的前 9 项和为 153，可得9(b1b9)29b5153，得 b517，又 b311，bn的公差 db5b323，b3b12d，b15，bn3n2.(2)cn3(2n1)(6n3)12(12n112n1)，Tn12(113131512n112n1)12(112n1)n 增大，Tn增大，Tn是递增数列TnT113.Tnk57对一切 nN*都成立，只要 T113k57，k19，则 kmax18.