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1、天津市和平区2015届高三数学下学期第一次质量调查试题 文第卷 选择题（共40分）注意事项:1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。3本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件互斥,那么 如果事件相互独立,那么. .柱体的体积公式. 其中表示锥体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高. 锥体的底面积,表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知（R）,其中为虚数单位,则等于（A）（B
2、）（C）（D）（2）设变量满足约束条件 则的最小值为（A）（B）（C）（D）（3）已知双曲线（,）的一条渐近线为,右焦点坐标为,则该双曲线的离心率等于（A） （B） （C）（D）（4）已知等比数列的公比为正数,且,则等于（A）（B）（C）（D）（5）已知命题R,则为（A）R, （B）R,（C）R, （D）R,（6）设函数 若,则的取值范围是（A） （B）（C） （D） （7）在中, 已知是的中点,点在上且满足,则等于（A） （B） （C） （D）（8）如图,切圆于点,割线经过圆心,若,平分,交圆于点,连接交圆于点,则的长等于（A） （B）（C） （D）第卷 非选择题（共110分）注意事项:1用
3、钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。2本卷共12小题，共110分。二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. （9）某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品的数量分别为件、件、件,为调查产品质量,用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本,其中乙车间的产品中共抽取件，则的值为 .否是结束开始（10）一个几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何体 的体积为 cm.（11）已知（R）,则函数的最大值等于 .（12）阅读右面的程序框图,当该程序运行后输出的值是 . （13）已知函数（R）是偶函数,则实数的值为 .（14）若不等式对满足的所有都成立,则的取值范围
4、是 . 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）现有6名学科竞赛优胜者,其中语文学科是,数学学科是,英语学科是,从竞赛优胜者中选出3人组成一个代表队,要求代表队中至少包含两个学科.（）用所给字母列出所有可能的结果；（）设为事件“代表队中没有英语优胜者”,求事件发生的概率.（16）（本小题满分13分）已知在中,.（）求的值；（）求的值. （17）（本小题满分13分）如图,在三棱锥中,分别为的中点.（）求证:平面； （）求证:平面平面.（）若是正三角形,且,求二面角的余弦值.（18）（本小题满分13分）已知数列满足,其前项和,且,N
5、*.（）求数列的通项公式；（）设,并记为数列的前项和,求证:,N*.（19）（本小题满分14分）已知椭圆（）的离心率,且它的左焦点与右顶点的距离.（）求椭圆的标准方程；（）过点作与轴不重合的直线交椭圆于,两点,连接,分别交直线于,两点,求证:直线与直线的斜率之积为定值.（20）（本小题满分14分）已知函数在上为增函数,在上为减函数.（）分别求出和的表达式；（）当时,证明方程有唯一解； （）当时,若在内恒成立,求的取值范围. 4和平区2014-2015学年度第二学期高三年级第一次质量调查数学（文理）学科试卷参考答案及评分标准一、选择题 （每小题5分，共40分） （1）B （2）C （3）C （4
6、）A （5）A （6）D （7）D （8）B二、填空题 （每小题5分，共30分） （9） （10） （11） （12） （13） （14）三、解答题 （本大题共6小题，共80分） （15）（本题13分）理科（）解: （1 分）. （3 分）函数的单调递增区间为,Z.（5 分）,即,Z.（7 分）函数的单调递增区间为,Z.（8 分）（）解: 当时,（10分）,故.（12分）函数在区间上的取值范围是.（13分）（16）（本题13分）文科（）解: 在中, . （3 分） , 由正弦定理,得.（6 分）（）解: , 由余弦定理,得.（8 分）即,整理得.（10分）解得,故.（13分）（16）（本题13
7、分）理科（）解:根据表格可知等级为“优秀”的有8人,等级为“合格”的有16人,用分层抽样的方法抽取,每个人被抽中的概率是.（2 分）故样本中等级为“优秀”的有（人）,等级为“合格”的有（人）.（4 分）设“至少有一个等级为优秀的被选中”为事件,则.选出的2人中至少有一人等级为“优秀”的概率为.（7 分）（）解: 依题意,等级为“优秀”的共有8人,其中甲组有5人,乙组有3人,则的所有可能取值为.； .随机变量的分布列是: 0123 （11分）.（13分）（17）（本题13分） 文科（）证明: 在中,分别为的中点,. （2 分）又平面,平面,平面.（4 分）（）证明: 在中,.（5 分）在中,为的
8、中点,. （6 分）平面,平面,且,平面. （7 分）又平面,平面平面. （9 分）（）解: 二面角即为二面角,由（）可知,.故即为所求二面角的平面角. （10分）在中,易知, （11分）由余弦定理,得.二面角的余弦值为.（13分）（17）（本题13分） 理科（）证明: 取的中点,连接,.,.又平面平面,且是平面与平面的交线,平面.如图所示建立空间直角坐标系.（1 分）由已知得,.,. （3 分）. （5 分）（）解: ,. （6 分）设平面的法向量为, 令,则,.故为平面的一个法向量. （8 分）则,.直线与平面所成角的正弦值为.（10分）（）解: 由（）可知为平面的一个法向量,而为平面的一
9、个法向量, （11分）设二面角的大小为,易知二面角是锐角,.二面角的余弦值等于.（13分）（18）（本题13分）（）解: 由,解得或.（1 分）由题设,可知. （2 分）由,（3 分）可得,解得. （5 分）即数列是首项为,公差为的等差数列.数列的通项公式为. （6 分）（）证明: 由（）可得.（7 分）则.（8 分）欲证,N*,即证明,N*,只需证明,N*,即可.（9 分）,（11分）.,N*.证毕.（13分）（19）（本题14分）（）解: 设椭圆的左焦点的坐标为,（1 分）依题意,.（3 分）解得,.椭圆的标准方程为.（5 分）（）解:设,由直线与轴不重合,故可设直线, （6 分）由 整理得. （7 分）,.（8 分）由,三点共线,可得,即,由,三点共线,同理可得.（9 分）.（10分）而,故 （12分） .直线与直线的斜率之积为定值.（14分）（20）（本题14分）（）解: 由,依题意,即在上恒成立,故.（2 分）由,依题意在内恒成立,即.综合上述结论,. （4 分）,. （5 分）（）证明: 由（）可知方程,即.设,则=.（7 分）令,并由,解得.令,并由,解得.（9 分）,的变化情况如下表: