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1、 2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：5.1等差数列与等比数列一、数列的概念与简单表示法（一）由数列的前几项求数列的通项公式相关链接数列的通项公式（1）据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等，并对此进行归纳、联想。（2）观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决。（3）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着从特殊到一般的思想，由不完全归纳提出的结果是不可
2、靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用或来调整。例题解析例写出下列各数列的一个通项公式：思路解析：由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一。解答：（1）各项是从4开始的偶数，所以；（2）每一项分子比分母少1，而分母可写成21，22，23，24，25，故所求数列的一个通项公式可定为；（3）带有正负号，故每项中必须含有一个这个因式，而后去掉负号，观察可得。将第二项-1写成。分母可化为3，5，7，9，11，13，为正奇数，而分子可化为12+1，22+1，32+1，42+1，52+1，62+1，故其一个通项公式可写为：；（4）将数
3、列各项写为分母都是3，而分子分别是10-1，102-1，103-1，104-1，所以（二）由递推公式求数列通项公式相关链接1、由和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用化归法、累加法、累乘法等。（1）构造等比数列，已知首项，递推关系为，求数列的通项公式的关键是将转化为的形式，其中a的值可由待定系数法确定，即（2）已知且可以用累加法，即，。所有等式左右两边分别相加，得即：（3）已知且可以用累乘法，即，所有等式左右两边分别相乘，得注：并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上也可以不止一个。2、由与的关系求由求时，要分n=1和n2两种情况讨论，然后验证两种
4、情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为。例题解析例(1)在数列an中，a1=1，an+1=(1+)an+设求数列bn的通项公式;(2)已知数列an中，a1=1,an+1=(n+1)an，求数列an的通项公式思路分析:(1)首先由递推公式得到的关系式：再借助于累加的方法求出数列bn的通项公式；(2)由题设可得利用累乘的方法求解.解析:(1)由已知可得b1=a1=1，且即从而有bn=b1+(b2-b1)+(bn-bn-1)= (n2)，又因为b1=a1=1，故所求的通项公式为(2)an+1(n1)an，a11.累乘可得，ann(n-1)(n-2)321n！.故ann！.（三）
5、数列的单调性及其应用例(12分)已知数列的前n项和为,并且满足（1）求的通项公式；（2）令，问是否存在正整数m,对一切正整数n，总有，若存在，求m的值；若不存在，说明理由。思路解析：（1）(2)由已知得的表达式求最大项得结论.解答:(1)令n=1,(2) 注:(1)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用作差法，作商法，结合函数图象等方法。（2）求最大项，则满足；若求最小项，则满足。二、等差数列及其前n项和（一）等差数列的基本运算相关链接1.等差数列运算问题的通法等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项
6、公式或前n项和公式转化为方程（组）求解.2.等差数列前n项和公式的应用方法等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数n、首项a1和第n项an，则利用该公式经常和等差数列的性质结合应用.如果已知项数n、首项a1和公差d，则利用在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项公式结合使用.注：1、等差数列的通项公式=+（n-1）d及前n项和公式，共涉及五个量，d,n, ,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。3、因为，故数列是等差数列。例题解析例已知数列的首项=3，通项
7、，且，成等差数列。求：（1）的值；（2）数列的前n项和的公式。思路解析：（1）由=3与，成等差数列列出方程组即可求出；（2）通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由=3得又，得由联立得。（2）由（1）得，（二）等差数列的判定相关链接1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，第二种是利用等差中项，即。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。（1）通项法：若数列的通项公式为n的一次函数，即=n+B,则是等差数列；（2）前n项和法：若数列的前n项和是的形式（，B是常数），则是等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。例题
8、解析例已知数列的前n项和为，且满足（1）求证：是等差数列；（2）求的表达式。思路解析：（1）与的关系结论；（2）由的关系式的关系式解答：（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n2）.是以=2为首项，以2为公差的等差数列。（2）由（1）知=+（n-1）d=2+(n-1)2=2n,=,当n2时，=2=。又，不适合上式，故。（三）等差数列的性质相关链接1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，若d0,则数列递增；若d0,d0,且满足，前n项和最大；（2）若a10，且满足，前n项和最小；（3）除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意
9、。例题解析例1(2011如皋模拟)已知在等差数列an中，a1=31，Sn是它的前n项和，S10=S22，(1)求Sn；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值.思路解析：利用等差数列的性质求解第(1)题、第(2)题，解题关键是写出前n项和公式，利用函数思想解决.(1)S10=a1+a2+a10，S22=a1+a2+a22，又S10=S22a11+a12+a22=0，即a11+a22=2a1+31d=0, 又a1=31，d=-2，Sn=na1+ =31n-n(n-1)=32n-n2.(2)方法一：由(1)知Sn=32n-n2，当n=16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256.方法二：由
10、Sn=32n-n2=n(32-n)，欲使Sn有最大值，应有1n0,d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；(2)当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.(3)关于最值问题，除上面介绍的方法外，还可利用等差数列与函数的关系来解决，等差数列的前n项和Sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0，利用二次函数的图象或配方法解决最值问题.三、等比数列及其前n项和（一）等比数列的的运算相关链接1.等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）所求问题可迎刃而解。2.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，
11、还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。3.在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式。例题解析例设数列的前n项和为，且=2-2；数列为等差数列，且。（1） 求数列的通项公式；（2） 若，为数列的前n项和，求证：。思路解析：（1）得结论；（2）放缩得结论。解答：（1）由=2-2，得，又=，所以=，由=2-2得-得，即，是以为首项，以为公比的等比数列，所以=。（2）为等差数列，从而-得（二）等比数列的判定相关链接等比数列的判定方法有：（1）定义法：若，则是等比数列；（2）中项公式法：若数列中，则数列是等比数列；（3）通项公式法：若数列通项公
12、式可写成，则数列是等比数列；（4）前n项和公式法：若数列的前n项和，则数列是等比数列；注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。例题解析例在数列中，。（1） 证明数列是等比数列；（2） 求数列的前n项和；（3） 证明不等式对任意皆成立。思路解析：证明一个数列是等比数列常用定义法，即，对于本例（1）适当变形即可求证，证明不等问题常用作差法证明。解答：（1）由题设得。又所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列。（2）由（1）可知，于是数列的通项公式为。所以数列的前n项和。（3）
13、对任意的，所以不等式对任意皆成立。（三）等比数列性质的应用相关链接1.等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形，(2)等比中项的变形，(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.2.等比数列的常用性质(1)数列an是等比数列，则数列pan(p0，p是常数)也是等比数列；(2)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an+k,an+2k,an+3k,为等比数列，公比为qk.(3)an=amqn-m(n,mN+)(4)若m+n=p+q(m,n,p,qN+)，则aman=apaq；(5)若等比数列an的前n项和为Sn，则
14、Sk、S2k-Sk、S3k-S2k、S4k-S3k是等比数列.（6）等比数列的单调性3. 由于数列和函数之间有着密切的联系，所以在解决许多数列问题时，可以借鉴函数的有关思想和方法，本例在求解过程中，就是先求导数，利用数列这一特殊函数的性质解决的，所以在解决数列问题时，应善于运用函数的思想方法解决问题.注：等比数列中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同。例题解析例1已知等比数列前n项的和为2，其后2n的和为12，求再往后3n项的和。思路解析：由已知条件，根据前n项和公式列出关于首项和公比及n的两个方程，应能解出和关于n的表达式，这样可能较繁琐又不便于求出结果，若采用整体处理的思想，问题就
15、会变得简单，也可采用等比数列的性质问题简化。解答：方法一：利用等比数列的性质。由已知，.注意到也成等比数列,其公比为,于是,问题转化为已知:方法二:利用求和公式.如果公比q=1,则由于,可知,与条件不符,q1,由求和公式,得又式除以式得，又再往后3n项的和为式除以式得。例2(2011青岛模拟)已知函数f(x)=ax2+bx(a0)的导函数f(x)=-2x+7,数列an的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x)的图象上.(1)求数列an的通项公式及Sn的最大值;(2)令其中nN+,求nbn的前n项和Tn.思路解析：对函数f(x)的字母系数通常用待定系数法确定，再把函数问题
16、转化为数列问题求解.对nbn求和，若bn为等比数列可考虑用错位相减法求和.解析:(1)由题意可知：f(x)=ax2+bx(a0),f(x)=2ax+b，由f(x)=-2x+7对应相等可得:a=-1,b=7,所以可得f(x)=-x2+7x，又因为点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x)的图象上,所以有Sn=-n2+7n当n=1时,a1=S1=6；当n2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8，a1=6适合上式，an=-2n+8(nN+)令an=-2n+80得n4,当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.综上,an=-2n+8(nN+),当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.(2)由题意得即数列bn是首项为8,公比为的等比数列，故nbn的前n项和Tn=123+222+n2-n+4 Tn=122+22+(n-1)2-n+4+n2-n+3所以-得： Tn=23+22+2-n+4-n2-n+316