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1、选修4系列N1选修4-1 几何证明选讲21N12013江苏卷 A选修41：几何证明选讲如图11所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC2OC.求证：AC2AD.图11证明：联结OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADOACB90.又因为AA，所以RtADORtACB，所以.又BC2OC2OD.故AC2AD.N22013江苏卷 B选修42：矩阵与变换已知矩阵A0,2)，B1,0)2,6)，求矩阵A1B.解：设矩阵A的逆矩阵为a,c)b,d)，则1,0)0,2)a,c)b,d)1,0)0,1)即a,2c)b,2d)1,0)0,1)，故a1，b0，c0，d，从而
2、A的逆矩阵为A10,)所以A1B0,)1,0)2,6)1,0)2,3)N32013江苏卷 C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)，试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由xt1得tx1，代入y2t，得到直线l的普通方程为2xy20.同理得到曲线C的普通方程为y22x.联立方程组解得公共点的坐标为(2，2)，1.N42013江苏卷 D选修45：不等式选讲已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2
3、b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0.从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.22N12013辽宁卷 选修41：几何证明选讲如图16，AB为O直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，联结AE，BE，证明：(1)FEBCEB；(2)EF2ADBC.图1622解：证明：(1)由直线CD与O相切，得CEBEAB.由AB为O的直径，得AEEB，从而EABEBF.又EFAB，得FEBEBF，从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERt
4、BFE，所以BCBF.类似可证：RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故FE2AFBF.所以EF2ADBC.BN12013陕西卷 (几何证明选做题)如图14所示，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知AC，PD2DA2，则PE_图14解析 利用已知图形关系可得BCEPEDBAP，可得PDEPEA，可得，而PD2DA2，则PA3，则PE2PAPD6，PE.22N12013新课标全国卷 选修41：几何证明选讲如图16，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DBDC；(2)设圆
5、的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径图1622解：(1)联结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又因为DBBE，所以DE为直径，DCE90，由勾股定理可得DBDC.(2)由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂线，所以BG.设DE的中点为O，联结BO，则BOG60，从而ABEBCECBE30，所以CFBF，故RtBCF外接圆的半径等于.13N12013天津卷 如图12所示，在圆内接梯形ABCD中，ABDC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若ABAD5，BE4，则弦BD的长为_图1213.解析
6、联结AC.由圆内接梯形的性质得，DCBABE，DABDCB180，ABCDCB180，DABABC，DABABE180，又ADBACB，CABDBA，又ADBABD，BACBCA，BCAB5.由切割线定理得AE2BEEC4(45)36，由cosABEcosDAB，得，即，解之得BD.22N12013新课标全国卷 选修41：几何证明选讲如图110，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B，E，F，C四点共圆(1)证明：CA是ABC外接圆的直径；(2)若DBBEEA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值图1
7、1022解：(1)因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCBA，由题设知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA90，因此CA是ABC外接圆的直径图111(2)联结CE，因为CBE90，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DBBE，有CEDC.又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为.15N12013广东卷 (几何证明选讲选做题)如图13，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足为E，则ED_图1315.解析
8、 AB，BC3AC2 ，AB2AEAC，AE.又tanACB，ACB，故EAD.在AED中，由余弦定理得ED2AE2AD22AEADcos EAD923cos ，故ED.N2选修4-2 矩阵N3选修4-4 参数与参数方程14N32013广东卷 (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为2cos .以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为_14.(为参数)解析 将曲线C的极坐标方程2cos 化为普通方程为(x1)2y21，则其参数方程为(为参数)11N32013湖南卷 在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值
9、为_114解析 l1：即x2y10，l2：即2xaya0.由两直线平行，得，解得a4.23N32013辽宁卷 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，cos2 .(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值23解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24.直线C2的直角坐标方程为xy40.解得所以C1与C2交点的极坐标为4，2 ，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为
10、(0，2)，(1，3)，故直线PQ的直角坐标方程为xy20.由参数方程可得yx1.所以解得a1，b2.23N32013新课标全国卷 选修44：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点23解：(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2 ，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离d(00，b0，已知函数f(x).(1)当ab时，讨论函数
11、f(x)的单调性；(2)当x0时，称f(x)为a，b关于x的加权平均数(i)判断f(1)，f，f是否成等比数列，并证明ff；(ii)a，b的几何平均数记为G，称为a，b的调和平均数，记为H.若Hf(x)G，求x的取值范围21解：(1)f(x)的定义域为(，1)(1，)，f(x).当ab时，f(x)0，函数f(x)在(，1)，(1，)上单调递增；当ab时，f(x)0，函数f(x)在(，1)，(1，)上单调递减(2)(i)计算得f(1)0，f0，f0.故f(1)fab，即f(1)f.所以f(1)，f，f成等比数列因，即f(1)f，结合得ff.(ii)由(i)知fH，fG，故由Hf(x)G，得ff(
12、x)f.当ab时，ff(x)fa.这时，x的取值范围为(0，)；当ab时，01，从而，由f(x)在(0，)上单调递增与式，得x，即x的取值范围为；当ab时，1，从而，由f(x)在(0，)上单调递减与式，得x，即x的取值范围为.24N42013辽宁卷 选修45：不等式选讲已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值24解：(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；当2x2，则关于实数x的不等式|xa|xb|2的解集是_(，)解析 利用
13、绝对值不等式的性质可得|xa|xb|(xa)(xb)|ba|ab|.又由|ab|2恒成立，故不等式解集为(，)14N42013天津卷 设ab2，b0，则的最小值为_14.解析 21.24N42013新课标全国卷 选修45：不等式选讲已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围24解：(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x(0，2)时，y0，所以原不等式的解集是x|0x2(2)当x时，
14、f(x)1a.不等式f(x)g(x)化为1ax3.所以xa2对x都成立故a2，即a.从而a的取值范围是.N5选修4-7 优选法与试验设计P图113BP2013安徽卷 如图11所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为()A.B.C.D.3C解析 依次运算的结果是s，n4；s，n6；s，n8，此时输出s，故输出结果是.12013漳州五校期末 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(为参数)以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos2 .(1)求直线l的直角坐标方程；(2)点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值2解：(1)cos2 化简为
15、cos sin 4，直线l的直角坐标方程为xy4.(2)设点P的坐标为(2cos ，sin )，得P到直线l的距离d，即d，其中cos ，sin .当sin()1时，dmax2 .42013云南师大附中月考 如图X84所示，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A，B两点，联结PA并延长，交圆O于点C，连PB交圆O于点D，若MCBC.(1)求证：APMABP；(2)求证：四边形PMCD是平行四边形图X844证明：(1)PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，MN2PN2NANB，.又PNABNP，PNABNP，APNPBN，即APMPBA.MCBC，MACBAC，MAPPAB，APMABP.(2)ACDPBN，PBNAPN，ACDAPN，即PCDCPM，PMCD.APMABP，PMABPA.PM是圆O的切线，PMAMCP，BPAMCP，即MCPDPC，MCPD，四边形PMCD是平行四边形- 11 -